擬似空間

数学において、擬距離空間は、異なる2点間の距離が0になる距離空間の一般化です。擬距離空間は、1934年にĐuro Kurepa ^{[1] [2]によって導入されました。すべての}ノルム空間が距離空間であるのと同様に、すべての半ノルム空間は擬距離空間です。この類推のため、半距離空間(位相幾何学では異なる意味を持つ) という用語は、特に関数解析では同義語として使用されることがあります。

擬似計量族を使用して位相が生成される場合、その空間はゲージ空間と呼ばれます。

擬距離空間は、非負の実数値関数と呼ばれる関数を含む集合である。${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d:X\times X\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},}$擬似測量、すなわち任意の${\displaystyle x,y,z\in X,}$

1. ${\displaystyle d(x,x)=0.}$
2. 対称性:${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$
3. 劣加法性/三角不等式:${\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

距離空間とは異なり、擬距離空間内の点は区別可能である必要はない。つまり、異なる値に対して${\displaystyle d(x,y)=0}$${\displaystyle x\neq y.}$

任意の距離空間は擬距離空間である。擬距離は関数解析において自然に生じる。実数値関数の空間を特殊な点とともに考える。この点は関数の空間上に擬距離を誘導し、これは次のように表される。${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{0}\in X.}$$${\displaystyle d(f,g)=\left|f(x_{0})-g(x_{0})\right|}$$${\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(X)}$

半ノルムは 擬距離 を誘導します。これは のアフィン関数(特に、平行移動)の凸関数であり、したがって において凸です。( についても同様です。) ${\displaystyle p}$${\displaystyle d(x,y)=p(x-y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

逆に、同次かつ平行移動不変な擬似距離は半ノルムを誘導します。

擬計量論は双曲型 複素多様体の理論でも登場します。小林計量を参照してください。

すべての測度空間は、 すべての に対してを定義することにより、完全な擬似距離空間として見ることができます。 ここで、三角形は対称差を表します。${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$$${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\vartriangle B)}$$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}},}$

が関数であり、d _{2 が}X ₂上の擬距離である場合、 はX ₁上の擬距離を与えます。d _{2 が}距離であり、fが単射である場合、d _{1 は}距離です。 ${\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}}$${\displaystyle d_{1}(x,y):=d_{2}(f(x),f(y))}$

の擬距離位相とは、位相の基底 となる開球によって生成される位相である^[3]位相空間は、 $${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X:d(p,x)<r\},}$$擬距離化可能空間^[4]とは、擬距離位相がその空間上の与えられた位相と一致するような擬距離を与えることができる空間をいう。

疑似計量と計量の違いは完全に位相的なものです。つまり、疑似計量は、それが生成する位相がT ₀である場合にのみ計量です(つまり、異なる点は位相的に区別可能です)。

距離空間におけるコーシー列と距離完備化の定義は擬距離空間にもそのまま引き継がれる。^[5]

擬距離の消失により、計量同一視と呼ばれる同値関係が生じ、擬距離空間が本格的な計量空間に変換されます。これは、 の場合にを定義することで行われます。をこの同値関係による の商空間とし、 と定義します 。これは、任意 の に対して となり、逆もまた成り立つため、明確に定義されます。 すると は上の計量となり、 は明確に定義された計量空間となり、擬距離空間 によって誘導される計量空間と呼ばれます。^{[6] [7]}${\displaystyle x\sim y}$${\displaystyle d(x,y)=0}$${\displaystyle X^{*}=X/{\sim }}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle {\begin{aligned}d^{*}:(X/\sim )&\times (X/\sim )\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}\\d^{*}([x],[y])&=d(x,y)\end{aligned}}}$$${\displaystyle x'\in [x]}$${\displaystyle d(x,x')=0}$${\displaystyle d(x',y)\leq d(x,x')+d(x,y)=d(x,y)}$${\displaystyle d^{*}}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle (X^{*},d^{*})}$ ${\displaystyle (X,d)}$

計量識別は、誘導された位相を保存します。つまり、部分集合が で開いている（または閉じている）場合、かつ がで開いている（または閉じている）場合、かつが飽和している場合に限ります。位相識別はコルモゴロフ商です。 ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \pi (A)=[A]}$${\displaystyle \left(X^{*},d^{*}\right)}$${\displaystyle A}$

この構成の一例としては、距離空間をそのコーシー列によって完備化することが挙げられます。

• 一般化された計量 – 計量幾何学
• 計量シグネチャ – 計量テンソルの正、負、ゼロの固有値の数
• 距離空間 – 距離の概念を持つ数学的空間
• 距離化可能な位相ベクトル空間 – 距離によって位相を定義できる位相ベクトル空間

• Arkhangel'skii, AV ; Pontryagin, LS (1990)。一般位相幾何学 I: 基本概念と構成 次元理論。数学科学百科事典。Springer。ISBN 3-540-18178-4。
• スティーン、リン・アーサー;シーバッハ、アーサー(1995) [1970].位相幾何学における反例(新版).ドーバー出版. ISBN 0-486-68735-X。
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]、一般位相幾何学（ 1970年版のドーバー再版）、アディソン・ウェズリー
• この記事には、 Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているPlanetMathの Pseudometric space の資料が組み込まれています。
• 「擬似距離空間の例」。PlanetMath 。