螺旋断面

幾何学において、螺旋曲線は、ペルセウスの螺旋とも呼ばれ、次の式の方程式で定義される 4次平面曲線である。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f.\,}$

同様に、螺旋断面は、 x軸とy軸に関して対称な双円四次曲線として定義できます。螺旋断面はトーリック断面のファミリーに含まれ、ヒッポペデスのファミリーとカッシーニの楕円のファミリーが含まれます。名前は古代ギリシャ語でトーラスを意味するσπειραに由来します。^[1]

螺旋断面は、トーラスとその回転対称軸に平行な平面との交差曲線として定義されることがあります。ただし、この定義には、仮想平面が許可されない 限り、前の定義で与えられたすべての曲線が含まれるわけではありません。

螺旋断面は紀元前150年頃に古代ギリシャの幾何学者ペルセウスによって初めて記述され、最初に記述されたトーリック断面であると考えられている。螺旋という名前はトーラスの古代表記法spiraに由来する。 ^{[2] [3]}

トーラスの通常の方程式から始めます。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2} +y^{2}).\,}$

回転軸がxy平面上にあるようにyとzを入れ替え、交差曲線を求めるために z = cとすると、次の式が得られます。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+c^{2}).\,}$

この式では、半径aの円を、その中心が半径bの別の円( aより大きい必要はなく、自己交差が許容されます) に沿って回転させることによってトーラスが形成されます。パラメータcは、交差する平面から回転軸までの距離です。交差がないため、 c  >  b  +  aとなる螺旋断面は存在しません。平面はトーラスから離れすぎていて、交差しません。

式を展開すると定義で見られる形になる。

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f\,}$

どこ

${\displaystyle d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2}),\ e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2}),\ f=-(a^{4}+b^{4}+c^{4}-2a^{2}b^{2}-2a^{2}c^{2}-2b^{2}c^{2}).\,}$

極座標ではこれは

${\displaystyle (r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos^{2}\theta +c^{2})\,}$

または

${\displaystyle r^{4}=r^{2}(d\cos^{2}\theta +e\sin^{2}\theta )+f.}$

平面が紡錘体（内側部分）と交差する紡錘体トーラス上の螺旋断面は、外側の曲線と内側の曲線で構成されます（図を参照）。

楕円と双曲線の等視曲線は、螺旋断面です。(S. また、 The Mathematics Enthusiast のウェブリンクもあります。)

例としては、カシニの楕円やカシニの楕円、およびベルヌーイのレムニスケートなどの類似の図形があります。カシニの楕円には、 2 つの焦点までの距離の積が一定であるという注目すべき特性があります。比較すると、楕円では和が一定、双曲線では差が一定、円では比率が一定です。

• Weisstein、Eric W.「Spiric Section」。MathWorld。
• MacTutorの歴史
• 2Dcurves.com の説明
• マクチューターによるペルセウスの伝記
• 数学愛好家第9号、記事4

特定の