劣加法性

させて。 ${\displaystyle s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}}$

定義により、です。したがって、 を示せば十分です。 ${\displaystyle \liminf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\geq s^{*}}$${\displaystyle \limsup _{n}{\frac {a_{n}}{n}}\leq s^{*}}$

そうでない場合、すべての に対してとなる部分列とが存在します。 ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k}}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle {\frac {a_{n_{k}}}{n_{k}}}>s^{*}+\epsilon }$${\displaystyle k}$

なので、となるようなが存在する。 ${\displaystyle s^{*}:=\inf _{n}{\frac {a_{n}}{n}}}$${\displaystyle a_{m}}$${\displaystyle {\frac {a_{m}}{m}><s^{*}+\epsilon /2}$

無限鳩の巣原理によ​​り、サブサブシーケンスが存在し、そのインデックスはすべて を法とする同じ剰余類に属し、したがって の倍数ずつ進みます。このシーケンスは、十分長く継続すると、劣加法性により傾斜線の下に落ち込むことになり、矛盾が生じます。 ${\displaystyle (a_{n_{k}})_{k}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle s^{*}+\epsilon }$

さらに詳しく言うと、劣加法性により、

${\textstyle {\begin{aligned}a_{n_{2}}&\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{2}-n_{1})/m\\a_{n_{3}}&\leq a_{n_{2}}+a_{m}(n_{3}-n_{2})/m\leq a_{n_{1}}+a_{m}(n_{3}-n_{1})/m\\\cdots &\cdots \end{aligned}}}$

これは${\displaystyle \limsup _{k}a_{n_{k}}/n_{k}\leq a_{m}/m<s^{*}+\epsilon }$

無限鳩の巣原理を使用するまで、前と同じように証明を続けます。

シーケンス について考えます。 なので、 が成り立ちます。 同様に、などが 成り立ちます。${\displaystyle a_{m},a_{2m},a_{3m},...}$${\displaystyle 2m/m=2}$${\displaystyle a_{2m}\leq 2a_{m}}$${\displaystyle a_{3m}\leq a_{2m}+a_{m}\leq 3a_{m}}$

仮定によれば、任意の に対して、劣加法性を適用できるのは、 ${\displaystyle s,t\in \mathbb {N} }$

$${\displaystyle \ln(s+t)\in [\ln(1.5s),\ln(3s)]=\ln s+[\ln 1.5,\ln 3]}$$

連続変数を扱っている場合は、劣加法性を使用して から へ、次に へ、というように進むことができ、これにより区間 全体がカバーされます。 ${\displaystyle a_{n_{k}}}$${\displaystyle a_{n_{k}}+[\ln 1.5,\ln 3]}$${\displaystyle a_{n_{k}}+\ln 1.5+[\ln 1.5,\ln 3]}$${\displaystyle a_{n_{k}}+[\ln 1.5,+\infty )}$

連続変数ではありませんが、証明を完了するのに十分な整数をカバーすることができます。が十分に大きいとします。 ${\displaystyle n_{k}}$

$${\displaystyle \ln(2)>\ln(1.5)+\ln \left({\frac {1.5n_{k}+m}{1.5n_{k}}}\right)}$$ 次に、 を交差点 における最小の数とします。 の仮定により、区間と が真ん中で接していることは簡単にわかります (図を描くとわかります) 。したがって、このプロセスを繰り返すことで、 全体をカバーします。 ${\displaystyle n'}$${\displaystyle (n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)])}$${\displaystyle n_{k}}$${\displaystyle \ln n_{k}+[\ln(1.5),\ln(3)]}$${\displaystyle \ln n'+[\ln(1.5),\ln(3)]}$${\displaystyle (n_{k}+m\mathbb {Z} )\cap (\ln n_{k}+[\ln(1.5),\infty ])}$

これで、前の証明と同様にすべてが強制的に下がったことになります。 ${\displaystyle a_{n_{k}},a_{n_{k+1}},...}$