限界の下位と限界の上位

数学では、数列の下極限と上極限 は、数列に対する極限(つまり、最終的な極限) 境界と考えることができます。これらは、関数についても同様に考えることができます(関数の極限 を参照)。集合の場合、これらはそれぞれ、集合の極限点の最小値と最大値です。一般に、数列、関数、または集合が複数のオブジェクトを集積する場合、下極限と上極限は、それらの最小値と最大値を抽出します。オブジェクトのタイプとサイズの測定はコンテキストに依存しますが、極限の概念は不変です。 下極限 は、最小値極限、限界最小値、liminf、下極限、下限、または内部極限とも呼ばれます。上極限 は、上限極限、限界上限、limsup、上極限、上限、または外部極限とも呼ばれます。

シーケンスの下限は で表され 、シーケンスの上限は で表されます。 ${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{または}}\quad \varliminf _{n\to \infty }x_{n},}$$${\displaystyle (x_{n})}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}\quad {\text{または}}\quad \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}.}$$

の数列 (x _n ) の下限は 次 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\inf _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}:=\sup _{n\geq 0}\,\inf _{m\geq n}x_{m}=\sup \,\{ \,\inf \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

同様に、(x _n ) の上限は 次の $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\lim _{n\to \infty }\!{\Big (}\sup _{m\geq n}x_{m}{\Big )}}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}:=\inf _{n\geq 0}\,\sup _{m\geq n}x_{m}=\inf \,\{ \,\sup \,\{\,x_{m}:m\geq n\,\}:n\geq 0\,\}.}$$

代わりに、およびという表記が使用されることもあります。 ${\displaystyle \varliminf _{n\to \infty }x_{n}:=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \varlimsup _{n\to \infty }x_{n}:=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$

上位の極限と下位の極限は、数列 の連続極限の概念を使って同値に定義できる。^[1]拡張実数の元がの連続極限であるとは、となる自然数の厳密に増加する数列が存在する場合である。がのすべての連続極限の集合である場合、 ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \xi}$ ${\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle (n_{k})}$${\displaystyle \xi =\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}}$${\displaystyle E\subseteq {\overline {\mathbb {R} }}}$${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=\sup E}$

そして

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\inf E.}$

数列の項が実数である場合、実数と ±∞ (つまり、拡張された実数直線) は完全であるため、上極限と下極限は常に存在します。より一般的には、これらの定義は、完全格子のように上限と下限が存在する限り、任意の半順序集合で意味をなします。

通常の極限が存在するときは、下極限と上極限は両方ともそれに等しい。したがって、それぞれは通常の極限の一般化とみなすことができ、主に極限が存在しない場合に興味深い。lim inf  x _nとlim sup  x _nの両方が存在するときは、

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

下位の限界と上位の限界は、ビッグ オー表記法と関連しており、シーケンスを「限界内で」のみ制限します。シーケンスは、限界を超える場合があります。ただし、ビッグ オー表記法では、シーケンスはシーケンスの有限のプレフィックスでのみ限界を超えることができますが、e ^{− n}などのシーケンスの上位の限界は、実際にはシーケンスのすべての要素よりも小さくなる可能性があります。唯一の保証は、シーケンスの末尾が、上位の限界プラス任意の小さな正の定数によって上方に制限され、下位の限界から任意の小さな正の定数を引いた値によって下方に制限されることです。

シーケンスの上限と下限は、関数の上限と下限の特殊なケースです (以下を参照)。

数学的解析において、上極限と下極限は実数列を研究するための重要なツールです。実数の無限集合の上限と下限は存在しない可能性があるので（実数は完全な格子ではない）、アフィン拡張された実数系で列を考えると便利です。つまり、実数直線に正と負の無限大を加えて、完全な全順序集合[−∞,∞] を作成します。これは完全な格子です。

