プレクロージャーオペレーター

位相幾何学において、プレクロージャ演算子またはチェフ閉包演算子は、集合の部分集合間の写像であり、位相閉包演算子に似ていますが、冪等性は必須ではありません。つまり、プレクロージャ演算子は、クラトフスキー閉包公理の4つのうち3つだけを満たします。

セットの事前閉鎖演算子${\displaystyle X}$地図です${\displaystyle [\ \ ]_{p}}$

${\displaystyle [\ \ ]_{p}:{\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(X)}$

どこ$\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$は、​${\displaystyle X.}$

プリクロージャ演算子は、以下の特性を満たす必要があります。

1. ${\displaystyle [\varnothing ]_{p}=\varnothing \!}$（ヌル和集合の保存）
2. ${\displaystyle A\subseteq [A]_{p}}$（外延性）
3. ${\displaystyle [A\cup B]_{p}=[A]_{p}\cup [B]_{p}}$（二項和集合の保存）

最後の公理は、以下のことを示唆している。

4.${\displaystyle A\subseteq B}$暗示する${\displaystyle [A]_{p}\subseteq [B]_{p}}$。

セット${\displaystyle A}$（事前閉鎖に関して）閉鎖されている場合${\displaystyle [A]_{p}=A}$セット${\displaystyle U\subset X}$補集合が（事前閉鎖に関して）開いている場合${\displaystyle A=X\setminus U}$は閉じている。プレクロージャ演算子によって生成されるすべての開集合の集合はトポロジーである。^{[ 1 ]}ただし、上記のトポロジーは演算子に関連付けられた収束の概念を捉えていないため、代わりにプレトポロジーを考慮する必要がある。^{[ 2 ]}

• エドゥアルド・チェフ

• AV Arkhangelskii、LS Pontryagin、General Topology I、(1990) Springer-Verlag、ベルリン。ISBN 3-540-18178-4。
• B. Banaschewski、「Bourbakiの不動点補題の再考」、Comment. Math. Univ. Carolinae 33 (1992)、303–309。