レモン（幾何学）

幾何学において、レモンは、レンズ（または円弧）の端点を通る軸を中心に回転した、円の半分未満の角度の円弧の回転面として構築される幾何学的形状です。同じ軸を通る同じ円の補完的な円弧の回転面は、リンゴと呼ばれます。

リンゴとレモンは一緒に紡錘形トーラス（または自己交差トーラス、自己交差トーラス）を形成します。レモンは凸集合の境界を形成しますが、周囲のリンゴは非凸です。^{[1] [2]}

北米のフットボールのボールは幾何学的なレモンに似た形をしている。しかし、幾何学で関連する意味で使用されているにもかかわらず、「フットボール」という用語は、円弧よりも複雑な曲線から形成された、ガウス曲率が正で一定の回転面を指すのによく使用される。 ^{[3]あるいは、フットボールは、2点を除いて}球面上に局所的にモデル化された表面である、より抽象的なオービフォールドを指すこともある。^[4]

レモンは、半径と半角が弦の周りを回転することで生成されます。地球物理学で使用される緯度を表すことに注意してください。表面積は^{[5]で与えられます。}${\displaystyle R}$${\displaystyle \phi _{m}}$${\displaystyle \pi /2}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle A=2\pi R^{2}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})d \ファイ}$

体積は次のように表される。

${\displaystyle V=\pi R^{3}\int _{-\phi _{m}}^{\phi _{m}}(\cos \phi -\cos \phi _{m})^{ 2}\cos \phi d\phi }$

これらの積分は解析的に評価することができ、

${\displaystyle A=4\pi R^{2}(\sin \phi _{m}-\phi _{m}\cos \phi _{m})}$

${\displaystyle V={\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}\left[\sin ^{3}\phi _{m}-{\tfrac {3}{4}}\cos \phi _{m}(2\phi _{m}-\sin 2\phi _{m})\right]}$

リンゴは、弦の半角より大きい円弧を回転させることによって生成されます。上記の式は、レモンとリンゴの両方に有効です。 ${\displaystyle \phi _{m}}$${\displaystyle \pi /2}$

• シアーズ・ハック体
• 図形のリスト

• ワイスシュタイン、エリック W.、「レモン表面」、MathWorld
• フローニンゲン大学のモデルコレクションにある、正の一定曲率を持つフットボール型（スピンドル型）の表面