ブルームバーグの定理

数学において、ブランバーグの定理は、任意の実関数 に対しての稠密な部分集合が存在し、から への制限が連続であるということを述べています。この定理は、発見者であるロシア系アメリカ人の数学者ヘンリー・ブランバーグにちなんで名付けられました。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle D}$

例えば、ディリクレ関数（有理数の指示関数）の への制限は連続であるが、ディリクレ関数は ではどこでも連続ではない。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

より一般的には、ブルームバーグ空間は、任意の関数が の稠密な部分集合に対して連続的な制限を許容する位相空間 です。したがって、ブルームバーグ定理は、(通常の位相を備えた) がブルームバーグ空間であることを主張します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

が距離空間であるとき、 がブルームバーグ空間であるための必要十分条件は、それがベール空間である場合である。[1] ブルームバーグ問題とは、コンパクトなハウスドルフ空間が必ずブルームバーグであるかどうかを決定することである。反例は、1974 年にロニー レヴィによって、ルージンの仮説 を条件として与えられた。 [ ² ]この問題は^、 1975 年にウィリアム AR ワイスによって解決され、彼は無条件の反例を与えた。それは、2 つのコンパクトなハウスドルフ空間の互いに素な和をとることで構築され、連続体仮説が真であればそのうちの 1 つは非ブルームバーグであることが証明され、連続体仮説が偽であればもう一方は非ブルームバーグであることが証明された。^[3]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{1}}.}$

連続関数をその定義域の任意の部分集合（稠密またはそうでないもの）に制限することは常に連続であるため、Blumberg の定理の結論は連続しない関数に対してのみ興味深いものです。連続しない関数が与えられた場合、ある部分集合へのその制限がやはり連続ではないことがわかっても通常は驚くことではありません。 ^{[注 1]}そのため、連続する制限のみが（潜在的に）興味深いものとなります。ただし、そのような制限はすべて興味深いわけではありません。たとえば、任意の関数（ディリクレ関数のように興味深いものでも）を、それが定数である任意の部分集合に制限すると連続になりますが、この事実は定数関数と同じくらい興味深くありません。同様に興味深くないことに、任意の関数（連続または非連続）を単一の点または の任意の有限部分集合（またはより一般的には、整数 などの の任意の離散部分空間）に制限すると連続になります。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$

かなり興味深いケースの 1 つは、非連続関数で、その定義域の何らかの稠密な部分集合への制限が連続である場合です。稠密な部分集合上で定義された連続 値関数に関する重要な事実は、の全体への連続拡張が存在する場合、その拡張は一意であるということです (の全体へ連続的に拡張できない のようなの稠密な部分集合上で定義された連続関数が存在します)。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle f(x)=1/x,}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

たとえば、トーマエの関数 は連続ではありません (実際、すべての有理数で不連続です) が、無理数の稠密な部分集合への制限は連続です。同様に、線形でない(つまり、ある定数 に対して の形ではない)加法関数はすべて、への制限が連続である、どこでも連続しない関数です (このような関数は、コーシーの関数方程式の非自明な解です)。ここで、次のような疑問が生じます。そのような稠密な部分集合は常に見つかるのでしょうか。この疑問に、ブルームバーグの定理が肯定的に答えています。言い換えると、すべての関数は、それがどれほど動作が悪くても、それが連続するある稠密な部分集合に制限することができます。言い換えると、ブルームバーグの定理は、(連続性に関して) 動作が非常に悪く、すべての可能な稠密な部分集合への制限がすべて不連続であるような関数は存在しないことを示しています。 ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle x\mapsto cx}$${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

関数が異常になったり、動作がおかしくなったりするほど、定理の結論は興味深いものになります。たとえば、各値を完全にランダムに選択して関数を定義することを想像してください(そのグラフは、平面上にランダムに散らばった無限個の点として表示されます)。最終的にどのように想像したとしても、Blumberg の定理により、この関数にも、その制限が連続する密な部分集合が存在することが保証されます。 ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• 閉グラフ定理（関数解析）  – グラフの連続性と閉包性を結びつける定理
• 密に定義された演算子 - ほぼどこでも定義されている関数（数学）
• ハーン・バナッハの定理 – 有界線形関数の拡張に関する定理
• ティーツェ拡張定理 – 正規空間の閉部分集合上の連続写像は拡張できる
• ホイットニー拡張定理 – テイラー定理の部分逆

• ブルームバーグ、ヘンリー (1922)。「すべての実関数の新しい特性」( PDF)。米国科学アカデミー紀要。8 ( 1): 283–288。Bibcode : 1922PNAS .... 8..283B。doi :  10.1073 / pnas.8.10.283。PMC 1085149。PMID 16586898。 
• ブルームバーグ、ヘンリー (1922 年 9 月)。「すべての実関数の新しい特性」。アメリカ数学会誌。24 ( 2): 113–128。doi : 10.1090/S0002-9947-1922-1501216-9。JSTOR 1989037。 
• Bradford, JC; Goffman, Casper (1960)。「Blumbergの定理が成り立つ距離空間」。アメリカ数学会紀要。11 : 667–670。
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• ホワイト、HE (1974)。「ブルンバーグの定理が成り立つ位相空間」アメリカ数学会紀要。44 :454-462。
• 「ブルンベルクの定理」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]