多様性（数学）

数学において、多様性は距離空間の概念の一般化です。この概念は2012年にブライアントとタッパーによって導入されました。^[1] 彼らは多様性を「多方向距離の一種」と呼んでいます。^[2] この概念は非線形解析に応用されています。^[3]

集合 が与えられたとき、を の有限部分集合の集合とする。多様性とは、集合と関数のペアであり、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp _{\mbox{fin}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\delta )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \delta \colon \wp _{\mbox{fin}}(X)\to \mathbb {R} }$

(D1) 、ただし、${\displaystyle \delta (A)\geq 0}$${\displaystyle \delta (A)=0}$${\displaystyle \left|A\right|\leq 1}$

そして

(D2)ならば. ${\displaystyle B\neq \emptyset }$${\displaystyle \delta (A\cup C)\leq \delta (A\cup B)+\delta (B\cup C)}$

ブライアントとタッパーは、これらの公理は単調性を意味する、つまりならばであると指摘しています。彼らは、「多様性」という用語は、系統発生的および生態学的多様性に関する研究で彼らの定義の特殊なケースが出現したことに由来すると述べています。彼らは次の例を挙げています。 ${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \delta (A)\leq \delta (B)}$

を距離空間とします。 すべての を設定すると多様性が定義されます。 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \delta (A)=\max _{a,b\in A}d(a,b)=\operatorname {diam} (A)}$${\displaystyle A\in \wp _{\mbox{fin}}(X)}$

すべての有限に対して、定義すると多様性になります。 ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \delta (A)=\sum _{i}\max _{a,b}\left\{\left|a_{i}-b_{i}\right|\colon a,b\in A\right\}}$${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\delta )}$

T が分類群Xを持つ系統樹である場合、有限の各 に対して、 をA内の分類群を結ぶTの最小のサブツリーの長さとして定義します。この場合、は (系統的) 多様性です。 ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle \delta (A)}$${\displaystyle (X,\delta )}$

を距離空間とします。各有限 に対して、 がA内のX 個の接続要素内のシュタイナー木の最小の長さを表すものとします。この場合、 は多様性です。 ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle \delta (A)}$${\displaystyle (X,\delta )}$

を多様体とします。すべての に対してを定義します 。すると であれば、 は多様体です。 ${\displaystyle (X,\delta )}$${\displaystyle A\in \wp _{\mbox{fin}}(X)}$${\displaystyle \delta ^{(k)}(A)=\max \left\{\delta (B)\colon |B|\leq k,B\subseteq A\right\}}$${\displaystyle k\geq 2}$${\displaystyle (X,\delta ^{(k)})}$

がグラフであり、 が任意の有限Aに対してAの最大クリークとして定義される場合、 は多様体です。 ${\displaystyle (X,E)}$${\displaystyle \delta (A)}$${\displaystyle (X,\delta )}$