立方八面体の運動学

立方八面体の骨格は、その辺を、頂点で柔軟なジョイントで接続された剛体の梁とみなし、面を省略すると、構造的な剛性を持たない。したがって、その頂点は、辺と面の対角線で折り畳む（二面角を変える）ことによって再配置することができる。立方八面体の運動学は、その頂点を、二十面体の黄鉛面対称性に従って、正二十面体、ジェッセン二十面体、正八面体の頂点位置に再配置できるという点で注目に値する。^{[1] [2]}

ヒンジによって辺がつながれた硬い平らな面のフレームワークとして解釈すると、コーシーの定理によれば、すべての凸多面体と同様に、立方八面体は硬い構造になります。ただし、面が削除され、頂点の柔軟なジョイントによってつながれた硬い辺だけが残ると、結果は硬いシステムではなくなります(面がすべて三角形である多面体とは異なり、面が欠けているにもかかわらずコーシーの定理が適用されます)。

中心の頂点を追加し、他のすべての頂点と固定された辺で接続すると、立方八面体は、中心の頂点で交わる四角錐と正四面体に分割されます。立方八面体自体とは異なり、結果として得られる辺と接合部のシステムは固定されており、無限の四面体-八面体ハニカムの頂点図形を形成します。

立方八面体は 4 つの多面体を介して循環的に変換され、このサイクルを無限に繰り返すことができます。位相的には、変換はメビウスのループに従います。つまり、八面体の向き付け可能な二重被覆です。物理的には、スピノルです。

立方八面体、二十面体、ジェッセン二十面体、八面体は、空間的な関係においてロシア人形のように重なり合い、らせん状の収縮によって関連している。収縮は、立方八面体の正方形の面が対角線に沿って内側に折り畳まれ、三角形のペアを形成することから始まります。立方八面体の12の頂点は内側（中心に向かって）にらせん状に進み、正二十面体を形成する点に達するまで互いに近づきます。さらに少し近づいてジェッセン二十面体を形成し、さらに互いに向かってらせん状に進み、八面体の6つの頂点としてペアで一致するまで続きます。^[3]

一般的な立方八面体変換は、2 つの極限ケース (立方八面体のエッジが固定されている場合と弾性である場合) を持つ特殊なケース変換の連続体に沿ってパラメーター化できます。

剛体エッジ立方八面体変換は、多面体の頂点がそれらの多面体の頂点位置を順に引き継ぐという意味で、立方 八面体を正二十面体、ジェッセン二十面体、正八面体に対称的に変換します。

立方八面体は実際には他の多面体にはならず、（剛性の辺を持つ場合）互いに変形することもできません。これは、立方八面体とは異なり、三角形の面のみを持つ結果として構造的な剛性を持つためです。

剛体辺を持つ立方八面体が実際に変形できる（そして変形できる）のは、6 辺が欠けている正二十面体（擬二十面体）、^[4] 6 辺が欠けているか弾性のあるジェッセン二十面体、および各頂点のペアを接続する2 つの一致する剛体辺を持つ八面体の二重被覆（立方八面体の頂点のペアを一致させることによって形成される）です。

密接に関連した弾性エッジを持つ立方八面体変換を具体化し、強化するテンセグリティ多面体があります。テンセグリティ二十面体は、無限小可動性と呼ばれる動的構造剛性を持ち、立方八面体から八面体までのスペクトルに沿って対称多面体にのみ変形できます。 ^[5]中間の安定形がジェッセンの二十面体であるため、テンセグリティ二十面体と呼ばれています。

