ヘリーメトリック

ゲーム理論では、ヘリー メトリックは 2 つの戦略間の距離を評価するために使用されます。このメトリックは、エドゥアルト ヘリーにちなんで名付けられました。

プレイヤー I と II の間のゲーム を考えてみましょう。ここで、およびはそれぞれプレイヤー I と II の純粋戦略の集合です。利得関数は で表されます。つまり、プレイヤー I が をプレイし、プレイヤー II が をプレイする場合、プレイヤー I はプレイヤー II に を支払います。 ${\displaystyle \Gamma =\left\langle {\mathfrak {X}},{\mathfrak {Y}},H\right\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle H=H(\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle H(x,y)}$

ヘリーメトリック は次のように定義される。 ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=\sup _{y\in {\mathfrak {Y}}}\left|H(x_{1},y)-H(x_{2},y)\right|.}$

このように定義されたメトリックは対称的かつ反射的であり、三角不等式を満たします。

Helly メトリックは、戦略間の距離を、戦略自体の違いではなく、戦略の結果の観点から測定します。2 つの戦略は、その利得が異なる場合、離れています。は を意味するわけではありませんが、との結果が同一であることを意味します。実際、これにより同値関係が誘導されます。 ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

が を意味すると規定する場合、そのようにして誘導される位相は自然位相と呼ばれます。 ${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$

プレイヤー II の戦略の空間に関する測定基準も同様です。

${\displaystyle \rho (y_{1},y_{2})=\sup _{x\in {\mathfrak {X}}}\left|H(x,y_{1})-H(x,y_{2})\right|.}$

このように、各プレイヤーの戦略空間ごとに 1 つずつ、 合計 2 つのHelly メトリックが定義されることに注意してください。${\displaystyle \ガンマ}$

-netの定義を思い出してください。任意の に対してが存在する場合、集合は計量を持つ空間内の -netです。 ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle X_{\epsilon}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\epsilon }\in X_{\epsilon }}$${\displaystyle \rho (x,x_{\epsilon })<\epsilon }$

任意の に対して に有限の-ネットが存在する場合、計量空間は条件付きコンパクト(またはプレコンパクト)です。Helly 計量で条件付きコンパクトなゲームは、任意の に対して -最適戦略を持ちます。さらに、1 人のプレーヤーの戦略空間が条件付きコンパクトである場合、他のプレーヤーの戦略空間も条件付きコンパクトです (Helly 計量で)。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$

• Vorob'ev, Nikolai Nikolaevich (1977)。ゲーム理論: 経済学者とシステム科学者のための講義。Kotz, Samuel 訳。Springer - Verlag。ISBN 9783540902386。