ホップファイブレーション

微分位相幾何学において、ホップファイバ（ホップバンドルまたはホップマップとも呼ばれる）は、3 球面（4 次元空間の超球面）を円と通常の球で記述するものである。これは 1931 年にハインツホップによって発見され、ファイバーバンドルの初期の有力な例である。技術的には、ホップは $3球面から$ $2$ 球面への多対 1 の連続関数（または「マップ」）を発見し、 $2$ 球面のそれぞれの異なる点が $3$ 球面の異なる大円からマップされるようにした（Hopf 1931）。^[1]したがって、 $3球面はファイバーで構成され、各ファイバーは円であり、$ $2$ 球面の各点に 1 つずつ対応している。

この繊維束構造は

S^{1}\hookrightarrow S^{3}{\xrightarrow {\ p\,}}S^{2},

これは、ファイバー空間 $S 1$ (円) が全空間 $S$ $3$ ( $3球面) に$ 埋め込まれ、 $p$ $:$ $S$ $3$ $\to$ $S$ $2$ (ホップの写像) が $S$ $3 を$ ベース空間 $S$ $2$ (通常の $2球面) に射影することを意味します。ホップファイバは、他のファイバーバンドルと同様に、$ 局所的には積空間であるという重要な特性を持っています。ただし、これは自明なファイバーバンドルではありません。つまり、 $S$ $3$ は、局所的にはS 2 と S 1の積ではありませんが、大域的には $S$ $2$ と $S$ $1$ の積ではありません。

これには多くの意味があります。たとえば、このバンドルの存在は、球面の高次ホモトピー群が一般に自明ではないことを示しています。また、ファイバーを円群と同一視することで、主バンドルの基本的な例も提供します。

ホップファイバの立体射影により、 $R 3$ 上に注目すべき構造が誘導されます。この構造では、z 軸を除く 3 次元空間のすべてが、ヴィラルソー円を連結して作られた入れ子状のトーラスで満たされます。ここで、各ファイバは空間内の円に射影されます(そのうちの 1 つは直線で、「無限遠を通る円」と考えられます)。各トーラスは、 $2$ 球面の緯度円の逆像の立体射影です。(位相的には、トーラスは 2 つの円の積です。) これらのトーラスは、右の図に示されています。 $R$ $3$ が球の境界に圧縮されると、位相構造は保持されますが、一部の幾何学的構造は失われます (位相と幾何学を参照)。ループは円に同相ですが、幾何学的な円ではありません。

ホップファイバ化の一般化は数多くある。複素座標空間 $C n +1$ の単位球は、円をファイバとする複素射影空間 $CP n$ 上に自然にファイバとなり、またこれらのファイバ化には実数、四元数、^[2]、八元数バージョンもある。特にホップファイバ化は、全空間、基底空間、ファイバ空間がすべて球である 4 つのファイバ束の族に属する。

S^{0}\hookrightarrow S^{1}\to S^{1},

S^{1}\hookrightarrow S^{3}\to S^{2},

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4},

S^{7}\hookrightarrow S^{15}\to S^{8}.

アダムスの定理によれば、そのようなファイバ化はこれらの次元でのみ発生します。

定義と構築

任意の自然数 nに対して、n次元球面、またはn 球面は、中心点から固定距離にある次元空間内の点の集合として定義できます。具体的には、中心点を原点とし、この原点から球面上の点までの距離を単位長さとすることができます。この規則では、n球面は、 x ₁² + x ₂² + ⋯+ x _n_{+ 1}² = 1となる内の点で構成されます。たとえば、 $3球面は、$ x ₁² + x ₂² + x ₃² + x ₄² = 1となるR ⁴内の点 ( x ₁、 x ₂、 x ₃、 x ₄ )で構成されます。 $(n+1)$ $S^{n}$ $(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n+1})$ $\mathbb {R} ^{n+1}$

$2$ 球面上の $3$ 球面のホップファイバ $p : S 3 \to S 2$ は、いくつかの方法で定義できます。

直接建設

$R 4 を$ $C 2$ と同一視し、 $R 3 を$ $C \times R$ と同一視します( $C は$ 複素数を表します)。

(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\leftrightarrow (z_{0},z_{1})=(x_{1}+ix_{2},x_ {3}+ix_{4})