実数からなる数列を考えてみましょう。上限と下限が実数（つまり無限ではない）であると仮定します。 ${\displaystyle (x_{n})}$

• の上限は、任意の正の実数 に対して、すべての に対してとなる自然数 が存在するような最小の実数です。言い換えると、上限よりも大きい任意の数は、その数列の最終的な上限です。数列の要素のうち、 より大きいものは有限個だけです。${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b+\バレプシロン }$
• の下限値は、任意の正の実数 に対して、すべての に対してとなる自然数が存在するような最大の実数です。言い換えると、下限値より下の任意の数は、その数列の最終的な下限値となります。数列の要素のうち、 より小さいのは有限個だけです。${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle N}$${\displaystyle x_{n}>b-\epsilon }$${\displaystyle n>N}$${\displaystyle b-\varepsilon }$

実数の列の下位極限と上位極限の関係は次のとおりです。 $${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(-x_{n}\right)=-\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$$

先に述べたように、をに拡張すると便利です。すると、が のときのみ 収束し、 その場合 はそれらの共通値に等しくなります。(またはのみを扱っている場合、への収束は収束とは見なされないことに注意してください。) 下位の極限は上位の極限以下であるため、次の条件が成立します。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle [-\infty ,\infty ].}$${\displaystyle \left(x_{n}\right)}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\liminf _{n\to \infty }x_{n}&=\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,\\[0.3ex]\limsup _{n\to \infty }x_{n}&=-\infty &&\;\;{\text{ implies }}\;\;\lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty .\end{alignedat}}}$$

およびの場合には、区間はの数字をまったく含まないが、 を任意に小さくした場合のわずかな拡大は、有限個を除くすべての添え字に対して を含む。実際、区間 はこの性質を持つ最小の閉区間である。この性質を次のように定式化できる。およびの部分列が存在する（ただし、 および は増加している）。${\displaystyle I=\liminf _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle S=\limsup _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle [I,S]}$${\displaystyle x_{n},}$${\displaystyle [I-\epsilon ,S+\epsilon ],}$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle [I,S]}$ ${\displaystyle x_{k_{n}}}$${\displaystyle x_{h_{n}}}$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle k_{n}}$${\displaystyle h_{n}}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon >x_{h_{n}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k_{n}}>\limsup _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon }$$

一方、すべての${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq n_{0}}$ $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}-\epsilon <x_{n}<\limsup _{n\to \infty }x_{n}+\epsilon }$$

要約すると:

• が上限より大きい場合、上限より大きい数は最大で有限個存在し、下限より小さい場合は、無限個存在します。${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda ;}$
• が限界値より小さい場合、最大で有限個少ない数が存在し、それより大きい場合は無限個存在します。${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda ;}$

逆に、次のことも示せます。

• より大きいか等しいものが無限にある場合、 は上限の限界値以下になります。より大きいものが有限個しかない場合、 は上限の限界値以上になります。${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \Lambda }$${\displaystyle \Lambda }$
• が無限数存在する場合、 は下限値以上である。が有限数のみ存在する場合、は下限値以下である。^[2]${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$

一般的に、シーケンスのliminfとlimsupはそれぞれ最小のクラスターポイントと最大のクラスターポイントです。^[3]$${\displaystyle \inf _{n}x_{n}\leq \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}\leq \sup _{n}x_{n}.}$$

• 任意の 2 つの実数列について、不等式の右辺が定義されている場合 (つまり、またはではない場合)は常に、優位の極限が劣加法性を満たします。${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$${\displaystyle \infty -\infty }$${\displaystyle -\infty +\infty }$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\leq \limsup _{n\to \infty }a_{n}+\ \limsup _{n\to \infty }b_{n}.}$$

同様に、劣った極限は超加法性を満たします。つまり、シーケンスの 1 つが実際に収束する特定のケースでは、 とすると、上記の不等式は等式になります (またははに置き換えられます)。 $${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}+b_{n})\geq \liminf _{n\to \infty }a_{n}+\ \liminf _{n\to \infty }b_{n}.}$$${\displaystyle a_{n}\to a,}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle a}$

