メトリックマップ

計量空間の数学的理論において、計量写像は距離を増加させない計量空間間の関数である。これらの写像は、計量空間のカテゴリMetにおける射である。^[1]このような関数は常に 連続関数である。これらは、リプシッツ定数1を持つリプシッツ関数、非拡大写像、非拡大写像、弱縮約、または短写像とも呼ばれる。

具体的には、と が距離空間であり、がから への関数であるとします。したがって、 内の任意の点およびに対して、 のとき、距離写像が成り立ちます。 ここで、 および はそれぞれおよび上の距離を表します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(y))\leq d_{X}(x,y).\!}$$${\displaystyle d_{X}}$${\displaystyle d_{Y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ユークリッド計量を持つ計量空間を考えます。 に対して となるため、 関数 は計量写像となります。${\displaystyle [0,1/2]}$${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle |f(x)-f(y)|=|x+y||xy|<|xy|}$

2 つの計量写像の関数合成は別の計量写像であり、計量空間上の恒等写像は 計量写像であり、これも関数合成の恒等元である。したがって、計量空間は計量写像とともにカテゴリMet を形成する。Metは、計量空間とリプシッツ関数のカテゴリのサブカテゴリである。計量空間間の写像が等長写像となるのは、その逆写像も計量写像となる全単射計量写像である場合のみである。したがって、 Met内の同型写像はまさに等長写像である。 ${\displaystyle \mathrm {id} _{M}\colon M\rightarrow M}$${\displaystyle M}$

不等式が2 つの異なる点すべてに対して厳密である場合、は厳密に計量的であると言えます。したがって、縮約写像は厳密に計量的ですが、その逆は必ずしも当てはまりません。空空間または単一点空間 の退化したケースを除いて、等長写像は厳密に計量的ではないことに注意してください。${\displaystyle f}$

距離空間から の空でない部分集合の族への写像は、 すべての に対して（ここではハウスドルフ距離）となるような が存在するとき、リプシッツ写像であるといわれます。のとき、は非拡大的とされ、 のとき、は収縮と呼ばれます。 ${\displaystyle T\colon X\to {\mathcal {N}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle L\geq 0}$$${\displaystyle H(Tx,Ty)\leq Ld(x,y),}$$${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L=1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle L<1}$${\displaystyle T}$

• 縮約（作用素論）  - サブユニットノルムを持つ有界作用素
• 収縮マッピング – すべての点間の距離を縮める関数
• ストレッチ係数 – 埋め込みの数学的パラメータ
• 縮約マップ – すべての点間の距離を縮める関数リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