そして

(x_{1},x_{2},x_{3})\leftrightarrow (z,x)=(x_{1}+ix_{2},x_{3})

。

したがって、 $S 3は、$ $C$ $2$ のすべての $($ $z$ $0$ $,$ $z$ $1$ $)$ の部分集合で、 $|$ $z$ $0$ $|$ $2$ $+ |$ $z$ $1$ $|$ $2$ $= 1$ であるものと同一視され、 $S$ $2は、$ $C$ $\times$ $R$ のすべての $($ $z$ $,$ $x$ $)$ の部分集合で、 $|$ $z$ $|$ $2$ $+$ $x$ $2$ $= 1$ であるものと同一視されます。(ここで、複素数 $z$ $=$ $x$ $+ i$ $y$ $に対して、|$ $z$ $|$ $2$ $=$ $z$ $z$ $*$ $=$ $x$ $2$ $+$ $y$ $2$ であり、星印は複素共役を表します。) すると、ホップファイバレーション $p は$ 次のように定義されます。

p(z_{0},z_{1})=(2z_{0}z_{1}^{\ast },\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}).

最初の要素は複素数ですが、2 番目の要素は実数です。3 球面上の任意の点は、 $|$ $z 0 | 2 + | z 1 | 2 = 1$ という性質を持つ必要があります。そうであれば、 $p (z 0, z 1)は$ $C$ $\times$ $R$ の単位 $2$ 球面上にあり、これは $p$ の複素数要素と実数要素の絶対値の 2 乗を加えることで示されます。

2z_{0}z_{1}^{\ast }\cdot 2z_{0}^{\ast }z_{1}+\left(\left|z_{0}\right|^{2}-\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=4\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{0}\right|^{4}-2\left|z_{0}\right|^{2}\left|z_{1}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{4}=\left(\left|z_{0}\right|^{2}+\left|z_{1}\right|^{2}\right)^{2}=1

さらに、 3 次元球面上の 2 点が 2 次元球面上の同じ点に写像される場合、つまり $p (z 0, z 1) = p (w 0, w 1)$ である場合、 $|$ $λ$ $|$ $2$ $= 1$ となる複素数 $λ$ $に対して、 (w 0, w 1)は$ $(λ z 0, λ z 1)$ に等しくなければなりません。逆もまた真で、共通の複素因数 $λ$ $だけ異なる3 次元球面上の任意の 2 点は、$ $2 次元$ 球面上の同じ点に写像されます。これらの結論は、複素因数 $λ が$ $p$ の両方の部分、すなわち複素 $2$ $z$ $0$ $z$ $1$ $*$ 成分と実数成分 $|$ $z$ $0$ $|$ $2$ $- |$ $z$ $1$ $|$ $2$ でその複素共役 $λ$ $*$ と打ち消すことから導かれます。

$|$ $λ$ $|$ $2$ $= 1$ となる複素数 $λ$ の集合は複素平面上の単位円を形成するので、 $S$ $2$ 内の各点 $m$ に対して逆像p $-1$ $($ $m$ $)$ $は$ 円、すなわち $p$ $-1$ $m$ $≅$ $S$ $1$ となる。したがって、 $3$ 球面はこれらの円形ファイバーの互いに素な結合として実現される。

ホップ写像を用いた $3$ 球面の直接パラメータ化は次のようになる。 ^[3]

z_{0}=e^{i\,{\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}}\sin \eta

z_{1}=e^{i\,{\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}}\cos \eta .

または $ユークリッド$ $R4$

x_{1}=\cos \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta

x_{2}=\sin \left({\frac {\xi _{1}+\xi _{2}}{2}}\right)\sin \eta

x_{3}=\cos \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta

x_{4}=\sin \left({\frac {\xi _{2}-\xi _{1}}{2}}\right)\cos \eta

ここで、 $η は$ $0$ から $π /2 の$ 範囲、 $ξ 1 は$ $0$ から $2 π$ の範囲、 $ξ 2 は$ $0$ から $4 π$ の任意の値を取ることができます。円を指定する $0$ と $π$ $/2 を$ 除く $η$ $のすべての値は、 3$ 球面内の個別の平坦なトーラスを指定し、 $ξ$ $1$ または $ξ$ $2$ のいずれかの1 往復 ( $0$ から $4$ $π$ ) で、トーラスの両方の肢を 1 周します。

