古典的なウィーナー空間

数学において、古典ウィーナー空間は、与えられた定義域（通常は実数直線の部分区間）上のすべての連続関数の集合であり、距離空間（通常はn次元ユークリッド空間）に値を取ります。古典ウィーナー空間は、サンプルパスが連続関数である確率過程の研究に役立ちます。アメリカの数学者ノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられました。

E ⊆ R ⁿと距離空間( M , d )を考える。古典的なウィーナー空間 C ( E ; M ) は、すべての連続関数f  : E → Mの空間である。つまり、 E内の任意の固定されたtに対して、

${\displaystyle d(f(s),f(t))\to 0}$として${\displaystyle |st|\to 0.}$

ほとんどすべての応用では、E = [0,  T  ] または [0, +∞) およびM = R ⁿ ( N内の任意のnに対して) をとります。簡潔にするために、C ([0,  T  ]; R ⁿ )をCと書きます。これはベクトル空間です。集合Eの最小値で値 0 をとる関数のみで構成される線形部分空間をC _{0と書きます。多くの著者は}C ₀を「古典的なウィーナー空間」と 呼んでいます。

確率過程と から までのすべての関数の空間について、写像を見る。すると、によって定義される座標写像または標準版を定義できる。は別の過程を形成する。ウィーナー測度は、座標過程がブラウン運動となるような における唯一の測度である。 ^[1]${\displaystyle \{X_{t},t\in T\}:(\Omega ,{\mathcal {F}},P)\to (E,{\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(T,E)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \varphi :\Omega \to {\mathcal {F}}(T,E)\cong E^{T}}$ ${\displaystyle Y_{t}:E^{T}\to E}$${\displaystyle Y_{t}(\omega )=\omega (t)}$${\displaystyle \{Y_{t},t\in T\}}$${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} _{+},\mathbb {R} )}$

ベクトル空間Cは一様ノルムを備えることができる

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\in [0,\,T]}|f(t)|}$

これをノルムベクトル空間（実際にはコンパクトなのでバナッハ空間）に変換します。このノルムは、通常の方法でC上の計量を誘導します。この計量の開集合によって生成される位相は、 [0,  T  ]上の一様収束の位相、つまり一様位相です。 ${\displaystyle [0,T]}$${\displaystyle d(f,g):=\|fg\|}$

ドメイン [0,  T  ] を「時間」、範囲R ^{n を}「空間」と考えると、一様位相の直感的な見方は、時間を固定したまま「空間をわずかに揺らして」fのグラフをgのグラフの上に配置できれば、2 つの関数は「近い」ということになります。これを、空間と時間の両方を「揺らす」ことができる Skorokhod 位相と比較してください。

より一般的な領域を見ると ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}}$

${\displaystyle \|f\|:=\sup _{t\geq 0}|f(t)|,}$

ウィーナー空間はもはやバナッハ空間ではないが、ウィーナー空間が追加の制約の下で定義されればバナッハ空間にすることができる。

${\displaystyle \lim \limits _{s\to \infty }s^{-1}|f(s)|=0.}$

一様計量に関して、C は可分かつ完全な空間である。

• 分離可能性はストーン・ワイエルシュトラスの定理の結果である。
• 完全性は、連続関数の列の一様極限がそれ自体連続であるという事実の結果です。

Cは可分かつ完全であるため、ポーランド空間です。

関数f  :[0,  T  ]→ Rnの連続性係数は次のように定義される ^。

${\displaystyle \omega _{f}(\delta ):=\sup \left\{|f(s)-f(t)|:s,t\in [0,T],\,|st|\leq \delta \right\}.}$

この定義は、 f が連続していなくても意味を持ち、 δ → 0 のときに連続率がゼロに近づく 場合にのみfが連続であることが示されます。

${\displaystyle f\in C\iff \omega _{f}(\delta )\to 0{\text{ as }}\delta \to 0}$。

アルツェラ・アスコリ定理を応用すると、古典的ウィーナー空間C上の確率測度の列がタイトであるためには、次の条件が両方とも満たされる必要があることが示せます。 ${\displaystyle (\mu _{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid |f(0)|\geq a\}=0,}$そして

${\displaystyle \lim _{\delta \to 0}\limsup _{n\to \infty }\mu _{n}\{f\in C\mid \omega _{f}(\delta )\geq \バレプシロン \}=0}$すべての ε > 0 に対して。

C _0には、古典的なウィーナー測度（または単にウィーナー測度）として知られる「標準的な」測度があります。ウィーナー測度には、（少なくとも）2つの同等な特徴があります。

ブラウン運動をマルコフ 確率過程 B  : [0,  T  ] × Ω → R ⁿと定義すると、原点から始まり、ほぼ確実に連続した経路と独立した増分を持つ。

${\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim \,\mathrm {正規分布} \left(0,|ts|\right),}$

すると、古典的なウィーナー測度 γ は過程Bの法則となる。

あるいは、抽象的なウィーナー空間構成を使用することもできます。この構成では、古典的なウィーナー測度 γ は、C ₀に対応するキャメロン-マーティンヒルベルト空間上の標準ガウス円筒集合測度のラドン化です。

古典的なウィーナー測度はガウス測度です。特に、厳密に正の確率測度です。

C ₀上の古典的なウィーナー測度 γ が与えられた場合、積測度γ ⁿ × γ はC上の確率測度であり、ここで γ ^{n は}R ⁿ上の標準的なガウス測度を表します。 

が連続的に埋め込まれたヒルベルト空間であり、がウィーナー測度であるとする。これは1973年にスモリャノフとウグラノフによって証明され、同年にゲルキンによって独立に証明された。^{[2] [3]}しかし、より弱い位相を持つヒルベルト空間が存在し、それは1993年にウグラノフによって証明された。^[4]${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$${\displaystyle \gamma}$${\displaystyle \gamma (H)=0}$${\displaystyle H\subset C_{0}([0,R])}$${\displaystyle \gamma (H)=1}$

• 抽象ウィーナー空間
• スコロホッド空間、関数が不連続になることを可能にする古典的なウィーナー空間の一般化
• ウィーナー過程