ディスク 直径D
半径R
中心または原点O
幾何学 において、円盤 （disc とも綴られる ）[ 1 ] は、平面上で 円 によって囲まれた領域である。円盤は、その境界を構成する円を含む場合は閉じた 円盤、含まない場合は開いた円盤 と呼ばれる。 [ 2 ]
半径の場合r {\displaystyle r} D r {\displaystyle D_{r}} D r ¯ {\displaystyle {\overline {D_{r}}}} しかし、トポロジー の分野では、閉円盤は通常次のように表される。D 2 {\displaystyle D^{2}} 整数 D 2 {\displaystyle \operatorname {int} D^{2}}
デカルト座標系 では、中心が開いた円盤 （ 1 、 b ） {\displaystyle (a,b)} R は式[ 1 ]で与えられる。 D = { （ x 、 y ） ∈ R 2 : （ x − 1 ） 2 + （ y − b ） 2 < R 2 } 、 {\displaystyle D=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(xa)^{2}+(yb)^{2}<R^{2}\},} 閉じた円盤 は次のように表される。D ¯ = { （ x 、 y ） ∈ R 2 : （ x − 1 ） 2 + （ y − b ） 2 ≤ R 2 } 。 {\displaystyle {\overline {D}}=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:(xa)^{2}+(yb)^{2}\leq R^{2}\}.}
半径R の閉じた円盤または開いた円盤の面積は π R 2 です(円盤の面積を 参照)。[ 3 ]
統計分布として ディスク上の点からある場所までの平均距離 単位円盤上の均一分布は、統計学において時折見られる。最もよく用いられるのは、都市計画の数学におけるオペレーションズリサーチであり、都市内の人口をモデル化するために利用されることがある。また、与えられた一連の線形不等式が満たされる確率を容易に計算できる分布であるという利点も、他の用途で活用されることがある。（平面上のガウス分布は 数値積分を 必要とする。）
「初等関数による巧妙な議論」では、円盤内の2点間の平均ユークリッド距離は 128 / 45π ≈ 0.90541 [ 10 ] 1 で あることが示されています。
円盤の中心から距離qの任意の位置が与えられた場合、分布内の点からこの位置までの平均距離 b ( q )q 2 + 1 / 2
任意の内部点までの平均距離 ディスクから内部点までの平均距離 b ( q )q ≶ 1の場合を別々に調べる必要があり、どちらの場合も結果は完全な楕円積分 でしか表現できないことがわかります。
内部位置を考慮すると、我々の目的（図を参照）は、0 ≤ r ≤ s (θ) の密度が 1 / π で ある 分布 の下 で の r 期待 値 r d r dθ である固定位置を中心とする極座標で積分します。したがって b （ q ） = 1 π ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 s （ θ ） r 2 d r = 1 3 π ∫ 0 2 π s （ θ ） 3 d θ 。 {\displaystyle b(q)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\textrm {d}}\theta \int _{0}^{s(\theta )}r^{2}{\textrm {d}}r={\frac {1}{3\pi }}\int _{0}^{2\pi }s(\theta )^{3}{\textrm {d}}\theta .}
ここで、s (θ)は余弦定理 を用いてq θ で表すことができる。積分を評価するために必要な手順といくつかの参考文献は、Lewらの論文[ 10 ] b （ q ） = 4 9 π { 4 （ q 2 − 1 ） K （ q 2 ） + （ q 2 + 7 ） E （ q 2 ） } {\displaystyle b(q)={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}4(q^{2}-1)K(q^{2})+(q^{2}+7)E(q^{2}){\biggr \}}} K と は 第 [ 11 ] b ( 0) = 2/3 ; ( 1) = 32 / 9π ≈ 1.13177
任意の外部点までの平均距離 ディスクから外部ポイントまでの平均距離 外部の場所に移ると、同様の方法で積分を設定でき、今度は次の式が得られます。
b （ q ） = 2 3 π ∫ 0 罪 − 1 1 q { s + （ θ ） 3 − s − （ θ ） 3 } d θ {\displaystyle b(q)={\frac {2}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}s_{+}(\theta )^{3}-s_{-}(\theta )^{3}{\biggr \}}{\textrm {d}}\theta } s + (θ)s – (θ)s s 2 − 2 q s コス θ + q 2 − 1 = 0. {\displaystyle s^{2}-2qs\,{\textrm {cos}}\theta +q^{2}\!-\!1=0.} b （ q ） = 4 3 π ∫ 0 罪 − 1 1 q { 3 q 2 コス 2 θ 1 − q 2 罪 2 θ + （ 1 − q 2 罪 2 θ ） 3 2 } d θ 。 {\displaystyle b(q)={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{{\textrm {sin}}^{-1}{\tfrac {1}{q}}}{\biggl \{}3q^{2}{\textrm {cos}}^{2}\theta {\sqrt {1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta }}+{\Bigl (}1-q^{2}{\textrm {sin}}^{2}\theta {\Bigr )}^{\tfrac {3}{2}}{\biggl \}}{\textrm {d}}\theta .