上記のパラメータ化を $2$ 球面にマッピングすると、円上の点は $ξ 2$ でパラメータ化されます。

z=\cos(2\eta )

x=\sin(2\eta )\cos \xi _{1}

y=\sin(2\eta )\sin \xi _{1}

複素射影直線を用いた幾何学的解釈

ファイバ化の幾何学的解釈は、 $C$ $2$ のすべての複素 1 次元部分空間の集合として定義される複素射影直線 $CP 1$ を使って得ることができる。同様に、 $CP$ $1$ は、任意の非ゼロ複素数λに対して $($ $z$ $0$ $,$ $z$ $1$ $)を$ $($ $λ$ $z$ $0$ $,$ $λ$ $z$ $1$ $)$ と同一視する同値関係による $C$ $2$ $\{0} の商である。$ C ²の任意の複素直線上には単位ノルムの円があり、したがって商写像を単位ノルムの点に制限することは、 $CP$ $1$ 上の $S$ $3$ のファイバ化である。

$CP 1 は$ $2$ 球面と微分同相です。実際、これはリーマン球面 $C \infty = C \cup {\infty}$ と同一視できます。これは $C$ の1 点コンパクト化です (無限遠点を追加することによって得られます $)。上記のp$ の式は、 $3$ 次元空間における複素射影直線と通常の $2$ 球面。あるいは、点 $($ $z$ $0$ $,$ $z$ $1$ $)$ は、リーマン球面 $C$ $\infty$ の比 $z$ $1$ $/$ $z$ $0$ にマッピングできます。

繊維束構造

ホップファイバは、バンドル射影が $p$ であるファイババンドルを定義します。これは、 $2$ 球面上のすべての点に近傍 $U$ $があり、 3$ 球面上のその逆像が $U$ と円の積 $p$ $-1$ $($ $U$ $) ≅$ $U$ $\times$ $S$ $1$ と同一視できるという意味で、「局所積構造」を持つことを意味します。このようなファイバは、局所的に自明であると言われています。

$ホップファイバリングの場合、 S$ $2$ から単一の点 $m を削除し、$ $S$ $3$ から対応する円 $p$ $-1$ $($ $m$ $) を$ 削除するだけで十分です。したがって、 $U$ $=$ $S$ $2$ $\{$ $m$ $}$ とすることができ、 $S$ $2$ 内の任意の点にはこの形式の近傍があります。

回転を用いた幾何学的解釈

ホップファイバの別の幾何学的解釈は、通常の $3$ 次元空間における $2球面の回転を考慮することによって得られます。$ 回転群 SO(3) には、 $3$ 球面と微分同相なスピン群 $Spin(3) という$ 二重被覆があります。スピン群は、回転によって $S$ $2$ に推移的に作用します。点の安定群は円群と同型です。その要素は、特定の点を動かさずに残す回転角であり、すべてその点と球の中心を結ぶ軸を共有しています。3 球面が $2$ $球面$ 上の主円束であることが容易にわかり、これがホップファイバです。

これをより明確にするために、2つのアプローチがあります。Spin $(3)群は、$ 単位四元数の群Sp(1)と同一視するか、特殊ユニタリ群 SU(2)と同一視することができます。

$最初のアプローチでは、 R$ $4$ のベクトル $(x 1, x 2, x 3, x 4)$ は、次のように記述して四元数 $q$ $\in$ $H$ として解釈されます。

q=x_{1}+\mathbf {i} x_{2}+\mathbf {j} x_{3}+\mathbf {k} x_{4}.\,\!

3球面は、単位ノルムの四元数であるベルソル $q$ $\in$ $H$ と同一視され、 $|$ $q$ $|$ $2$ $= 1$ となり、 $|$ $q$ $|$ $2$ $=$ $qq$ $*$ $となり$ 、これは上記のように $q$ に対して $x$ $1$ $2$ $+$ $x$ $2$ $2$ $+$ $x$ $3$ $2$ $+$ $x$ $4$ $2$ に等しくなります。

一方、 $R$ $3$ のベクトル $(y 1, y 2, y 3)$ は純粋な四元数として解釈できる。

p=\mathbf {i} y_{1}+\mathbf {j} y_{2}+\mathbf {k} y_{3}.\,\!

