Gδ集合

数学の位相幾何学の分野において、G _δ集合は位相空間の部分集合であり、開集合の可算な共通集合である。この表記法はドイツ語の名詞Gebiet 「開集合」とDurchschnitt 「共通集合」に由来する。^[1] 歴史的には G _δ集合は内部極限集合とも呼ばれていたが、^[2]この用語は現在では使用されていない。G _δ集合とその双対であるF _𝜎集合は、ボレル階層の第 2 レベルである。

位相空間において、G _δ集合は開集合の可算な 共通集合である。G _δ集合はまさにレベルΠである。⁰
₂ボレル階層の集合。

• 任意の開集合は当然 G _δ集合です。
• 無理数は、実数 のG _{δ集合です。}無理数は、が有理数である開集合の可算な共通部分(上付き文字は補集合)として表すことができます。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \{q\}^{c}}$${\displaystyle q}$
• 有理数の集合はにおけるG _δ集合ではありません。が開集合の共通部分である場合、 はにおいて稠密であるため、それぞれにおいて稠密です。しかし、上記の構成では、無理数は開稠密な部分集合の可算共通部分として与えられました。これら 2 つの集合の共通部分を取ると、空集合はにおける開稠密な集合の可算共通部分として与えられ、これはベールのカテゴリ定理に違反します。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 任意の実数値関数の連続集合は、その定義域の G δ サブセットです(より_一般的な説明については、「プロパティ」セクションを参照してください)。
• 上のどこでも微分可能な実数値関数の微分の零集合はG _{δ集合である。これは}ポンペイウの構成で示されるように、内部が空である稠密集合になることがある。${\displaystyle \mathbb {R} }$
• [0, 1]内のどの点でも微分不可能な関数の集合には、距離空間の稠密なGδ部分集合が含まれます_。 (ワイエルシュトラス関数§どこでも微分不可能な関数の密度を参照してください。)${\displaystyle C([0,1])}$${\displaystyle C([0,1])}$

計量空間（および位相空間）における G _δ集合の概念は、計量空間の完全性の概念およびベールのカテゴリ定理に関連しています。下の特性のリストで、完全に計量化可能な空間に関する結果を参照してください。 集合とその補集合は、実解析、特に測度論でも重要です。 ${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$

• G _δ集合の補集合はF _σ集合であり、その逆も同様です。
• _{可算個数の G δ}集合の共通部分はG _δ集合です。
• 有限個のG _δ集合の和集合は G _δ集合である。
• _{G δ}集合の可算な和集合（G _δσ集合と呼ばれる）は、一般に G _δ集合ではありません。たとえば、有理数はでは G _δ集合を形成しません。${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• 位相空間では、すべての実数値連続関数の零集合は（閉じた）G _δ集合です。これは、が開集合 、 の共通部分であるためです。${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}(0)}$${\displaystyle \{x\in X:-1/n<f(x)<1/n\}}$${\displaystyle (n=1,2,\ldots )}$
• 距離化可能な空間では、すべての閉集合は G _δ集合であり、双対的に、すべての開集合は F _σ集合である。^[3] 実際、閉集合は連続関数 の零集合であり、 は点から集合 までの距離を表す。擬距離化可能な空間でも同じことが成り立つ。${\displaystyle F\subseteq X}$${\displaystyle f(x)=d(x,F)}$${\displaystyle d}$
• 最初の可算 T ₁空間では、すべてのシングルトンは_Gδ集合である。^[4]
• 完全に距離化可能な空間の部分空間は、それが における G _δ集合である場合に限り、それ自体が完全に距離化可能である。^{[5] [6]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• ポーランド空間 の部分空間は、それが における G _δ集合である場合に限り、それ自体がポーランド空間である。これは、完全に距離化可能な部分空間に関する前の結果と、可分距離空間のすべての部分空間が可分であるという事実から導かれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• 位相空間がポーランド空間であるためには、それがコンパクト距離空間のGδ部分集合_に同相でなければならない。^{[7] [8]}${\displaystyle X}$

位相空間から計量空間への関数が連続する点の集合は集合である。これは、ある点での連続性が次の式で定義できるためである。すべての正の整数に対して、内のすべてのに対して となるような を含む開集合が存在する。 の値が固定されている場合、そのような対応する開が存在する の集合自体が開集合（開集合の和集合）であり、上の全称量指定子はこれらの集合の（可算な）共通集合に対応する。結果として、無理数が関数の連続点の集合になることは可能だが（ポップコーン関数を参照）、有理数上でのみ連続する関数を構成することは不可能である。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathrm {G_{\delta }} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \Pi _{2}^{0}}$${\displaystyle n,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle p}$${\displaystyle d(f(x),f(y))<1/n}$${\displaystyle x,y}$${\displaystyle U}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle U}$${\displaystyle n}$

実数直線では逆も成り立ち、実数直線の任意のGδ部分集合に対して_、その中の点で正確に連続する関数が存在する。^[9]${\displaystyle A}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle A}$

Gδ空間^[10]は、すべての閉集合_がGδ集合である位相空間である。^[11] _Gδ空間でもある正規空間は完全正規と呼ばれる。たとえば、すべての距離化可能な空間は完全正規である _。

• F _σ集合、双対概念。ドイツ語の Gebiet 「開いた集合」の「G」とフランス語の fermé 「閉じた集合」の「F」を対照的に表します。
• P空間、すべての_Gδ集合が開集合であるという性質を持つ空間

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