絶対差

2つの実数の絶対差${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は${\displaystyle |xy|}$、それらの差の絶対値。これは、対応する点間の実数直線上の距離を表します。${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$、そして、すべての に対してL ^p距離の特殊なケースである。$1 ≤ p ≤ ∞$統計学におけるその応用例としては、中心傾向からの絶対偏差などが挙げられる。

絶対差には以下の性質があります。

• のために${\displaystyle x\geq 0}$、${\displaystyle |x-0|=x}$（ゼロは非負の数の単位元である） ^{[ 1 ]}
• すべての人にとって${\displaystyle x}$、${\displaystyle |xx|=0}$(すべての要素は自身の逆要素である) ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle |xy|\geq 0}$（非負性）^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle |xy|=0}$かつその場合に限り${\displaystyle x=y}$（異なる引数の場合はゼロ以外）。^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle |xy|=|yx|}$（対称性または可換性）。^{[ 1 ] [ 2 ]}
• ${\displaystyle |xz|\leq |xy|+|yz|}$（三角不等式）；^{[ 2 ] [ 3 ]}等号が成り立つのは、${\displaystyle x\leq y\leq z}$または${\displaystyle x\geq y\geq z}$。

実数は非負であり、異なる引数に対して非ゼロであり、対称であり、三角不等式を満たすため、絶対差を距離とする距離空間を形成します。これは、直線に沿った距離の馴染み深い尺度です。 ^{[ 4 ]}これは「最も自然な距離空間」^{[ 5 ]}や「最も重要な具体的な距離空間」^{[ 2 ]}と呼ばれています。この距離は、すべてのL ^p距離の特殊な場合として、さまざまな方法で高次元に一般化されます。$1 ≤ p ≤ ∞$を含む${\displaystyle p=1}$そして${\displaystyle p=2}$（それぞれタクシー幾何学とユークリッド距離の場合）である。また、双曲距離の1次元の特殊な場合でもある。

の代わりに${\displaystyle |xy|}$絶対差は次のように表すこともできます。$${\displaystyle \max(x,y)-\min(x,y).}$$これを2つ以上の値に一般化すると、任意のサブセットにおいて${\displaystyle S}$下限と上限を持つ実数、任意の 2 つの数間の絶対差${\displaystyle S}$は、の下限と上限の絶対差以下である。${\displaystyle S}$。

絶対差は、非負整数を非負整数に写像します。非負数に単位元を持つ、可換ではあるが結合法則を満たさない二項演算として、絶対差は非負数（実数か整数かを問わず）に単位元を持つ可換マグマの代数構造を与えます。^{[ 1 ]}

絶対差は相対差を定義するために使用され、相対差とは、与えられた値と基準値との絶対差を基準値自体で割ったものです。^{[ 6 ]}

グラフ理論における優美なラベル付けの理論では、頂点は自然数でラベル付けされ、辺は2つの頂点の数の絶対差でラベル付けされます。この種のラベル付けは、辺のラベルが互いに異なり、1から辺の数まで連続している場合に優美であると言えます。^{[ 7 ]}

^{絶対差は L p}距離の特殊なケースであるだけでなく、チェビシェフ距離(L ^∞ )を定義するためにも使用できます。チェビシェフ距離では、点間の距離はそれらの座標の絶対差の最大値または上限です。^{[ 8 ]}

統計学において、標本から得られた数値と中心傾向との絶対偏差とは、中心からの絶対差のことである。平均絶対偏差とは、標本群の絶対偏差の平均であり、最小絶対偏差法とは、平均絶対偏差を最小化することに基づくロバスト統計の手法である。

• ワイスタイン、エリック・W. 「絶対差」。マスワールド。