複雑なトーラス

2次元複素トーラスの場合、周期行列は次の形式になります。 $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}\lambda _{1,1}&\lambda _{1,2}&\lambda _{1,3}&\lambda _{1,4}\\\lambda _{2,1}&\lambda _{2,2}&\lambda _{2,3}&\lambda _{2,4}\end{pmatrix}}}$$ 例えば、行列 $${\displaystyle \Pi ={\begin{pmatrix}1&0&i&2i\\1&-i&1&1\end{pmatrix}}}$$ 関連する周期行列の行列式が4であるため、周期行列を形成します。

任意の複素トーラスに対して${\displaystyle X=V/\Lambda }$寸法${\displaystyle g}$周期行列を持つ${\displaystyle \Pi }$形式 $${\displaystyle (Z,1_{g})}$$どこ${\displaystyle 1_{g}}$は単位行列であり、${\displaystyle Z\in Mat_{\mathbb {C} }(g)}$どこ${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$これは、ベクトル空間の基底変換を行うことで得られます。${\displaystyle V}$上記の形式のブロック行列を与える。${\displaystyle \det {\text{Im}}(Z)\neq 0}$対応するものを見ることから導かれる${\displaystyle P}$-マトリックス $${\displaystyle {\begin{pmatrix}Z&1_{g}\\{\overline {Z}}&1_{g}\end{pmatrix}}}$$ これは非特異行列でなければならないため。これは、ブロック行列の行列式を計算すると、単純に $${\displaystyle {\begin{aligned}\det P&=\det(1_{g})\det(Z-1_{g}1_{g}{\overline {Z}})\\&=\det(Z-{\overline {Z}})\\&\Rightarrow \det({\text{Im}}(Z))\neq 0\end{aligned}}}$$ それは次のような意味合いを持つ。

射影複素多様体、ひいては代数多様体を与える周期行列を得るには、周期行列がさらにリーマン双線形関係を満たす必要がある。^{[ 3 ]}

複素トーラス間の準同型写像のクラスは非常に単純な構造を持つ。もちろん、すべての準同型写像は正則写像を誘導するが、すべての正則写像は、ある特殊な正則写像と準同型写像の合成である。要素については、${\displaystyle x_{0}\in X}$変換マップを定義します $${\displaystyle t_{x_{0}}:X\to X}$$送信中${\displaystyle x\mapsto x+x_{0}}$そして、もし${\displaystyle h}$複素トーラス間の正則写像である${\displaystyle X,X'}$一意の準同型が存在する${\displaystyle f:X\to X'}$そのため $${\displaystyle h=t_{h(0)}\circ f}$$ これは、正則写像が複素トーラスの準同型写像の集合と比べてそれほど大きくないことを示している。

複素トーラスの準同型写像の明確なクラスの一つに、同種写像と呼ばれるものがあります。これらは、核がゼロでない複素トーラスの自己準同型写像です。例えば、${\displaystyle n\in \mathbb {Z} _{\neq 0}}$が整数である場合、関連付けられたマップが存在する $${\displaystyle n_{X}:X\to X}$$送信中${\displaystyle x\mapsto nx}$カーネルを持つ $${\displaystyle X_{n}\cong (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{2g}}$$ 同型${\displaystyle \Lambda /n\Lambda }$。

実ベクトル空間上の複素構造には同型性が存在する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{2g}}$そしてセット $${\displaystyle GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$ また、同型トーラスは格子の基底変換によって与えられるので、${\displaystyle GL_{\mathbb {Z} }(2g)}$これにより、次元の複素トーラスの同型類の集合が得られます。${\displaystyle g}$、${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}}$二重剰余類空間として $${\displaystyle {\mathcal {T}}_{g}\cong GL_{\mathbb {Z} }(2g)\backslash GL_{\mathbb {R} }(2g)/GL_{\mathbb {C} }(g)}$$ 実多様体として、これは次元を持つことに注意してください。 $${\displaystyle 4g^{2}-2g^{2}=2g^{2}}$$これは、アーベル多様体のモジュライ の次元を考察する際に重要であり、アーベル多様体よりもはるかに複雑なトーラスが存在することを示している。