• 任意の2つの非負実数列に対して、不等式と${\displaystyle (a_{n}),(b_{n}),}$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\leq \left(\limsup _{n\to \infty }a_{n}\!\right)\!\!\left(\limsup _{n\to \infty }b_{n}\!\right)}$$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(a_{n}b_{n})\geq \left(\liminf _{n\to \infty }a_{n}\right)\!\!\left(\liminf _{n\to \infty }b_{n}\right)}$$

右辺が次の形式でない場合は、${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

が存在する場合（ の場合も含む）であり、 が形式${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=A}$${\displaystyle A=+\infty }$${\displaystyle B=\limsup _{n\to \infty }b_{n},}$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\left(a_{n}b_{n}\right)=AB}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle 0\cdot \infty .}$

• 例として、正弦関数によって与えられる数列を考えてみましょう。π が無理数であるという事実を用いると、次のようになります。(これは、数列が mod 2π で等分布しているためであり、等分布定理の帰結です。)${\displaystyle x_{n}=\sin(n).}$$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}=-1}$$$${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }x_{n}=+1.}$$${\displaystyle \{1,2,3,\ldots \}}$

• 数論からの例は、が-番目の素数である場合です。$${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\,(p_{n+1}-p_{n}),}$$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle n}$

この劣る極限の値は2であると推測されていますが（これは双子素数予想です）、2014年4月現在、246以下であることが証明され^[update]ています。^[4]対応する優れた極限は です。これは、連続する素数の間には任意の大きなギャップがあるためです。${\displaystyle +\infty }$

関数が実数のサブセットから実数に定義されていると仮定します。シーケンスの場合と同様に、+∞ と −∞ の値を許容する場合、下限と上限は常に明確に定義されます。実際、両方が一致する場合、限界が存在し、それらの共通値に等しくなります (この場合も、無限大を含む可能性があります)。たとえば、 の場合、と が成り立ちます。2 つの差は、関数がどの程度「激しく」振動するかの大まかな尺度であり、この事実を観察すると、 0 でのfの振動と呼ばれます。この振動の考え方は、たとえば、リーマン積分可能関数を、測度ゼロの集合を除いて連続していると特徴付けるのに十分です。^[5] 非ゼロ振動の点 (つまり、fが「不正に動作する」点) は不連続であり、ゼロの集合を構成しない限り、無視できる集合に限定されることに注意してください。 ${\displaystyle f(x)=\sin(1/x)}$${\displaystyle \limsup _{x\to 0}f(x)=1}$${\displaystyle \liminf _{x\to 0}f(x)=-1}$

計量空間上で定義された関数には、limsup と liminf という概念があり、その関数と実数値関数の極限との関係は、limsup、liminf、および実数列の極限との関係を反映しています。計量空間、に含まれる部分空間、および関数を取ります。の任意の極限点に対して、 を定義します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle E}$

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$ そして

$${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$

ここで、 は半径のメートル法球を表します。 ${\displaystyle B(a,\varepsilon )}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle a}$

εが小さくなると、球面関数の最大値は非増加（厳密に減少するか、同じまま）になるので、

$${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf _{\varepsilon >0}\left(\sup \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right)}$$ 同様に $${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup _{\varepsilon >0}\left(\inf \,\{f(x):x\in E\cap B(a,\varepsilon )\setminus \{a\}\}\right).}$$

これが最終的に一般的な位相空間の定義の動機となります。前と同じようにX、E、a を取りますが、今度はX を位相空間とします。この場合、計量球を近傍に置き換えます。

${\displaystyle \limsup _{x\to a}f(x)=\inf \,\{\,\sup \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

${\displaystyle \liminf _{x\to a}f(x)=\sup \,\{\,\inf \,\{f(x):x\in E\cap U\setminus \{a\}\}:U\ \mathrm {open} ,\,a\in U,\,E\cap U\setminus \{a\}\neq \emptyset \}}$