} u = q sinθb （ q ） = 4 3 π ∫ 0 1 { 3 q 2 − u 2 1 − u 2 + （ 1 − u 2 ） 3 2 q 2 − u 2 } d u = 4 3 π ∫ 0 1 { 4 q 2 − u 2 1 − u 2 − q 2 − 1 q 1 − u 2 q 2 − u 2 } d u = 4 3 π { 4 q 3 （ （ q 2 + 1 ） E （ 1 q 2 ） − （ q 2 − 1 ） K （ 1 q 2 ） ） − （ q 2 − 1 ） （ q E （ 1 q 2 ） − q 2 − 1 q K （ 1 q 2 ） ） } = 4 9 π { q （ q 2 + 7 ） E （ 1 q 2 ） − q 2 − 1 q （ q 2 + 3 ） K （ 1 q 2 ） } {\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}} [ 12 ]
したがって、再びb (1) = 32 / 9π [ 13 ] リム q → ∞ b （ q ） = q + 1 8 q 。 {\displaystyle \lim _{q\to \infty }b(q)=q+{\tfrac {1}{8q}}.}
参考文献 1 2 クラパム、クリストファー；ニコルソン、ジェームズ（2014）。『オックスフォード数学簡約辞典 』オックスフォード大学出版局、 138ページ。ISBN 9780199679591 。 ↑ アーノルド、BH (2013). 初等トポロジーにおける直観的概念 . ドーバー数学叢書. クーリエ・ドーバー出版. p. 58. ISBN 9780486275765 。↑ ロットマン、ジョセフ・J. (2013). 『数学への旅：証明入門』 . ドーバー数学叢書. クーリエ・ドーバー出版. p. 44. ISBN 9780486151687 。↑ アルトマン、サイモン・L. (1992). アイコンと対称性 . オックスフォード大学出版局. ISBN 9780198555995 円盤状の円対称性 。↑ Maudlin, Tim (2014), New Foundations for Physical Geometry: The Theory of Linear Structures , Oxford University Press, p. 339, ISBN 9780191004551 ↑ Cohen, Daniel E. (1989), Combinatorial Group Theory: A Topological Approach , London Mathematical Society Student Texts, vol. 14, Cambridge University Press, p. 79, ISBN 9780521349369 ↑ 高次元では、閉じた球のオイラー標数は+1のままですが、開いた球のオイラー標数は偶数次元の球では+1、奇数次元の球では-1となります。詳細は、 Klain, Daniel A.; Rota, Gian-Carlo (1997), Introduction to Geometric Probability , Lezioni Lincee, Cambridge University Press, pp. 46–50 を 参照してください。 ↑ アーノルド (2013) 、p. 132。↑ アーノルド (2013) 、例 1、p. 135。1 2 J. S. Lew 他、「円盤内の平均距離について」（1977）。 ↑ アブラモウィッツとステガン 、17.3。↑ Gradshteyn と Ryzhik 3.155.7 および 3.169.9 を参照。Abramowitz と Stegun の表記法の違いに十分注意を払っている。（A & S 17.3.11 と G & R 8.113 を比較。）この記事は A & S の表記法に従っている。↑ Abramowitz and Stegun、17.3.11以降。
![{\displaystyle {\begin{aligned}b(q)&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}3{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}+{\frac {(1-u^{2})^{\tfrac {3}{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}\int _{0}^{1}{\biggl \{}4{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}{\sqrt {1-u^{2}}}-{\frac {q^{2}-1}{q}}{\frac {\sqrt {1-u^{2}}}{\sqrt {q^{2}-u^{2}}}}{\biggr \}}{\textrm {d}}u\\[0.6ex]&={\frac {4}{3\pi }}{\biggl \{}{\frac {4q}{3}}{\biggl (}(q^{2}+1)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-(q^{2}-1)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}-(q^{2}-1){\biggl (}qE({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr )}{\biggr \}}\\[0.6ex]&={\frac {4}{9\pi }}{\biggl \{}q(q^{2}+7)E({\tfrac {1}{q^{2}}})-{\frac {q^{2}-1}{q}}(q^{2}+3)K({\tfrac {1}{q^{2}}}){\biggr \}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b74955633c3180f6eb7da5f40be083b2d0ac971a)