そして、ケイリー（1845）以来よく知られているように、マッピング

p\mapsto qpq^{*}\,\!

$はR 3$ における回転です。実際、 $|$ $qpq$ $*$ $|$ $2$ $=$ $qpq$ $*$ $qp$ $*$ $q$ $*$ $=$ $qpp$ $*$ $q$ $*$ $= |$ $p$ $|$ $2$ であるため、明らかに等長変換であり、方向が保存されていることを確認するのは難しくありません。

実際、これは、バーソル $q$ と $-$ $q$ が同じ回転を決定するという事実を法として、バーソル群を $R 3$ の回転群と同一視します。上で述べたように、回転は $S$ $2$ に対して推移的に作用し、与えられた右バーソル $p を固定するバーソル$ $qの集合は$ $q$ $=$ $u$ $+$ $v$ $p の$ 形式を持ちます。ここで、 $u$ と $v は$ 実数で、 $u$ $2$ $+$ $v$ $2$ $= 1$ です。これは円の部分群です。具体的には、 $p$ $=$ $kとすると、ホップファイブレーションはバーソル$ $ω を$ $ω$ $k$ $ω$ $*$ $に$ 送る写像として定義できます。 $qが$ $k を$ 固定するバーソルの円の 1 つである四元数 $ωq はすべて、同じものにマッピングされます (これは、$ $k を$ $ω$ と同じ場所に回転させる2 つの $180°$ 回転のうちの 1 つになります)。

このファイバ化を別の方法で見ると、すべてのバーソル ω は、 ${1, k}が張る平面を$ ${ω, ωk}$ が張る新しい平面に移動するということです。 $q が$ $k を$ 固定するバーソルの円の 1 つである任意の四元数 $ωq は同じ効果を持ちます。これらすべてを 1 つのファイバに入れると、ファイバは$ $ωkω$ $*$ の範囲である $180°回転の$ $2$ 球に 1 対 1 でマッピングできます。

$このアプローチは、四元数q = x 1 + i x 2 + j x 3 + k x 4$ $を2\times2$ 行列と同一視することによる直接構築に関連しています。

{\begin{bmatrix}x_{1}+\mathbf {i} x_{2}&x_{3}+\mathbf {i} x_{4}\\-x_{3}+\mathbf {i} x_{4}&x_{1}-\mathbf {i} x_{2}\end{bmatrix}}.\,\!

これは、ベルソル群を $SU(2)$ と同一視し、虚数四元数を歪エルミート $2\times2$ 行列（ $C \times R$ と同型）と同一視する。

明示的な式

$単位四元数q = w + i x + j y + k z$ によって誘発される回転は、直交行列によって明示的に与えられる。

{\begin{bmatrix}1-2(y^{2}+z^{2})&2(xy-wz)&2(xz+wy)\\2(xy+wz)&1-2(x^{2}+z^{2})&2(yz-wx)\\2(xz-wy)&2(yz+wx)&1-2(x^{2}+y^{2})\end{bmatrix}}.

$ここで、 z$ 軸に沿った固定単位ベクトル $(0,0,1)$ が別の単位ベクトルに回転することに注目して、バンドル投影の明示的な実数式を見つけます。

{\Big (}2(xz+wy),2(yz-wx),1-2(x^{2}+y^{2}){\Big )},\,\!

$これは(w, x, y, z)$ の連続関数です。つまり、 $q$ $の像は、 2球面上で単位ベクトルを$ $z$ 軸に沿って送る点です。S $2$ 上の任意の点のファイバーは、 $単位$ ベクトルをそこに送るすべての単位四元数で構成されます。

$S$ $2$ の点 $(a, b, c)$ 上のファイバーの明示的な式を書くこともできます。単位四元数の乗算は回転の合成を生成し、

q_{\theta }=\cos \theta +\mathbf {k} \sin \theta

$はz$ 軸の周りを $2 θ$ 回転する $。θが変化すると、これは$ $S$ $3$ の大円、つまり我々の原型的な繊維を描く。基点 $($ $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ $)が対蹠点$ $(0, 0, -1)$ でない限り、四元数

q_{(a,b,c)}={\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}(1+c-\mathbf {i} b+\mathbf {j} a)

$は(0, 0, 1)を$ $(a, b, c)$ に送ります。したがって、 $(a, b, c)$ のファイバーは、 $q (a, b, c) q θ$ の形式の四元数で与えられ、これは $S 3$ 点です。

{\frac {1}{\sqrt {2(1+c)}}}{\Big (}(1+c)\cos(\theta ),a\sin(\theta )-b\cos(\theta ),a\cos(\theta )+b\sin(\theta ),(1+c)\sin(\theta ){\Big )}.\,\!