上記では、変形は立方八面体の収縮として説明しましたが、テンセグリティの安定した平衡点はジェッセン二十面体です。テンセグリティ二十面体はその形状から変形されることに抵抗し、その辺が弾性である（張力を受けて伸びる）程度までしか、その形状から拡大または縮小を強制できません。多面体をその安定した静止形状から強制的に引き離すには（どちらの方向にも）、24 の短い辺をわずかに均等に引き伸ばす必要があります。平行な長辺の任意のペアに、それらを近づけたり離したりするために加えられた力は、すべての短い辺を均等に引き伸ばすように自動的に伝達され、多面体は中型のジェッセン二十面体からより小さな八面体の方へと縮小するか、またはそれぞれより大きな正二十面体とさらに大きな立方八面体の方へと拡大します。力を解放すると、多面体はジェッセンの二十面体の静止形状に戻ります。

弾性辺変換では、立方八面体の辺は固定ではありません (ただし、ジェッセン二十面体の 6 つの長い辺は固定です)。^[a]立方八面体は、半径と辺の長さがより短い正二十面体、半径がさらに短く辺の長さが (最小) のジェッセン二十面体、そして最後に半径がさらに短いが辺の長さが立方八面体と同じ (最大) 八面体に変換されます (ただし、辺が短くなり、再び長くなり、一致するペアになった後のみです)。

剛体エッジと弾性エッジの立方八面体変換は、相互パラメータを持つという点のみが異なる。弾性エッジ変換では、ジェッセン二十面体の短辺は伸び、長辺は剛体であり、剛体エッジ変換では、長辺は圧縮され、短辺は剛体である。上記の説明のうち、メトリクスを除くすべてのことは、すべての立方八面体変換に当てはまる。特に、立方八面体が八面体に変換されるとき、頂点は常に中心に向かって螺旋状に移動し、^{[8] [9]}ジェッセン二十面体（90°の二面角と3つの不変直交平面を持つ）は常に中点であり、伸びたり圧縮されたりするのに対して抵抗がある限り安定している。^[10]

弾性エッジ立方八面体変換は、テンセグリティ二十面体^[11]の数学として通常与えられます。これは、ほとんどの実際のテンセグリティ二十面体構造の動作をモデル化するのに最も近いためです。ただし、短辺（ケーブル）が完全に非弾性で、長辺（ストラット）が圧縮可能なバネであるテンセグリティ二十面体を構築することは確かに可能です。そのようなテンセグリティは、剛性エッジ立方八面体変換を実行します。

最後に、両方の変換は純粋な抽象化であり、2 つの弾性パラメータがあり、そのうちの 1 つが 0 である必要がない無限の立方八面体変換の 2 つの極限ケースです。どちらの極限ケースも、ケーブルと支柱の両方に弾性があるため、実際の動作メトリックを計算するのが簡単ではないほとんどの実際のテンセグリティ構造に完全には当てはまりません。 ^[12]エンジニアリングの実践では、わずかな弾性があればかなりの運動が可能になるため、ほとんどのテンセグリティ構造は、ほぼ非弾性の支柱とケーブルを使用して「ドラムタイト」に構築されます。テンセグリティ 20 面体変換は、相互に小さな弾性パラメータを持つ運動学的な立方八面体変換です。

これらの多面体間のねじれや膨張と収縮の変換は、バックミンスター・フラーによってジッターバグ変換と名付けられました。フラーは数学的な説明を一切しませんでした。 ^{[13] [14]}彼以前の多くの偉大な幾何学者（例えばアリシア・ブール・ストット）と同様に、彼にも数学的な説明はありませんでした。しかし、彼は立方八面体の放射状正二辺対称性の重要性を強調した最初の人物であり、これを構造的に応用して（そして特許を取得した）オクテット・トラスとし、これが構造的完全性だけでなく多面体間の次元関係においても基本的な役割を果たすことを直感しました。彼は立方八面体の対称性変換を発見し、テンセグリティ二十面体との関係を理解し​​、さらには聴衆の前で剛辺立方八面体変換のデモンストレーションも行いました（コンピュータによるアニメーションがまだ登場していなかった時代）。彼が「ベクトル平衡」^[15]と呼んだ立方八面体の解説付きのデモンストレーションは、この記事のアニメーションよりもはるかに啓発的です。

• 「ボロミアン環」。国際数学連合。