本質的メトリック

距離空間の数学的研究では、空間内の経路の弧長を考慮することができます。2 点が互いに所定の距離にある場合、その距離に等しい (または非常に近い) 弧長の経路に沿って最初の点から 2 番目の点に到達できると期待するのは自然なことです。距離空間の 2 点間の距離は、固有の距離を基準として、最初の点から 2 番目の点までのすべての経路の長さの最小値として定義されます。距離空間は、固有の距離が空間の元の距離と一致する場合、 長さ距離空間です。

空間が、長さの下限値 (測地線 ) を達成する経路が常に存在するというより強い性質を持つ場合、その空間は測地距離空間または測地線空間と呼ばれます。たとえば、ユークリッド平面は測地線として線分を持つ測地線空間です。原点を除いたユークリッド平面は測地線ではありませんが、それでも長さ距離空間です。

を距離空間、つまり が点の集合（平面上のすべての点や円上のすべての点など）であり、 が点 間の距離を提供する関数であるとします。 上の新しい距離（誘導固有距離 と呼ばれる）を次のように定義します。 はからまでのすべての経路の長さの最小値です。 ${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(x,y)}$${\displaystyle x,y\in M}$${\displaystyle d_{\text{I}}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ここで、からへのパスは連続マップである。${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \gamma \colon [0,1]\rightarrow M}$

およびで定義されます。このようなパスの長さは、修正可能曲線で説明したように定義されます。からまでの有限長のパスが存在しない場合はと設定します(閉区間 [0,+∞] 内の空集合の最小値は +∞ であるため、これは最小値の定義と一致します)。 ${\displaystyle \gamma (0)=x}$${\displaystyle \gamma (1)=y}$${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

マッピングは冪等である、すなわち ${\textstyle d\mapsto d_{\text{I}}}$

${\displaystyle (d_{\text{I}})_{\text{I}}=d_{\text{I}}.}$

もし

${\displaystyle d_{\text{I}}(x,y)=d(x,y)}$

内のすべての点およびに対して、は長さ空間または経路計量空間であり、計量は固有 であると言います。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle d}$

計量が近似的な中点を持つとは、任意の点と点のペア に対して、およびが両方ともより小さい が 存在するとき である。${\displaystyle d}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle M}$${\displaystyle c}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d(x,c)}$${\displaystyle d(c,y)}$

${\displaystyle {d(x,y) \over 2}+\varepsilon .}$

• 通常のユークリッド距離を持つユークリッド空間 は経路距離空間です。も同様です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\smallsetminus \{0\}}$
• のユークリッド計量から継承された計量（弦計量）を持つ単位円は 、経路計量空間ではありません。 上の誘導された固有計量は、距離をラジアン単位の角度として測定し、結果として得られる長さ計量空間はリーマン円と呼ばれます。 2 次元では、球面上の弦計量は固有ではなく、誘導された固有計量は大円距離によって与えられます。${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$
• 連結されたリーマン多様体はすべて、2 点間の距離を、その 2 点を結ぶ連続微分可能曲線の長さの下限として定義することで、経路距離空間に変換できます。(リーマン構造により、このような曲線の長さを定義できます。) 同様に、長さが定義される他の多様体には、フィンスラー多様体と部分リーマン多様体が含まれます。
• 任意の完全凸距離空間は長さ距離空間である (Khamsi & Kirk 2001、定理 2.16)。これはカール・メンガーの結果である。しかし、逆は成り立たない、つまり凸でない長さ距離空間が存在します。

• 一般に、 が成り立ち、によって定義されるトポロジーは、によって定義されるトポロジーよりも常に細かいか、それに等しくなります。${\displaystyle d\leq d_{\text{I}}}$${\displaystyle d_{\text{I}}}$${\displaystyle d}$
• 空間は常にパス メトリック空間です (ただし、前述のように、無限になる可能性があるという注意点があります)。${\displaystyle (M,d_{\text{I}})}$${\displaystyle d_{\text{I}}}$
• 長さ空間の計量には近似的な中点があります。逆に、近似的な中点を持つすべての完全な計量空間は長さ空間です。
• ホップ・リノウの定理は、長さ空間が完備かつ局所コンパクトである場合、 内の任意の 2 点は最小測地線で接続でき、内のすべての有界閉集合はコンパクトになることを述べています。${\displaystyle (M,d)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$

• ハーバート・ブゼマン『Selected Works』（アタナス・パパドプロス編）第1巻、908ページ、Springer International Publishing、2018年。

• ハーバート・ブゼマン『Selected Works』（アタナセ・パパドプロス編）第2巻、842ページ、Springer International Publishing、2018年。

• グロモフ、ミハイル(1999)、「リーマン空間と非リーマン空間の計量構造」、Progress in Math.、vol. 152、Birkhäuser、ISBN 0-8176-3898-9
• カムシ、モハメド A. ;カーク、ウィリアム A. (2001)、『距離空間と不動点理論入門』、Wiley-IEEE、ISBN 0-471-41825-0