製品メトリック

数学において、積計量とは、有限個の計量空間の直積上の計量であり、積位相を計量化するものである。最も有名な積計量は、固定された に対するp積計量である。これは、 n個の部分空間で測定された距離のnベクトルのpノルム として定義される。 ${\displaystyle (X_{1},d_{X_{1}}),\ldots ,(X_{n},d_{X_{n}})}$ ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$

${\displaystyle d_{p}((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n}))=\|\left(d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right)\|_{p}}$

このメトリックは sup メトリックとも呼ばれます 。${\displaystyle p=\infty}$

${\displaystyle d_{\infty }((x_{1},\ldots ,x_{n}),(y_{1},\ldots ,y_{n})):=\max \left\{d_{X_{1}}(x_{1},y_{1}),\ldots ,d_{X_{n}}(x_{n},y_{n})\right\}.}$

ユークリッド空間では、L ₂ノルムを使用すると積空間にユークリッド計量が生じますが、pを他の方法で選択すると位相的に同値な計量空間になります。計量空間のカテゴリ(リプシッツ定数 1 を持つリプシッツ写像を持つ) では、積 (カテゴリ理論の意味での) に sup 計量が使用されます。

リーマン多様体 とに対して、上の積計量は次のように定義される。 ${\displaystyle (M_{1},g_{1})}$${\displaystyle (M_{2},g_{2})}$ ${\displaystyle g=g_{1}\oplus g_{2}}$${\displaystyle M_{1}\times M_{2}}$

${\displaystyle g(X_{1}+X_{2},Y_{1}+Y_{2})=g_{1}(X_{1},Y_{1})+g_{2}(X_{2 },Y_{2})}$

自然な識別の下で。 ${\displaystyle X_{i},Y_{i}\in T_{p_{i}}M_{i}}$${\displaystyle T_{(p_{1},p_{2})}(M_{1}\times M_{2})=T_{p_{1}}M_{1}\oplus T_{p_{2}}M_{2}}$

• ミシェル・マリー・デザ; Deza、Elena (2009)、Encyclopedia of Distance、Springer-Verlag、p. 83。
• リー、ジョン（1997）、リーマン多様体、シュプリンガー出版社、ISBN 978-0-387-98322-6。