コンパクト面の分類定理ガイド

『コンパクト面の分類定理ガイド』は、 2次元面の分類に関する位相幾何学の教科書である。Jean GallierとDianna Xuによって執筆され、2013年にSpringer-Verlag社からGeometry and Computingシリーズの第9巻として出版された（ doi :10.1007/978-3-642-34364-3、 ISBN978-3-642-34363-6 ）。アメリカ数学会の基本図書館リスト委員会は、学部生の数学図書館にこの本を含めることを推奨している。 ^[1] 

表面（より正式には、境界のないコンパクトな2次元多様体）の分類は、表面のオイラー特性と配向可能性のみに依存するため、非常に簡単に述べることができます。このタイプの配向可能な表面は、ハンドルの数によって分類される球、トーラス、またはより一般的なハンドルボディと位相的に同値（同相）でなければなりません。非配向可能な表面は、類似の数であるクロスキャップの数によって特徴付けられる射影平面、クラインの壺、またはより一般的な表面と同値でなければなりません。境界のあるコンパクトな表面の場合、必要な追加情報は境界成分の数だけです。^[1]この結果は、本の冒頭、6章の最初の章で非公式に提示されています。本の残りの部分では、問題のより厳密な定式化、結果を証明するために必要な位相ツールの提示、および分類の正式な証明を示します。^{[2] [3]}

このプレゼンテーションで議論された位相幾何学の他のトピックには、単体複体、基本群、単体ホモロジーおよび特異ホモロジー、ポアンカレ予想が含まれます。付録には、ローマ曲面などの3次元空間への曲面の埋め込みと自己交差マッピング、有限生成アーベル群の構造、一般位相幾何学、分類定理の歴史、およびHauptvermutung（すべての曲面は三角形に分割できるという定理）に関する追加資料が含まれています。^[2]

これは、数学の上級学部生または大学院初級者向けの教科書であり、^[2]おそらく位相幾何学の最初のコースを修了した後の読者を対象としています。この本の読者は、一般位相幾何学、線型代数、群論にすでに精通していることが期待されます。^[1]しかし、教科書としては演習が不足しており、レビュー担当者のビル・ウッドは、正式なコースではなく学生プロジェクトで使用することを提案しています。^[1]

他の多くの大学院レベルの代数位相学の教科書にも、同じトピックが取り上げられています。^[4] しかし、分類定理という単一のトピックに焦点を当てることで、この本は、全体的なレベルを低く抑えながら結果を厳密に証明し、^{[4] [5]}より多くの直感と歴史を提供し、^[4]「この分野の基本技術の動機付けとなるツアー」として機能します。^[1]

評論家のクララ・レー [de]は、この本の一部が冗長であり、特に分類定理は基本群またはホモロジーのいずれかで証明できる（両方は必要ない）が、その一方で、ジョーダン・シェーンフライスの定理を含む位相幾何学の重要なツールのいくつかは証明されておらず、関連する分類結果のいくつかが省略されていると不満を述べている。^[3]それにもかかわらず、評論家のDVフェルドマンはこの本を強く推薦しており、^[5]ウッドは「大学院時代にこの本があればよかった」と書き、^[1]評論家のヴェルナー・クライナートは「非常に教育的な価値のある入門書」と呼んでいる。^[2]

• コンパクト面の分類定理ガイドの著者のウェブサイト（第 1 章の PDF 版を含む）