トロイダル座標とポロイダル座標

トロイダル方向とポロイダル方向という用語は、基準となるトーラスに対する方向を指します。これらは3次元座標系を表し、ポロイダル方向は表面の周りの小さな円環に沿って、トロイダル方向はトーラスの中心の空洞を取り囲む大きな円環に沿っています。

オックスフォード英語辞典に引用されているこれらの用語の最も古い使用例は、ウォルター・M・エルサッサー（1946）によるもので、地球の磁場が核内の電流によって生成されるという文脈で使用されており、「トロイダル」は一定の緯度線に平行であり、「ポロイダル」は磁場の方向（つまり極方向）である。

OEDには、磁気閉じ込め核融合などで見られるような、トロイダルに閉じ込められたプラズマの文脈におけるこれらの用語の後期の使用例も記録されている。プラズマの文脈では、トロイダル方向はトーラスの長辺方向であり、対応する座標はスラブ近似ではz 、磁気座標ではζまたはφで表される。ポロイダル方向はトーラスの短辺方向であり、対応する座標はスラブ近似ではy 、磁気座標ではθで表される。（磁気面に垂直な第3の方向は、しばしば「半径方向」と呼ばれ、スラブ近似ではx 、磁気座標ではψ、χ、r、ρ、またはsで表される。）

磁気閉じ込めプラズマの物理学からの簡単な例として、半径の円形同心円状の磁束面を持つ軸対称システムを考えてみましょう。${\displaystyle r}$（初期のトカマクにおける磁場形状の粗い近似であるが、入れ子状の磁束面を持つ任意のトロイダル磁気閉じ込めシステムと位相的に等価である）トロイダル角をで表す${\displaystyle \zeta }$そしてポロイダル角は${\displaystyle \theta }$すると、トロイダル／ポロイダル座標系は、以下の変換規則によって標準的なデカルト座標系と関連付けられます。

${\displaystyle x=(R_{0}+r\cos \theta )\cos \zeta }$

${\displaystyle y=s_{\zeta }(R_{0}+r\cos \theta )\sin \zeta }$

${\displaystyle z=s_{\theta }r\sin \theta .}$

どこ${\displaystyle s_{\theta }=\pm 1,s_{\zeta }=\pm 1}$。

幾何学的に自然な選択は、${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$上の図の矢印で示されているトロイダル方向とポロイダル方向を与えるが、これによって${\displaystyle r,\theta,\zeta }$左手曲線座標系。磁気閉じ込めプラズマを記述するための磁束座標を設定する際に通常想定されるように、${\displaystyle r,\theta,\zeta }$右手系座標系を形成し、${\displaystyle \nabla r\cdot \nabla \theta \times \nabla \zeta >0}$ポロイダル方向を反転させるには、${\displaystyle s_{\theta }=-1,s_{\zeta }=+1}$または、トロイダル方向を反転させるには、${\displaystyle s_{\theta }=+1,s_{\zeta }=-1}$どちらの選択肢も文献で使用されている。

トロイダル閉じ込めプラズマ装置における単一粒子の運動を研究するには、速度ベクトルと加速度ベクトルを知る必要がある。自然な選択を考慮すると、${\displaystyle s_{\theta }=s_{\zeta }=+1}$トロイダル座標系とポロイダル座標系の単位ベクトル${\displaystyle \left(r,\theta ,\zeta \right)}$次のように表現できます。

${\displaystyle \mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \zeta \\\cos \theta \sin \zeta \\\sin \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}-\sin \theta \cos \zeta \\-\sin \theta \sin \zeta \\\cos \theta \end{pmatrix}}\quad \mathbf {e} _{\zeta }={\begin{pmatrix}-\sin \zeta \\\cos \zeta \\0\end{pmatrix}}}$

デカルト座標系によれば、位置ベクトルは次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(r+R_{0}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}-R_{0}\sin \theta \mathbf {e} _{\theta }}$

速度ベクトルは次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} ={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\dot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\mathbf {e} _{\zeta }}$

加速度ベクトルは次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\ddot {r}} ={}&\left({\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}-r{\dot {\zeta }}^{2}\cos ^{2}\theta -R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \right)\mathbf {e} _{r}\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\theta }}+r{\ddot {\theta }}+r{\dot {\zeta }}^{2}\cos \theta \sin \theta +R_{0}{\dot {\zeta }}^{2}\sin \theta \right)\mathbf {e} _{\theta }\\[5pt]&{}+\left(2{\dot {r}}{\dot {\zeta }}\cos \theta -2r{\dot {\theta }}{\dot {\zeta }}\sin \theta +{\ddot {\zeta }}\left(R_{0}+r\cos \theta \right)\right)\mathbf {e} _{\zeta }\end{aligned}}}$

• ポロイダル-トロイダル分解
• トーラス座標
• トーラス
• 帯状およびポロイダル
• ゾーンフロー（プラズマ）

• 「オックスフォード英語辞典オンライン」。ポロイダル。オックスフォード大学出版局。2007年8月10日取得。
• Elsasser, WM (1946). "地磁気における誘導効果、第 I 部 理論" . Phys. Rev . 69 ( 3– 4): 106– 116. Bibcode : 1946PhRv...69..106E . doi : 10.1103/PhysRev.69.106 . 2007-08-10に取得.