超距離空間

数学において、超距離空間は、すべての、、に対して三角不等式がに強化される距離空間です。関連する計量は、非アルキメデス計量または超計量と呼ばれることもあります。 ${\displaystyle d(x,z)\leq \max \left\{d(x,y),d(y,z)\right\}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$

集合M上の超距離関数は実数値関数 である

${\displaystyle d\colon M\times M\rightarrow \mathbb {R} }$

（ここで、ℝ は実数を表す）、すべてのx、y、z ∈ Mに対して次の式が成り立つ：

1. d ( x , y )≥0 ;
2. d ( x , y ) = d ( y , x ) (対称性);
3. d ( x , x ) = 0 ;
4. d ( x , y ) = 0の場合、 x = yです。
5. d ( x , z ) ≤ max { d ( x , y ), d ( y , z ) } (強三角不等式または超距離不等式)。

超距離空間は、集合MとM上の超距離dからなるペア( M、d )であり、この超距離 d は空間に関連付けられた距離関数 (メトリックとも呼ばれる) と呼ばれます。

d が条件 4 を除くすべての条件を満たす場合、 d はM上の超擬距離的と呼ばれる。超擬距離的空間は、集合MとM上の超擬距離的dからなるペア( M , d )である。^[1]

Mがアーベル群（加法的に記述される）であり、d が長さ関数 によって生成される場合 （つまり）、最後の特性はKrullシャープニングを使用して次のように強化できます。 ${\displaystyle \|\cdot \|}$${\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|}$

${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$の場合、等しくなります。${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$

の場合、 の場合に等式が成り立つことを証明します。一般性を失うことなく、 と仮定しましょう。これは を意味します。しかし、 を計算することもできます。ここで、 の値はにはなりません。なぜなら、その場合、最初の仮定に反して となるからです。したがって、、 となります。最初の不等式を使用すると、 となり、したがって となります。 ${\displaystyle \|x+y\|\leq \max \left\{\|x\|,\|y\|\right\}}$${\displaystyle \|x\|\neq \|y\|}$${\displaystyle \|x\|>\|y\|.}$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|}$${\displaystyle \|x\|=\|(x+y)-y\|\leq \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}}$${\displaystyle \|y\|}$${\displaystyle \|x\|\leq \|y\|}$${\displaystyle \max \left\{\|x+y\|,\|y\|\right\}=\|x+y\|}$${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|}$${\displaystyle \|x\|\leq \|x+y\|\leq \|x\|}$${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|}$

上記の定義から、超距離のいくつかの典型的な特性を結論付けることができます。たとえば、すべての に対して、またはまたは の3 つの等式のうち少なくとも 1 つが成立します。つまり、空間内のすべての 3 つの点は二等辺三角形を形成するため、空間全体は二等辺集合 になります。 ${\displaystyle x,y,z\in M}$${\displaystyle d(x,y)=d(y,z)}$${\displaystyle d(x,z)=d(y,z)}$${\displaystyle d(x,y)=d(z,x)}$

を中心とする半径 の（開いた）球をと定義すると、次の特性が得られます。 ${\displaystyle r>0}$${\displaystyle x\in M}$${\displaystyle B(x;r):=\{y\in M\mid d(x,y)<r\}}$

• 球体の内部にあるすべての点はその中心です。つまり、の場合です。${\displaystyle d(x,y)<r}$${\displaystyle B(x;r)=B(y;r)}$
• 交差するボールは互いに含まれています。つまり、が空でない場合は、または のいずれかです。${\displaystyle B(x;r)\cap B(y;s)}$${\displaystyle B(x;r)\subseteq B(y;s)}$${\displaystyle B(y;s)\subseteq B(x;r)}$
• 厳密に正の半径を持つすべての球は、誘導位相において開集合と閉集合の両方になります。つまり、開いた球は閉じた集合でもあり、閉じた球 (に置き換えます) も開いた球です。${\displaystyle <}$${\displaystyle \leq }$
• 半径 の閉球内の半径 と中心 を持つすべての開球の集合は、後者の分割を形成し、2 つの異なる開球の相互距離は (以上) に等しい。${\displaystyle r}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle r}$

これらの命題を証明することは、有益な演習です。^[2]これらはすべて、超距離三角不等式から直接導き出されます。2 番目の命題により、ボールには距離がゼロでない中心点が複数ある可能性があることに注意してください。このような一見奇妙な効果の背後にある直感は、強い三角不等式により、超距離では距離が合わないというものです。

• 離散メトリックは超メトリックです。
• p進数は完全な超距離空間を形成します。
• あるアルファベット Σ 上の任意の長さ（有限または無限）の単語の集合Σ ^*を考えます。2 つの異なる単語間の距離を 2 ^{− n}と定義します。ここで、n は単語が異なる最初の場所です。結果として得られるメトリックは超メトリックです。
• あるアルファベット Σ 上の長さnの接着端を持つ単語の集合は、p近接距離に関して超距離空間である。2つの単語xとy がp近接であるとは、 p 個の連続する文字 ( p < n )の部分文字列がxとy の両方に同じ回数 (0回でも可) 出現する場合である。^[3]
• r = ( r _n ) がゼロに減少する実数の列である場合、 | x | _r  := lim sup _{n →∞} | x _n | ^{r _{n は、}}それが有限であるすべての複素数列の空間に超距離を誘導します。 (これは同次性に欠けるため半ノルムではないことに注意してください。 r _{n が}ゼロになることが許される場合、ここでは0 ⁰ = 0というかなり珍しい規則を使用する必要があります 。)
• Gが辺重み付き無向グラフで、すべての辺重みが正であり、d ( u , v ) がuとv の間のミニマックスパスの重み（つまり、この最大重みを最小化するように選択されたパス上の辺の最大重み）である場合、距離がdで測定されるグラフの頂点は超距離空間を形成し、すべての有限超距離空間はこのように表すことができます。^[4]

• 縮約写像は、計算の最終結果（バナッハの不動点定理によって存在が保​​証される）を近似する方法として考えることができます。同様の考え方は領域理論にも見られます。p進解析では、p進計量の超計量的性質を多用します。
• 凝縮系物理学では、スピングラスのSKモデルにおけるスピン間の自己平均重なりは超距離構造を示し、その解はジョルジョ・パリシらが初めて概説した完全レプリカ対称性の破れの手順によって与えられる。^[5]超距離性は非周期固体の理論にも現れる。^[6]
• 分類学や系統樹の構築では、超距離はUPGMA法やWPGMA法でも利用されています。^[7]これらのアルゴリズムは定速仮定を必要とし、根からすべての枝の先端までの距離が等しい樹木を生成します。DNA 、RNA、タンパク質のデータを分析する場合、超距離仮定は分子時計と呼ばれます。
• 流体の3次元乱流における間欠性のモデルでは、いわゆるカスケードが利用され、離散モデルでは超計量構造を持つ2項カスケードが利用される。^[8]
• 地理学や景観生態学では、景観の複雑さを測定したり、ある景観機能が他の景観機能よりもどの程度重要であるかを評価するために、超距離測定法が用いられてきた。^[9]

• ナリシ、ローレンス、ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。位相ベクトル空間。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス。ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.

• カプランスキー、I. (1977)、集合論と距離空間、AMSチェルシー出版、ISBN 978-0-8218-2694-2。

• ウィキメディア・コモンズの非アルキメデス幾何学に関連するメディア