正則写像（グラフ理論）

数学において、正則写像とは、閉じた面の対称的なモザイク状分割である。より正確には、正則写像とは、2 次元多様体(球、トーラス、実射影平面など) を位相ディスクに分解したもので、分解の対称性によって、すべてのフラグ(頂点、辺、面の 3 つ組) を他の任意のフラグに変換できる。正則写像は、ある意味では、プラトン立体の位相的な一般化である。写像の理論とその分類は、リーマン面、双曲幾何学、ガロア理論の理論に関連している。正則写像は、サポートする面、基礎となるグラフ、または自己同型群の種数と向き付け可能性のいずれかに従って分類される。

正則写像は通常、位相的、群論的、グラフ理論的な 3 つの方法で定義され、研究されます。

位相的に言えば、写像はコンパクト連結2次元多様体の2セル分解である。 ^[1]

マップ M の種数 g は、マップが向き付け可能な場合は に等しく、マップが向き付け不可能な場合はに等しいオイラーの関係 式によって与えられます。トーラスを除くすべての向き付け可能な種数に対して、有限 (非ゼロ) 個の正則マップが存在することは重要な事実です。 ${\displaystyle \chi (M)=|V|-|E|+|F|}$${\displaystyle 2-2g}$${\displaystyle 2-g}$

群論的には、正則写像Mの置換表現は、(r ₀ r ₂ ) ^{2 =} Iを満たす3 つの固定小数点自由反転r ₀、r ₁、r _{2によって生成される、}フラグの集合上の推移的置換群 C です。この定義では、面は F  =  < r ₀、  r ₁ >の軌道、辺はE  = < r ₀、  r ₂ >の軌道、頂点はV  = < r ₁、  r _{2 > の軌道です。より抽象的には、任意の正則写像の自己同型群は、<2,m,n>-}三角形群の非退化準同型像です。 ${\displaystyle \オメガ}$

グラフ理論的には、マップは青、黄、赤のエッジを持つ立方グラフであり、次のように表されます。連結され、すべての頂点が各色の 1 つのエッジに接続され、黄色でないエッジのサイクルの長さは 4 です。 は、マップのフラグ グラフまたはグラフ エンコード マップ(GEM)であり、フラグの頂点セットで定義され、マップのスケルトン G = (V,E) ではないことに注意してください。一般に、| | = 4|E| です。 ${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \ガンマ}$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \オメガ}$

マップ M は、 Aut(M) がフラグに正則に作用する 場合に正則です。正則マップの Aut( M ) は、 Mの頂点、辺、面に対して推移的です。マップMは、 Aut( M ) が正則であり、頂点 vと面 f の両方を固定し、辺の順序を逆にする自己同型を含む場合に限り、反射的であると言われます。正則だが反射的でないマップは、キラルであると言われます。 ${\displaystyle \phi}$

• 大十二面体は、種数 4 の有向面にある五角形の面を持つ正多面体です。
• 半立方体は射影平面における{4,3}型の正則写像である。
• 半十二面体は、ピーターセングラフを射影平面に五角形で埋め込むことによって生成される正則マップです。
• p-直面体は{2,p}型の正則写像です。
• ダイク写像は、種数 3 の表面上の 12 個の八角形の正則写像です。その基礎となるグラフであるダイク グラフは、トーラス内の 16 個の六角形の正則写像を形成することもできます。

以下は、正のオイラー特性χの曲面における正則写像の完全なリストである：球面と射影平面。^[2]

下の画像は、三重トーラスの 20 個の正則写像のうち 3 つを、それぞれの Schläfli 型でラベル付けして示しています。

• 
  {6,4 }
• 
  {4,8 }
• 
  {8,4 }

正則写像は、ユークリッドタイリングの有限部分としてトーラス多面体として存在し、平坦なトーラスとして二重円筒の表面に巻き付けられる。これらは、正方形タイリング{4,4}に関連するものに対して{4,4} _{b、c と}ラベル付けされる。 ^[4] {3,6} _{b、c は}三角形タイリング{3,6}に関連し、{6,3} _{b、c は}六角形タイリング{6,3}に関連します。bとc は整数です。^{[5]鏡映対称性を}持つ2つの特殊なケース( b、0)と( b、b )があり、一般的なケースはカイラルペア( b、c )と( c、b )に存在します。

_{{4,4} m ,0}の形式の正則写像は、 4 次元の m × mデュオプリズムの正方形の面として見られる有限正則歪多面体{4,4 | m }として表すことができます。

これは、チェス盤のような平面から円筒セクション、トーラスにマッピングされた{4,4} _{8,0 の}例です。円筒からトーラスへの投影は 3 次元では形状を歪ませますが、4 次元では歪みなく実行できます。

一般に正多面体 { p , q }では、 pまたはqのいずれかが偶数であれば_{b、c を}定義できますが、4 次元の多面体として存在できるのは上記のユークリッド多面体のみです。 {2 p、q } では、パス ( b、c ) は直線上の面-辺-面のステップとして定義できますが、双対 { p、2 q } 形式では、パス ( b、c ) は直線上の頂点-辺-頂点のステップとして表示されます。

• 位相グラフ理論
• 抽象多面体
• 平面グラフ
• トロイダルグラフ
• グラフ埋め込み
• 通常のタイリング
• プラトン立体
• プラトングラフ

• コクセター, HSM ; Moser、WOJ (1980)、Generators and Relations for Discrete Groups、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete、vol. 14 (第 4 版)、シュプリンガー版、ISBN 978-0-387-09212-6。
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• Nedela, Roman (2007)、マップ、ハイパーマップ、および関連トピック(PDF)。
• ヴィンス、アンドリュー (2004)、「マップ」、グラフ理論ハンドブック。
• ブレーム、ウルリッヒ、シュルテ、エゴン (2004)、「多面体マップ」、離散幾何学と計算幾何学のハンドブック。
• セカン、カルロ (2013)、「低種数の非可逆正則写像の対称浸漬」(PDF)、バークレー大学。