$q (a 、 b 、 c)$ による乗算は四元数空間の回転として作用するため、ファイバーは単なる位相的な円ではなく、幾何学的な円です。

最終的なファイバー $（0, 0, -1）は、$ $q （0,0,-1）を$ $i$ と等しく定義することで与えられ、

{\Big (}0,\cos(\theta ),-\sin(\theta ),0{\Big )},

$これによりバンドルが完成します。ただし、 S 3$ と $S 2 \times S 1$ 間のこの 1 対 1 のマッピングはこの円上で連続していないことに注意してください。これは、 $S 3が$ $S 2 \times S 1$ と位相的に同等ではないという事実を反映しています。

したがって、ホップファイブレーションを視覚化する簡単な方法は次のようになります。 $3球面上の任意の点は$ 4 元数に相当し、これは3 次元の直交座標系の特定の回転に相当します。すべての可能な 4 元数の集合は、すべての可能な回転の集合を生成し、これはそのような座標系の 1 つの単位ベクトル (たとえば、 $z$ ベクトル) の先端を単位 $2球面上のすべての可能な点に移動します。ただし、$ $z$ ベクトルの先端を固定しても回転は完全に指定されません。 $z 軸$ を中心にさらに回転できます。したがって、 $3球面は$ $2$ 球面にマッピングされ、さらに 1 つの回転が行われます。

回転は、オイラー角 θ、φ、ψを使用して表すことができます。ホップマッピングは、回転を θ と φ で指定された 2 次元球面上の点にマッピングし、関連付けられた円は ψ によってパラメーター化されます。θ = π の場合、オイラー角 φ と ψ は個別に明確に定義されないため、( θ 、 φ 、 ψ )の3 次元トーラスとS ³の間には 1 対 1 のマッピング (または 1 対 2 のマッピング) がないことに注意してください。

流体力学

ホップファイバを 3 次元空間のベクトル場として扱うと、流体が 3 次元空間のホップファイバの投影の円に沿って流れる流体力学の (圧縮性、非粘性)ナビエ-ストークス方程式の解が存在します。速度、密度、圧力の大きさは、各ポイントで方程式を満たすように選択できます。これらの量はすべて、中心から離れるにつれてゼロになります。a が内輪までの距離である場合、速度、圧力、密度フィールドは次のように表されます。

\mathbf {v} (x,y,z)=A\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-2}\left(2(-ay+xz),2(ax+yz),a^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\right)

p(x,y,z)=-A^{2}B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-3},

\rho (x,y,z)=3B\left(a^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{-1}

任意の定数 $A$ と $B$ に対して、同様の場のパターンが電磁流体力学のソリトン解として見出される：^[4]

一般化

ホップ構成は、ファイバー束p : S ³ → CP ¹として見ると、ホップファイバー化とも呼ばれるいくつかの一般化が可能です。まず、射影直線をn次元射影空間に置き換えることができます。次に、複素数を任意の（実）除算代数に置き換えることができます。これには（ n = 1の場合）八元数も含まれます。

実ホップファイバ

ホップファイバの実バージョンは、円S ^{1 を}通常の方法でR ²のサブセットと見なし、対心点を識別することによって得られます。これにより、ファイバーS ^{0 = {1, −1} を持つ}実射影直線上のファイバーバンドルS ¹ → RP ^{1が得られます。CP}¹が球と微分同相であるのと同様に、 RP ^{1 は}円と微分同相です。

より一般的には、ファイバーS ^0を持つ実射影空間RP ⁿ上のn球面S ⁿファイバー。

複素ホップファイバ

ホップ構成は複素射影空間上の円束p : S ^{2 n +1} → CP ⁿを与える。これは実際にはCP ⁿ上の同語直線束をC ⁿ⁺¹内の単位球面に制限したものである。

