一般化されたメトリック

数学において、一般化メトリックの概念は、距離が実数ではなく、任意の順序付き体から取得されるメトリックの概念の一般化です。

一般に、距離空間を定義する場合、距離関数は実数値関数とみなされます。実数は、アルキメデス的かつ順序完備な順序体を形成します。これらの距離空間には、距離空間のコンパクト性、逐次コンパクト性、可算コンパクト性が同等であるなど、いくつかの優れた特性があります。ただし、距離関数が任意の順序体でとられる場合、これらの特性はそれほど簡単には成立しない可能性があります。${\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} .}$

を任意の順序付き体と空でない集合とします。次の条件が満たされる場合、 関数はに対するメトリックと呼ばれます。${\displaystyle (F,+,\cdot ,<)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle d:M\times M\to F^{+}\cup \{0\}}$${\displaystyle M,}$

1. ${\displaystyle d(x,y)=0}$の場合に限り、${\displaystyle x=y}$
2. ${\displaystyle d(x,y)=d(y,x)}$（対称）;
3. ${\displaystyle d(x,y)+d(y,z)\geq d(x,z)}$（三角不等式）。

開球が適切な位相の基底を形成する ことを検証することは難しくない。後者は、計量位相と呼ばれ、計量は${\displaystyle B(x,\delta )\;:=\{y\in M\;:d(x,y)<\delta \}}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle F.}$

その順序トポロジーが単調正規であるという事実を考慮すると、少なくとも正規であると予想されます。 ${\displaystyle F}$${\displaystyle M}$

しかし、選択公理の下では、すべての一般的な計量は単調正規です。なぜなら、が開いている場合、次のような開いた球が存在するからです。単調正規性の条件を確認し てください。${\displaystyle x\in G,}$${\displaystyle G}$${\displaystyle B(x,\delta )}$${\displaystyle x\in B(x,\delta )\subseteq G.}$${\displaystyle \mu (x,G)=B\left(x,\delta /2\right).}$

驚くべきことは、選択がない場合でも、一般的な指標は単調に正規分布するということです。

証拠。

ケース I:はアルキメデスの体です。 ${\displaystyle F}$

さて、オープンで あれば、どこで取っても構いませんし、トリックは選択なしで実行されます。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle G,G}$${\displaystyle \mu (x,G):=B(x,1/2n(x,G)),}$${\displaystyle n(x,G):=\min\{n\in \mathbb {N} :B(x,1/n)\subseteq G\},}$

ケース II:非アルキメデス体です。 ${\displaystyle F}$

が開いている場合、集合を考える ${\displaystyle x\in G}$${\displaystyle G}$${\displaystyle A(x,G):=\{a\in F:{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} ,B(x,n\cdot a)\subseteq G\}.}$

集合は空ではありません。 は開いているので、その中に開いている球があります。は非アルキメデスなので、上には有界ではありません。したがって、すべてのプットに対して となるようなものがあり、は であることがわかります。${\displaystyle A(x,G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle B(x,k)}$${\displaystyle G.}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {N} _{F}}$${\displaystyle \xi \in F}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$ ${\displaystyle n\cdot 1\leq \xi .}$${\displaystyle a=k\cdot (2\xi )^{-1},}$${\displaystyle a}$${\displaystyle A(x,G).}$

ここで定義します。このμ演算子に関して、空間は単調正規であることを示します。${\displaystyle \mu (x,G)=\bigcup \{B(x,a):a\in A(x,G)\}.}$${\displaystyle \mu (x,G)\subseteq G.}$

が（ を含む開集合）に含まれず、 が（ を含む開集合）に含まれない場合、 は空であることを示します。そうでない場合は、が共通集合にあるとします。 ${\displaystyle y}$${\displaystyle G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle H}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu (x,G)\cap \mu (y,H)}$${\displaystyle z}$$${\displaystyle \exists a\in A(x,G)\colon d(x,z)<a;\;\;\exists b\in A(y,H)\colon d(z,y)<b.}$$

上記から、のいずれかがに属するかに属することを意味するため、不可能であることがわかります 。これで証明は完了です。 ${\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)<2\cdot \max\{a,b\},}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mu (x,G)\subseteq G}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mu (y,H)\subseteq H.}$

• 順序付き位相ベクトル空間
• 擬似距離空間 – 数学における距離空間の一般化
• 均一空間 – 均一な性質の概念を持つ位相空間

• FOM ディスカッション、2007 年 8 月 15 日