ガウス・ボネ定理

微分幾何学という数学の分野において、ガウス・ボネの定理（ガウス・ボネの定理、またはガウス・ボネの公式）は、曲面の曲率とその基礎となる位相を結び付ける基本的な公式である。

最も単純な応用である平面上の三角形の場合、その角度の合計は180度です。^[1]ガウス・ボネの定理は、これをより複雑な形状や曲面に拡張し、局所的な幾何学と全体的な幾何学を結び付けます。

この定理は、定理のバージョンを開発したが公表しなかったカール・フリードリヒ・ガウスと、 1848年に特別なケースを公表したピエール・オシアン・ボネにちなんで名付けられました。 ^{[本文では検証されていません]}

M が境界∂ M を持つコンパクトな2次元リーマン多様体であるとする。Kを Mのガウス曲率、k _{g を}∂ Mの測地線曲率とする。すると^{[2] [3]}

${\displaystyle \int _{M}K\,dA+\int _{\partial M}k_{g}\,ds=2\pi \chi (M),\,}$

ここで、dAは表面の面積要素、 ds はMの境界に沿った線要素です。ここで、χ ( M )はMのオイラー特性です。

境界∂ Mが区分的に滑らかな場合、積分∫ _{∂ M} k _g ds を、境界の滑らかな部分に沿った対応する積分の合計と、滑らかな部分が境界の角で曲がる 角度の合計として解釈します。

多くの標準的な証明では回転接線の定理が使われており、これはジョルダン曲線の巻き数は正確に±1であることを大まかに述べている。^[2]

M が半径Rの球面から切り取られた北半球であるとします。そのオイラー特性は 1 です。定理の左側では、境界が赤道であり、赤道が球面の測地線であるため、およびが成り立ちます。すると、 となります。 ${\displaystyle K=1/R^{2}}$${\displaystyle k_{g}=0}$${\displaystyle \int _{M}KdA=2\pi }$

一方、半球を平らにして円板にするとします。この変換は同相写像なので、オイラー特性は 1 のままです。しかし、円周は平面の測地線ではないので、定理の左側にはと が存在します。すると となります。 ${\displaystyle K=0}$${\displaystyle k_{g}=1/R}$${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}ds=2\pi }$

最後に、これも前の場合と同相な球面八分円を取ります。すると になります。境界に沿ったほぼすべての場所で測地線三角形になります。ただし、直角の角が 3 つあるため になります。 ${\displaystyle \int _{M}KdA={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {4\pi R^{2}}{8}}={\frac {\pi }{2}}}$${\displaystyle k_{g}=0}$${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}ds={\frac {3\pi }{2}}}$

この定理は特に境界のないコンパクトな曲面に適用され、その場合積分は

${\displaystyle \int _{\partial M}k_{g}\,ds}$

は省略できます。これは、このような閉じた曲面の全ガウス曲率が、曲面のオイラー特性の2 π倍に等しいことを示しています。境界のない有向コンパクト曲面の場合、オイラー特性は2 − 2 gに等しく、g は曲面の種数であることに注意してください。境界のない有向コンパクト曲面は、いくつかのハンドルが取り付けられた球と位相的に等価であり、g はハンドルの数を数えます。

表面M を曲げたり変形したりしても、そのオイラー特性は位相不変量であるため変化しませんが、いくつかの点の曲率は変化します。この定理は、多少意外なことに、変形がどのように行われても、すべての曲率の総積分は同じままであると述べています。したがって、たとえば「へこみ」のある球体がある場合、へこみの大きさや深さに関係なく、 その全体の曲率は 4 π (球体のオイラー特性は 2) になります。

表面のコンパクトさは非常に重要です。たとえば、境界がなく、曲率 0、オイラー特性 1 を持つ非コンパクトなリーマン面である開いた単位円板を考えてみましょう。この場合、ガウス・ボネの公式は適用されません。ただし、値が 2 πの境界積分が追加されているため、オイラー特性 1 を持つコンパクトな閉じた単位円板の場合は、ガウス・ボネの公式が当てはまります。

応用として、トーラスはオイラー標数が 0 なので、その全曲率も 0 でなければなりません。トーラスがR ³への埋め込みから通常のリーマン計量を持つ場合、内側は負のガウス曲率を持ち、外側は正のガウス曲率を持ち、全曲率は確かに 0 です。正方形の反対側の辺を識別することによってトーラスを構築することもできます。この場合、トーラス上のリーマン計量は平坦で、一定の曲率 0 を持ち、やはり全曲率は 0 になります。どこでも正またはどこでも負のガウス曲率を持つトーラス上のリーマン計量を指定することはできません。