最初の群コホモロジー群から始める $${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$その要素がどのように表現できるかを思い出してみましょう。${\displaystyle \pi _{1}(X)}$行動する${\displaystyle {\tilde {X}}}$すべての束に誘導作用があり、したがって $${\displaystyle H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*})=\{f:{\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}\}}$$の${\displaystyle \pi _{1}(X)}$アクションは正則写像として表現できる${\displaystyle f:\pi _{1}(X)\times {\tilde {X}}\to \mathbb {C} ^{*}}$このマップは、以下の条件を満たす場合にコサイクル条件を満たします。 $${\displaystyle f(a\cdot b,x)=f(a,b\cdot x)f(b,x)}$$ すべての${\displaystyle a,b\in \pi _{1}(X)}$そして${\displaystyle x\in {\tilde {X}}}$1-コサイクルのアーベル群${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$これは自己同型群の因子群と呼ばれます。このような関数は${\displaystyle f}$これらは単に因子とも呼ばれます。

自己同型性の因子が与えられた場合${\displaystyle f}$ラインバンドルを定義することができます${\displaystyle X}$以下のように：自明な線束${\displaystyle {\tilde {X}}\times \mathbb {C} \to {\tilde {X}}}$持っている${\displaystyle \pi _{1}(X)}$-アクションは $${\displaystyle a\cdot (x,t)=(a\cdot x,f(a,x)\cdot t)}$$ 要因について${\displaystyle f}$この作用は自由かつ適切に不連続であるため、商束は $${\displaystyle L={\tilde {X}}\times \mathbb {C} /\pi _{1}(X)}$$ は複素多様体である。さらに、射影は${\displaystyle p:L\to X}$被覆投影から誘発される${\displaystyle \pi$ :{\tilde {X}}\to X} 。これはマップを与えます $${\displaystyle Z^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})}$$ これは同型性を誘発する $${\displaystyle H^{1}(\pi _{1}(X),H^{0}({\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))\to \ker(H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{1}({\tilde {X}},{\mathcal {O}}_{\tilde {X}}^{*}))}$$ 望ましい結果をもたらす。

回線バンドルの場合${\displaystyle L}$自己同型性の因子によって与えられる${\displaystyle f:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$、 それで${\displaystyle [f]\in H^{1}(\Lambda ,H^{0}(V,{\mathcal {O}}_{V}^{*}))}$そして${\displaystyle \phi _{1}[f]=[L]\in {\text{Pic}}(X)}$関連するセクションの束があります${\displaystyle {\mathcal {L}}}$どこ $${\displaystyle {\mathcal {L}}(U)=\left\{\theta$$ :\pi ^{-1}(U)\to \mathbb {C}  :{\begin{matrix}\theta {\text{ 正則で }}\theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)\\{\text{すべての }}(\lambda ,v)\in \Lambda \times \pi ^{-1}(U)\end{matrix}}\right\}} で${\displaystyle U\subset X}$開いた。次に、グローバルセクションで評価すると、これは正則関数の集合となる。${\displaystyle \theta :V\to \mathbb {C} }$そのため $${\displaystyle \theta (v+\lambda )=f(\lambda ,v)\theta (v)}$$ これらはまさに平面上のシータ関数である。逆に、このプロセスは逆方向にも行うことができ、その場合、シータ関数の保型因子は、複素トーラス上の線束を定義する保型因子となる。

複雑なトーラスの場合${\displaystyle X=V/\Lambda }$ネロン＝セルヴェリ群を定義することができる${\displaystyle NS(X)}$エルミート形式のグループとして${\displaystyle H}$の上${\displaystyle V}$と $${\displaystyle {\text{Im}}H(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$$ 言い換えれば、それは準同型の像である。 $${\displaystyle c_{1}:H^{1}({\mathcal {O}}_{X}^{*})\to H^{2}(X,\mathbb {Z} )}$$ これは第1チャーンクラスに属する。また、実数値交代形式の群と同一視することもできる。${\displaystyle E}$の上${\displaystyle V}$そのため${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subseteq \mathbb {Z} }$。