(ネットと近傍フィルタを使用して「lim」を使用して式を書く方法があります)。このバージョンは、解析で頻繁に発生する半連続性の議論で役立ちます。興味深いのは、このバージョンでは、シーケンスを、拡張された実数直線の位相的部分空間としての自然数からの関数として考えることで、シーケンシャルバージョンを包含し、空間に組み込むことです (拡張された実数直線である[−∞,∞] におけるNの閉包は、 N ∪ {∞}です  )。

集合Xのべき集合℘ ( X ) は集合の包含によって順序付けられた完全な束であるため、任意の部分集合 (集合の包含に関して) の上限と下限は常に存在します。特に、Xのすべての部分集合Y は、 ∅ ⊆ Y ⊆ Xであるため、上はXで、下は空集合∅ で制限されます。したがって、 ℘( X ) 内のシーケンス (つまり、Xの部分集合のシーケンス)の上極限と下極限を考慮することが可能であり、場合によっては有用です。

集合のシーケンスの限界を定義する一般的な方法は 2 つあります。どちらの場合も次のようになります。

• シーケンスは、単一の点自体ではなく、点の集合の周りに蓄積されます。つまり、シーケンスの各要素自体が集合であるため、シーケンスの無限個の要素の近くにある蓄積集合が存在します。
• 上限/上方/外方限界は、これらの蓄積集合を結合する集合です。つまり、すべての蓄積集合の和集合です。集合の包含関係で順序付けすると、上限は蓄積点の集合の最小の上限になります。なぜなら、上限には蓄積点がすべて含まれているからです。したがって、上限は極限点の上限です。
• 最小値/下極限/内部極限は、これらすべての蓄積集合が交わる集合です。つまり、すべての蓄積集合の共通部分です。集合の包含関係で順序付けすると、最小極限は蓄積点の集合の最大の下限になります。なぜなら、最小極限はそれぞれの蓄積点に含まれているからです。したがって、最小極限は極限点の最小値です。
• 順序付けは集合の包含によって行われるため、外側の極限は常に内側の極限を含みます (つまり、lim inf  X _n ⊆ lim sup  X _n )。したがって、集合のシーケンスの収束を考慮する場合、通常はそのシーケンスの外側の極限の収束を考慮するだけで十分です。

2 つの定義の違いは、トポロジーの定義方法 (つまり、分離を定量化する方法) にあります。実際、離散メトリックを使用してX上のトポロジーを誘導する場合、 2 番目の定義は最初の定義と同一です。

距離化可能な空間 内の集合の列は、列の各要素の要素が極限集合の要素に近づくときに極限集合に近づきます。特に、がの部分集合の列である場合、次のようになります。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle (X_{n})}$${\displaystyle X,}$

• ${\displaystyle \limsup X_{n},}$外極限とも呼ばれる は、 （可算に）無限個から取られた の点の極限となる要素から成ります。つまり、となる点の列との部分列が存在する場合のみであり、${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle x\in \limsup X_{n}}$${\displaystyle (x_{k})}$ ${\displaystyle (X_{n_{k}})}$${\displaystyle (X_{n})}$${\displaystyle x_{k}\in X_{n_{k}}}$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$
• ${\displaystyle \liminf X_{n},}$は内極限とも呼ばれ、有限個（つまり、余有限個）を除くすべてのにおける点の極限となる要素から構成されます。つまり、となる点の列が存在する場合、かつその場合のみ、 となり、${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x\in \liminf X_{n}}$${\displaystyle (x_{k})}$${\displaystyle x_{k}\in X_{k}}$${\displaystyle \lim _{k\to \infty }x_{k}=x.}$

極限は、と が一致する場合にのみ存在し、その場合、^{[6]外側の極限と内側の極限は}、集合論的な上位極限と下位極限と混同してはならない。後者の集合は空間の位相構造に敏感ではないからである。 ${\displaystyle \lim X_{n}}$${\displaystyle \liminf X_{n}}$${\displaystyle \limsup X_{n}}$${\displaystyle \lim X_{n}=\limsup X_{n}=\liminf X_{n}.}$