ガウス・ボネの公式は次のように表現されることもある。

${\displaystyle \int _{T}K=2\pi -\sum \alpha -\int _{\partial T}\kappa _{g},}$

ここで、Tは測地三角形です。ここで、 M上の「三角形」を、境界が 3 つの測地線で構成される単連結領域として定義します。次に、その三角形の内側と三角形の区分境界によって形成される表面Tに GB を適用できます。

境界測地線の測地曲率は 0 であり、Tのオイラー特性は 1 です。

したがって、測地三角形の回転角の合計は、2πから三角形内の全曲率を引いた値に等しい。角の回転角はπから内角を引いた値に等しいので、これを次のように言い換えることができる。^[4]

測地三角形の内角の合計は、πと三角形に囲まれた曲率の合計に等しくなります。${\displaystyle \sum (\pi -\alpha )=\pi +\int _{T}K.}$

平面の場合（ガウス曲率が 0 で測地線が直線の場合）、通常の三角形の角度の合計を表すおなじみの公式が再現されます。曲率がどこでも 1 である標準球面上では、測地三角形の角度の合計は常にπよりも大きいことがわかります。

過去数世紀にわたって発見された球面幾何学と双曲幾何学における初期の結果の多くは、ガウス・ボネの特殊なケースとして取り入れられました。

球面三角法と双曲三角法では、三角形の面積は、その内角の合計が 180° にならない量に比例します。つまり、外角の合計が 360° にならない量 (逆数) に比例します。

ジラールの定理によれば、球面三角形の面積はその超過分に比例します。超過分とは、内角の合計が 180° を超える量で、外角の合計が 360° 未満になる量に等しくなります。

逆に、双曲三角形の面積はその偏差に比例することがヨハン・ハインリヒ・ランベルトによって確立されました。

多面体の全角欠陥に関するデカルトの定理は、多面体アナログです。球に同相な多面体のすべての頂点の欠陥の合計は4 πであるとしています。より一般的には、多面体がオイラー特性 χ = 2 − 2 g ( gは種数、つまり「穴の数」) を持つ場合、欠陥の合計は2 πχです。これは、曲率が離散的な点 (頂点) に集中するガウス・ボネの特殊なケースです。

曲率を関数ではなく測度として考えると、デカルトの定理は曲率が離散測度であるガウス・ボネ定理となり、測度に対するガウス・ボネ定理は滑らかな多様体に対するガウス・ボネ定理とデカルトの定理の両方を一般化します。

ガウス・ボネ定理には、いくつかの組み合わせ論的類似例がある。ここでは、その一つを述べる。M を有限の 2 次元擬似多様体とする。χ ( v )を頂点v を含む三角形の数とする。すると、

${\displaystyle \sum _{v\,\in \,\operatorname {int} M}{\bigl (}6-\chi (v){\bigr )}+\sum _{v\,\in \,\partial M}{\bigl (}3-\chi (v){\bigr )}=6\chi (M),\ }$

ここで、最初の合計はMの内部の頂点に及び、2番目の合計は境界の頂点に及び、χ ( M )はMのオイラー特性です。

2次元擬似多様体についても、三角形を高次の多角形に置き換えると、同様の式が得られます。n頂点の多角形の場合、上の式の3と6を次のように置き換える必要があります。ん/2 − 2の⁠と⁠2位/2 − 2の⁠、それぞれである。例えば、四辺形の場合、上の式の3と6をそれぞれ2と4に置き換える必要がある。より具体的には、 Mが閉じた2次元デジタル多様体である場合、種数は^[5]となる

${\displaystyle g=1+{\frac {M_{5}+2M_{6}-M_{3}}{8}},}$

ここで、M _{i は}、それぞれが表面上にi 個の隣接点を持つ表面点の数を示します。これは、3 次元デジタル空間におけるガウス・ボネの定理の最も単純な式です。

チャーンの定理（Shiing -Shen Chern 1945に由来）は、 GBの2n次元一般化である（チャーン-ヴェイユ準同型も参照）。

リーマン・ロッホの定理は、 GB の複素多様体への一般化としても考えることができます。

上記の定理をすべて含む広範囲な一般化は、アティヤ・シンガー指数定理です。

コンパクトである必要のない 2 次元多様体への一般化は、 コーン・フォッセンの不等式です。

グレッグ・イーガンの小説『ディアスポラ』では、2人の登場人物がこの定理の導出について議論しています。

この定理は彫刻を制御するシステムとして直接使用することができます。例えば、アーカンソー大学優等生学部のコレクションにあるエドマンド・ハリスの作品がその例です。^[6]

• チャーン・ガウス・ボネの定理
• アティヤ・シンガー指数定理

• グリンフェルド、パベル（2014）。テンソル解析と移動面の計算入門。シュプリンガー。ISBN 978-1-4614-7866-9。
• 「ガウス・ボネの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]

• Wolfram Mathworld のガウス・ボネ定理