^{[ 4 ]}楕円曲線の場合${\displaystyle {\mathcal {E}}}$格子によって与えられる${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&\tau \end{pmatrix}}}$どこ${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$積分形式を見つけることができる${\displaystyle E\in {\text{Alt}}^{2}(\Lambda ,\mathbb {Z} )}$一般的な交代行列を調べて、期待どおりに動作するための正しい適合条件を見つけることによって。標準基底を使用する場合${\displaystyle x_{1},y_{1}}$の${\displaystyle \mathbb {C} }$ 実ベクトル空間として（したがって${\displaystyle z=z_{1}+iz_{2}=z_{1}x_{1}+z_{2}y_{1}}$) とすると、交代行列を書き出すことができます $${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&e\\-e&0\end{pmatrix}}}$$ そして、関連付けられたベクトルの関連積を計算します。${\displaystyle 1,\tau }$。 これらは $${\displaystyle {\begin{aligned}E\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}&&E\cdot {\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$ 次に、これらのベクトルとベクトルの内積（標準内積）を取ると、${\displaystyle 1,\tau }$私たちは $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=0&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0\\-e\end{pmatrix}}=-e\tau _{2}\\{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=e\tau _{2}&&{\begin{pmatrix}\tau _{1}\\\tau _{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}e\tau _{2}\\-e\tau _{1}\end{pmatrix}}=0\end{aligned}}}$$ だからもし${\displaystyle E(\Lambda ,\Lambda )\subset \mathbb {Z} }$、 それから $${\displaystyle e=a{\frac {1}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$ そうすれば直接検証できます${\displaystyle E(v,w)=E(iv,iw)}$これは上記の行列に当てはまります。固定された${\displaystyle a}$積分形式を次のように書きます。${\displaystyle E_{a}}$すると、それに対応するエルミート形式が存在する。 $${\displaystyle H_{a}:\mathbb {C} \times \mathbb {C} \to \mathbb {C} }$$ によって与えられた $${\displaystyle H_{a}(z,w)=a\cdot {\frac {z{\overline {w}}}{{\text{Im}}(\tau )}}}$$ どこ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$

エルミート形式の場合${\displaystyle H}$セミキャラクターは地図です ${\displaystyle \chi$ :\Lambda \to U(1)} で、 $${\displaystyle \chi (\lambda +\mu )=\chi (\lambda )\chi (\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H(\lambda ,\mu ))}$$ そのため地図${\displaystyle \chi }$エルミート形式によって歪められたキャラクターのように振る舞います。注意：${\displaystyle H}$はゼロ要素です${\displaystyle NS(X)}$なので、それは自明な線束に対応する。${\displaystyle \mathbb {C} \times X\to X}$すると、関連するセミ文字は、文字のグループになります。${\displaystyle \Lambda }$これはグループに対応することが判明する${\displaystyle {\text{Pic}}^{0}(X)}$学位${\displaystyle 0}$ラインバンドル${\displaystyle X}$あるいは同等に、その双対トーラスは、文字群を計算することによって見ることができる。 ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$ その要素はマップとして因数分解できる ${\displaystyle \Lambda \to \mathbb {R} \to \mathbb {R} /\mathbb {Z} \cong U(1)}$ 文字の表示形式は次のようになります。 ${\displaystyle \chi (\cdot )=\exp \left(2\pi iv^{*}(\cdot )\right)}$ ある固定された双対格子ベクトルに対して${\displaystyle v^{*}\in \Lambda ^{*}}$これにより同型写像が得られる。 ${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\cong \mathbb {R} ^{2g}/\mathbb {Z} ^{2g}}$ 実トーラスを持つ文字の集合。半文字のすべてのペアと、それに対応するエルミート形式の集合。${\displaystyle (\chi ,H)}$、または半文字ペアはグループを形成する${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )}$どこ $${\displaystyle (H_{1},\chi _{1})*(H_{2},\chi _{2})=(H_{1}+H_{2},\chi _{1}\chi _{2})}$$ この群構造は、半指標に対する以前の交換法則を新しい半指標に適用することによって得られる。${\displaystyle \chi _{1}\chi _{2}}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}\chi _{1}\chi _{2}(\lambda +\mu )&=\chi _{1}(\lambda +\mu )\chi _{2}(\lambda +\mu )\\&=\chi _{1}(\lambda )\chi _{1}(\mu )\chi _{2}(\lambda )\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu ))\exp(i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\\&=\chi _{1}\chi _{2}(\lambda )\chi _{1}\chi _{2}(\mu )\exp(i\pi {\text{Im}}H_{1}(\lambda ,\mu )+i\pi {\text{Im}}H_{2}(\lambda ,\mu ))\end{aligned}}}$$ このグループは、${\displaystyle NS(X)}$カーネルも持っている${\displaystyle {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))}$短い正確なシーケンスを与える $${\displaystyle 1\to {\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))\to {\mathcal {P}}(\Lambda )\to NS(X)\to 1}$$ この全射は、すべての半文字ペアに行束を関連付けることによって構築できる。${\displaystyle L(H,\chi )}$。

