ボレル正規尺度

数学 において、n次元ユークリッド空間Rn上の外測度 μは^、次の2つの条件が満たされるとき、 ボレル正則測度と呼ばれる。

• 任意のボレル集合 B  ⊆  R ^{n は}カラテオドリの基準の意味でμ測定可能である。任意のA  ⊆  R ⁿに対して、

${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cap B)+\mu (A\setminus B).}$

• あらゆる集合A⊆Rnに対して、A⊆Bかつμ  (  A  )  = μ ( B  )と^なるようなボレル 集合B⊆Rnが存在 する 。

集合A はμ測定可能である必要はないことに注意してください。ただし、 μ は外部測度であるため、 μ ( A ) は適切に定義されます。これら 2 つの要件のうち最初の要件のみを満たす外部測度はボレル測度と呼ばれ、2 番目の要件のみを満たす外部測度 (ボレル集合 B を測定可能な集合 B に置き換えたもの) は通常の測度と呼ばれます。

R ⁿ上のルベーグ外部測度はボレル正則測度の一例です。

ボレル正則測度は、ここでは外測度（可算加法未満）として導入されていますが、ボレル集合に制限すると完全な測度（可算加法）になることが証明できます。

• エヴァンス、ローレンス C.; ガリエピ、ロナルド F. (1992)。測度理論と関数の微細特性。CRC プレス。ISBN 0-8493-7157-0。
• テイラー、アンガス E. (1985)。関数と積分の一般理論。ドーバー出版。ISBN 0-486-64988-1。
• フォンセカ、アイリーン、ガンボ、ウィルフリッド（1995）。分析と応用における次数理論。オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-851196-5。