マッピングクラスグループ

数学において、幾何位相幾何学の分野において、写像類群は位相空間の重要な代数的不変量である。簡単に言えば、写像類群は空間の対称性に対応する 特定の離散群である。

位相空間、つまり空間内の点間の近さの概念を持つ空間について考えてみましょう。空間からその空間自体への同相写像の集合、つまり連続的な逆写像、つまり空間を破壊したり接着したりすることなく連続的に空間を伸縮したり変形したりする関数について考えることができます。この同相写像の集合は、それ自体が空間であると考えることができます。これは関数合成の下で群を形成します。この新しい同相写像の空間上に位相を定義することもできます。この新しい関数空間の開集合は、コンパクト部分集合K を開部分集合Uに写す関数の集合で構成されます。これは、 KとU が元の位相空間全体に及ぶときに行われ、有限の交差 (位相の定義により開いている必要があります) と任意の和 (これも開いている必要があります) で完了します。これにより、関数の空間上の連続性の概念が得られ、同相写像自体の連続的な変形 (ホモトピーと呼ばれる) について考えることができます。同相写像のホモトピー類を取り、同相写像の空間上にすでに存在する関数合成群構造から群構造を誘導することによって、写像類群を定義します。

写像類群という用語は、柔軟に使用されます。ほとんどの場合、これは多様体 M のコンテキストで使用されます。 M の写像類群は、 M の自己同型の同位類の群として解釈されます。したがって、 Mが位相多様体の場合、写像類群はMの同相写像の同位類の群です。 M が滑らかな多様体の場合、写像類群はMの微分同相写像の同位類の群です。オブジェクトXの自己同型群が自然な位相を持つときはいつでも、 Xの写像類群はと定義されます。ここで、 はにおける恒等写像のパス成分です。(コンパクト開位相では、パス成分と同位類が一致することに注意してください。つまり、2 つの写像fとgは、それらが同位である場合に限り、同じパス成分にあります^{[引用が必要]} )。位相空間の場合、これは通常、コンパクト開位相です。低次元位相幾何学の文献では、 Xの写像類群は通常 MCG( X ) と表記されますが、 と表記されることもよくあります。ここで、Aut はXが属するカテゴリの適切な群に置き換えられます。ここで、 は空間の 0 番目のホモトピー群を表します。${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)/\operatorname {Aut} _{0}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} _{0}(X)}$${\displaystyle \operatorname {Aut} (X)}$${\displaystyle \pi _{0}(\operatorname {Aut} (X))}$${\displaystyle \pi_{0}}$

したがって、一般に、グループの 短い 正確なシーケンスが存在します。

${\displaystyle 1\rightarrow \operatorname {Aut} _{0}(X)\rightarrow \operatorname {Aut} (X)\rightarrow \operatorname {MCG} (X)\rightarrow 1.}$

このシーケンスは分割されないことが多い。^[1]

ホモトピーカテゴリで作業する場合、 Xのマッピングクラス群は、Xのホモトピー同値のホモトピークラスのグループです。

頻繁に研究される写像類群のサブグループが多数あります。Mが有向多様体である場合、はMの向き保存自己同型となり、したがってM が向き反転自己同型を許容する場合、 Mの写像類群(有向多様体として) はMの写像類群(無向多様体として)のインデックス 2 になります。同様に、 Mのすべてのホモロジー群の恒等写像として機能するサブグループは、MのTorelli 群と呼ばれます。 ${\displaystyle \operatorname {Aut} (M)}$

あらゆるカテゴリー（滑らか、PL、位相的、ホモトピー）^[2]

${\displaystyle \operatorname {MCG} (S^{2})\simeq \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

±1度のマップに対応します 。

ホモトピーカテゴリでは

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\simeq \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} ).}$

これは、n次元トーラスが アイレンバーグ・マクレーン空間であるためです。 ${\displaystyle \mathbf {T} ^{n}=(S^{1})^{n}}$

他のカテゴリの場合、^[3]では次の分割完全列が得られます。 ${\displaystyle n\geq 5}$

位相空間のカテゴリでは

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

PLカテゴリー

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

（⊕は直和を表す）。滑らかなカテゴリでは

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} _{2}^{\infty }\oplus {\binom {n}{2}}\mathbb {Z} _{2}\oplus \sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\Gamma _{i+1}\to \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{n})\to \operatorname {GL} (n,\mathbb {Z} )\to 0}$

ここで、はホモトピー球面のケルヴェア・ミルノア有限アーベル群であり、は位数 2 の群です。 ${\displaystyle \Gamma_{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

曲面の写像類群は精力的に研究されており、タイヒミュラー空間に作用し、その商が曲面に同相なリーマン面のモジュライ空間となることから、タイヒミュラー・モジュラー群と呼ばれることもある（上記の の特殊ケースに注意）。これらの群は、双曲群と高階線型群の両方に類似した特徴を示す^{[要出典] 。これらは、}サーストンの幾何学的三次元多様体の理論（たとえば、曲面束）に多くの応用がある。この群の元もそれ自体で研究されており、重要な結果はニールセン・サーストン分類定理であり、群の生成族は、ある意味で「最も単純な」写像類であるデーン・ツイストによって与えられる。すべての有限群は、閉じた有向曲面の写像類群の部分群である。^{[4]実際、任意の有限群は、あるコンパクトな}リーマン面の等長写像群として実現することができます（これは、それが基礎となる位相面の写像類群に注入されることを直ちに意味します）。 ${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {T} ^{2})}$