半文字ペアの場合${\displaystyle (H,\chi )}$1-コサイクルを構築できます${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$の上${\displaystyle \Lambda }$地図として $${\displaystyle a_{(H,\chi )}:\Lambda \times V\to \mathbb {C} ^{*}}$$定義される $${\displaystyle a(\lambda ,v)=\chi (\lambda )\exp(\pi H(v,\lambda )+{\frac {\pi }{2}}H(\lambda ,\lambda ))}$$ コサイクル関係 $${\displaystyle a(\lambda +\mu ,v)=a(\lambda ,v+\mu )a(\mu ,v)}$$ 直接計算によって容易に検証できる。したがって、コサイクルは線束を決定する。 $${\displaystyle L(H,\chi )\cong V\times \mathbb {C} /\Lambda }$$ どこで${\displaystyle \Lambda }$-アクション${\displaystyle V\times \mathbb {C} }$は $${\displaystyle \lambda \circ (v,t)=(v+t,a_{(H,\chi )}(\lambda ,v)t)}$$ この操作は、線束のセクションを表示するために使用できます。${\displaystyle L(H,\chi )}$は、保型因子を持つシータ関数によって与えられる。${\displaystyle a_{(H,\chi )}}$. これは、自己同型の標準因子と呼ばれることもあります。${\displaystyle L}$。すべての行バンドルが${\displaystyle L\to X}$関連するエルミート形式を持つ${\displaystyle H}$半指標は、自己同型性の因子を用いて構築することができる。${\displaystyle L}$すると、全射が得られる。 $${\displaystyle {\mathcal {P}}(\Lambda )\to {\text{Pic}}(X)}$$ さらに、これは自明な核を持つ群準同型写像である。これらの事実はすべて、次の可換図式にまとめることができる。 $${\displaystyle {\begin{matrix}1&\to &{\text{Hom}}(\Lambda ,U(1))&\to &{\mathcal {P}}(\Lambda )&\to &NS(X)&\to 0\\&&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1&\to &{\text{Pic}}^{0}(X)&\to &{\text{Pic}}(X)&\to &{\text{NS}}(X)&\to 0\end{matrix}}}$$ ここで、縦の矢印は同型写像、つまり等号を表します。この図は一般的にアペル＝ハンバートの定理と呼ばれます。

From the construction of the dual complex torus, it is suggested that there should exist a line bundle ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ over the product of the torus ${\displaystyle X}$ and its dual which can be used to present all isomorphism classes of degree 0 line bundles on ${\displaystyle X}$. We can encode this behavior with the following two properties

1. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{X\times \{[L]\}}\cong L}$ for any point ${\displaystyle [L]\in {\hat {X}}}$ giving the line bundle ${\displaystyle L}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {P}}|_{\{0\}\times {\hat {X}}}}$ is a trivial line bundle

where the first is the property discussed above, and the second acts as a normalization property. We can construct ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ using the following hermitian form $${\displaystyle {\begin{matrix}H:(V\times {\overline {\Omega }})\times (V\times {\overline {\Omega }})\to \mathbb {C} \\H((v_{1},l_{1}),(v_{2},l_{2}))={\overline {l_{2}(v_{1})}}+l_{1}(v_{2})\end{matrix}}}$$ and the semi-character $${\displaystyle {\begin{matrix}\chi$$ :\Lambda \times {\hat {\Lambda }}\to U(1)\\\chi (\lambda ,l_{0})=\exp(i\pi {\text{Im}}l_{0}(\lambda ))\end{matrix}}} for ${\displaystyle H}$. Showing this data constructs a line bundle with the desired properties follows from looking at the associated canonical factor of ${\displaystyle (H,\chi )}$, and observing its behavior at various restrictions.

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• p進アーベル積分：理論から実践へ