デュオシリンダー

デュオシリンダーは、ダブルシリンダーまたはバイディスクとも呼ばれ、4次元 ユークリッド空間に埋め込まれた幾何学的オブジェクトであり、半径がそれぞれr ₁とr _{2の 2 つの}ディスクの直積として定義されます。

${\displaystyle D=\left\{(x,y,z,w)\,\left|\,x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2},\ z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}\right.\right\}}$

これは、円板と線分との直積である 3 次元空間の円筒に似ています。ただし、円筒とは異なり、両方の超曲面 (通常の二重円筒) は合同です。

その双対は、 xy平面とzw平面にある 2 つの円から構成されるデュオスピンドルです。

デュオシリンダーは、トーラス状の表面を持つ2つの互いに直交する3次元多様体によって囲まれており、それぞれ次の式で表されます。

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r_{1}^{2},z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}}$

そして

${\displaystyle z^{2}+w^{2}=r_{2}^{2},x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2}}$

デュオシリンダーは、これら 2 つの境界 3 次元多様体が4 次元空間で「曲げられた」3 次元シリンダーとして考えられ、 xy平面とzw平面で閉じたループを形成することから、このように呼ばれています。デュオシリンダーは、これらの両方の平面で回転対称性を持ち、そのため、デュオシリンダーの表面を 2 つの円筒形セルに分解することで、二重回転を理解するために使用できます。対称面の 1 つを回転すると、一方のシリンダーが平行移動し、もう一方のシリンダーが回転するため、二重回転では、両方のシリンダーが回転して平行移動します。

通常の二重円筒は、2 つの合同なセル、1 つの正方形の平らなトーラス面 (尾根)、0 個のエッジ、および 0 個の頂点で構成されます。

デュオシリンダーの尾根は、2 つの境界 (固体) トーラス セル間の境界である 2 次元多様体です。これは、 2 つの円の直積であるクリフォード トーラスの形をしています。直感的には、次のように構築できます。2 次元の長方形をシリンダーに丸めて、上端と下端が合うようにします。次に、シリンダーが配置されている 3 次元超平面に垂直な平面でシリンダーを丸めて、2 つの円形の端が合うようにします。

結果として得られる形状は、ユークリッド 2トーラス(ドーナツ形状) と位相的に同等です。ただし、後者とは異なり、表面のすべての部分が同じように変形されます。(3D に埋め込まれた 2D 表面) ドーナツでは、「ドーナツの穴」の周囲の表面は負の曲率 (鞍のような) で変形され、外側の表面は正の曲率 (球のような) で変形されます。

デュオシリンダーの稜線は、 Asteroidsなどのビデオゲームの画面の実際の全体的な形状と考えることができます。画面の片側の端を過ぎると、反対側に至ります。両方のエッジのペアを結合するには、固有の 2 次元表面に加えて 2 つの自由度 (「方向」) が必要なので、3 次元空間に歪みなく埋め込むことはできません。

3 次元球面から 2 次元円筒を構築するには、尾根の両側にある 3 次元球面の膨らみを「切り取る」必要があります。2 次元球面の場合、これと類似のことは、±45 度の小緯度円を描き、その間の膨らみを切り取って円筒形の壁を残し、上部を切り取って平らな上部を残すことです。この操作は、多面体から選択した頂点/ピラミッドを削除することと同じですが、3 次元球面は滑らかで正則であるため、操作を一般化する必要があります。

尾根の両側にある 2 つの 3 次元超曲面間の二 面角は90 度です。

デュオシリンダーを 3 次元空間に平行投影すると、その断面は 3 次元空間で円筒形になります。デュオシリンダーを透視投影すると、ドーナツの穴が埋められた トーラスのような形状になります。

デュオシリンダーは、構成する多角形プリズムの辺の数が無限大に近づくにつれて、デュオプリズムの限界形状になります。したがって、デュオプリズムはデュオシリンダーの適切な多面体近似として機能します。

3次元空間では、円柱は立方体と球の中間とみなすことができます。4次元空間には、同じ意味で四次元方位図（1球×1球×1球×1球）と超球（4球）の中間となる直積が3つあります。これらは次のとおりです。

• キュービンダー（2 球 × 1 球 × 1 球）。その表面は 4 つの円筒形セルと 1 つの正方形トーラスで構成されています。
• 球面体（3 球 × 1 球）。その表面は 3 つのセル（2 つの球とその間の領域）で構成されます。
• デュオシリンダー（2ボール×2ボール）。表面は2つのトロイダルセルで構成されています。

デュオシリンダーは、上記の 3 つのうち、唯一正規の構造です。これらの構造は、次元数 4 の 5 つの分割に対応しています。

• クリフォードトーラス
• デュオプリズム
• フラットトーラス
• ホップファイブレーション
• マニホールド

• 『第四次元の簡単な説明』、ヘンリー・P・マニング、マン＆カンパニー、1910年、ニューヨーク。バージニア大学図書館から入手可能。オンラインでも入手可能：『第四次元の簡単な説明』には、デュオプリズムとデュオシリンダー（二重シリンダー）の説明が含まれています。
• 余剰次元へのビジュアルガイド: 4 次元、高次元多面体、曲面超曲面の視覚化、クリス・マクマレン、2008 年、ISBN  978-1438298924

• ロタコーラ（円形の表面を持つ4次元の物体）
• ロタトープの分類
• 3次元空間に投影されたデュオシリンダーの図
• 幾何学的積によるハイパースペースの探索

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