いくつかの非向き付け曲面には、単純な表現を持つ写像類群があります。たとえば、実射影平面 のすべての同相写像は恒等写像と同形です。 ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle \operatorname {MCG} (\mathbf {P} ^{2}(\mathbb {R} ))=1.}$

クラインの壺 Kのマッピング類群は次のとおりです。

${\displaystyle \operatorname {MCG} (K)=\mathbb {Z} _{2}\oplus \mathbb {Z} _{2}.}$

4 つの要素は、恒等式、メビウスの帯を囲まない 2 辺曲線上のデーン ツイスト、リコリッシュのy 相同性、ツイストと y 相同性の積です。デーン ツイストの 2 乗が恒等式と同位であることを示すのは良い練習になります。

また、閉じた種数3 の向き付け不可能な曲面N ₃ (3 つの射影平面の接続された和) には次の性質があることにも注意してください。

${\displaystyle \operatorname {MCG} (N_{3})=\operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} ).}$

これは、曲面Nが片側曲線の唯一のクラスを持ち、Nをそのような曲線Cに沿って切り開くと、結果として得られる曲面は円板が除去されたトーラスとなるためです。無向曲面として、そのマッピングクラス群はです。（補題2.1 ^[5]）。 ${\displaystyle N\setminus C}$${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbb {Z} )}$

3次元多様体の写像類群もかなり研究されており、2次元多様体の写像類群と密接に関連している。例えば、任意の有限群は、コンパクトな双曲型3次元多様体の写像類群（および等長変換群）として実現することができる。^[6]

空間のペア (X,A)が与えられた場合、そのペアの写像類群は、そのペアの自己同型の同位類です。ここで、(X,A)の自己同型は、 A を保存するXの自己同型として定義されます。つまり、f : X → X は可逆であり、f(A) = Aです。

K ⊂ S ^3が結び目またはリンクである場合、結び目（またはリンク）の対称群は、ペア（S ³、K）のマッピング類群として定義されます。双曲結び目の対称群は、二面体または巡回であることが知られています。さらに、すべての二面体および巡回群は、結び目の対称群として実現できます。トーラス結び目の対称群は、位数 2 Z ₂であることが知られています。

空間Xのホモロジー(およびコホモロジー)に対するマッピング類群の誘導作用があることに注目してください。これは、(コ)ホモロジーが関数的であり、Homeo _{0 が}自明に作用するからです (すべての要素は同位体であるため、自明に作用する恒等式にホモトピックであり、(コ)ホモロジーへの作用はホモトピーの下で不変であるため)。この作用の核は、 Torelli の定理にちなんで名付けられたTorelli 群です。

有向面の場合、これは第 1 コホモロジーH ¹ (Σ) ≅ Z ^{2 g}への作用です。向きを保存する写像は、トップ コホモロジーH ² (Σ) ≅ Zに自明に作用する写像とまったく同じです。H 1 (Σ)^は、カップ積から生じるシンプレクティック構造を持ちます。これらの写像は自己同型であり、写像はカップ積を保存するため、写像類群はシンプレクティック自己同型として機能し、実際にすべてのシンプレクティック自己同型が実現され、短い完全列が生成されます。

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} (\Sigma )\to \operatorname {Sp} (H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}(\mathbf {Z} )\to 1}$

これを拡張すると

${\displaystyle 1\to \operatorname {Tor} (\Sigma )\to \operatorname {MCG} ^{*}(\Sigma )\to \operatorname {Sp} ^{\pm }(H^{1}(\Sigma ))\cong \operatorname {Sp} _{2g}^{\pm }(\mathbf {Z} )\to 1}$

シンプレクティック群はよく理解されています。したがって、マッピング類群の代数構造を理解することは、多くの場合、Torelli 群に関する質問に帰着します。

トーラス (種数 1) の場合、シンプレクティック群への写像は同型であり、トレリ群は消滅することに注意してください。

種数gで境界成分が 1 つの曲面を、端に追加の穴を付ける (つまり、 と を接着する)ことによって に埋め込むことができ、境界を固定する小さな曲面の自己同型が大きな曲面にまで拡張されます。これらの群と包含の直接極限を取ると、安定なマッピング類群が得られます。この群の有理コホモロジー環は、David Mumfordによって予想されました( Mumford 予想と呼ばれる予想の 1 つ)。積分 (有理数だけではない) コホモロジー環は、2002 年にIb MadsenとMichael Weissによって計算され、Mumford の予想が証明されました。 ${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$${\displaystyle \Sigma _{g+1,1}}$${\displaystyle \Sigma _{g,1}}$${\displaystyle \Sigma _{1,2}}$

• 編組群、穴あきディスクの写像類群
• ホモトピー群
• ホメオトピーグループ
• ランタン関係

• Madsen, Ib ; Weiss, Michael (2007). 「リーマン面の安定モジュライ空間: マムフォードの予想」Annals of Mathematics . 165 (3): 843–941. arXiv : math/0212321 . CiteSeerX  10.1.1.236.2025 . doi :10.4007/annals.2007.165.843. JSTOR  20160047. S2CID  119721243.

• マドセン・ワイスMCGセミナー; 多数の参考文献