四元ホップファイバ

同様に、 S ^{4 n+3 を}H ⁿ⁺¹ (四元数 n空間)にあると見なし、単位四元数 (= S ^{3 ) の乗算で因数分解して}四元数射影空間 HP ⁿを得ることができます。特に、S ⁴ = HP ¹なので、ファイバーS ³を持つバンドルS ⁷ → S ⁴が存在します。

八元ホップファイバ

八元数で同様の構成をすると、繊維S ⁷を持つ束S ¹⁵ → S ⁸が得られる。しかし、球S ^{31 は繊維}S ¹⁵を持つS ¹⁶を繊維化しない。S ^{8 は}八元数射影直線OP ^{1とみなすことができる。}八元数射影平面OP ²を定義することもできるが、球S ^{23 は} 繊維S ^7を持つOP ²を繊維化しない。^[5]^[6]

球間の繊維化

「ホップファイバ」という用語は、上で得られた球面間のファイバに限定されることもあり、

S ¹ →ファイバーS ^0を含むS ¹
S ³ → S ²（ファイバーS ^1付き）
S ⁷ → S ⁴（ファイバーS ^3付き）
S ¹⁵ → S ⁸（ファイバーS ^7付き）

アダムスの定理の結果として、全空間、基底空間、ファイバーとして球を持つファイバー束は、これらの次元でのみ発生できます。ホップファイバーとは異なるが同様の特性を持つファイバー束は、ジョン・ミルナーによってエキゾチックな球を構成するために使用されました。

幾何学と応用

ホップファイバー化には多くの意味合いがあり、純粋に興味深いものもあれば、より深い意味を持つものもあります。たとえば、ステレオグラフィック射影 S ³ → R ^{3 は}R ³に注目すべき構造を誘導し、バンドルのトポロジーを明らかにします (Lyons 2003)。ステレオグラフィック射影は円を保存し、ホップファイバーを空間を満たすR ^{3の幾何学的に完全な円にマッピングします。ここで 1 つの例外があります。射影点を含むホップ円は、}R ³の直線、つまり「無限を通る円」にマッピングされます。

S ²上の緯度円上の繊維はS ³でトーラスを形成し(位相的には、トーラスは 2 つの円の積である)、これらはR ³の入れ子になったトーラスに投影され、これも空間を埋める。個々の繊維は、投影点を通る円とその反対の点を通る円を除いて、これらのトーラス上の連結するヴィラルソー円にマッピングされる。前者は直線にマッピングされ、後者はこの直線に垂直で中心にある単位円にマッピングされる。これは、短半径が 0 に縮小された退化したトーラスと見なすことができる。他のすべての繊維像も直線を囲むため、対称性により、各円はR ³とS ^{3の両方で}すべての円に連結される。このような連結円 2 つは、R ³でホップリンクを形成する。

ホップはホップ写像がホップ不変量1 を持ち、したがってヌルホモトピックではないことを証明しました。実際、ホップ写像はホモトピー群π ₃ ( S ² ) を生成し、無限の順序を持ちます。

量子力学では、リーマン球はブロッホ球として知られており、ホップファイバは量子力学的な2レベルシステムまたは量子ビットの位相構造を記述します。同様に、エンタングルされた2レベルシステムのペアの位相はホップファイバによって与えられます。

S^{3}\hookrightarrow S^{7}\to S^{4}.

(Mosseri & Dandoloff 2001) さらにホップファイバはディラックモノポールのファイバ束構造と同等である。^[7]

ホップファイバはロボット工学にも応用されており、動作計画における確率的ロードマップアルゴリズムのためにSO(3)上の均一なサンプルを生成するために使われた。 ^[8]また、クワッドローターの自動制御にも応用されている。^[9]^[10]

参照

ヴィラルソーサークル

注記

^ $3$ 球面を互いに交わらない大円に分割することが可能なのは、 $2球面とは異なり、$ $3$ 球面の個別の大円は交差する必要がないためです。
^ 四次ホップファイバ化、ncatlab.org。https://ncatlab.org/nlab/show/quaternionic+Hopf+fibration
^ スミス、ベンジャミン。「ベンジャミン・H・スミスのホップファイバーノート」（PDF）。2016年9月14日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
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参考文献

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外部リンク

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