これは測度論と確率論で使われる定義です。以下で説明する位相的な観点とは対照的に、集合論的な観点からのさらなる議論と例は集合論的な極限にあります。

この定義によれば、集合の列は、その列の有限個以外のすべての集合に含まれる要素が極限集合に含まれ、かつ、その列の有限個以外のすべての補集合に含まれる要素が極限集合に含まれない場合に、極限集合に近づきます。つまり、この場合は、集合X上の位相が離散計量から誘導される場合の一般的な定義を特殊化します。

具体的には、点x、y ∈ Xに対して、離散計量は次のように定義されます。

${\displaystyle d(x,y):={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y,\\1&{\text{if }}x\neq y,\end{cases}}}$

この点において、点の列 ( x _k ) が点x ∈ Xに収束するのは、有限個以外のすべてのkに対してx _k = xである場合のみです。したがって、極限集合が存在する場合、その集合には点のみが含まれます。離散計量における収束は収束の最も厳密な形式 (つまり、最も多くの収束を必要とする) であるため、この極限集合の定義は可能な限り厳密です。

( X _n ) がXのサブセットのシーケンスである場合、次のものが常に存在します。

• lim sup  X _{n は、}無限個のnに対してX _nに属するXの要素で構成されます(可算無限を参照)。つまり、すべてのkに対してx ∈ X n _kとなるような( X _n )の部分列 ( X _{n k )が}存在する場合のみ、x ∈ lim sup  X _nとなります。
• lim inf  X _{n は、}有限個の n を除くすべてのnに対してX _nに属するXの要素で構成されます(つまり、共有限個のnに対して)。つまり、すべてのn > mに対してx ∈ X _nとなるようなm > 0が存在する場合のみ、x ∈ lim inf  X _nとなります。

x ∈ lim sup  X _nである場合、かつその場合のみx ∉ lim inf  X _n ^{c で}あることに注意してください。

• lim  X _nが存在するのは、 lim inf X _nと lim sup  X _{n が}一致する場合のみです 。その場合、 lim  X _n = lim sup  X _n = lim inf  X _nとなります。

この意味で、 Xのあらゆる点が有限個のXn_を除くすべてのXncに現れるか、有限個のXnc_を除くすべての^Xncに現れる限り、その数列には限界がある。 ^[7]

集合論の標準的な用語を使用すると、集合包含は、Xのすべての部分集合のコレクションに部分的な順序付けを提供し、集合の交差によって最大の下限を生成し、集合の和によって最小の上限を生成できます。したがって、部分集合のコレクションの最小値または集合は最大の下限であり、最大値または集合の結合は最小の上限です。このコンテキストでは、内部の極限 lim inf  X _nは、シーケンスの末尾の最大の集合であり、外部の極限 lim sup  X _nは、シーケンスの末尾の最小の結合です。以下は、これを正確に示しています。

• I _{n を}シーケンスのn^番目の末尾の集合とします。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{n}&=\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcap _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cap X_{n+1}\cap X_{n+2}\cap \cdots .\end{aligned}}}$

シーケンス ( I _n ) は非減少 (つまりI _n ⊆ I _{n +1} ) です。これは、各I _{n +1が}I _nよりも少ない集合の交差であるためです。この表と裏の交差シーケンスの最小上限は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\liminf _{n\to \infty }X_{n}&=\sup \,\{\,\inf \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcup _{n=1}^{\infty }\left({\bigcap _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

したがって、極限最小値には、シーケンスの有限個セットを除くすべてのセットの下限となるすべてのサブセットが含まれます。

• 同様に、J _{n を}シーケンスのn^番目の末尾の結合とします。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{n}&=\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,n+2,\ldots \}\}\\&=\bigcup _{m=n}^{\infty }X_{m}=X_{n}\cup X_{n+1}\cup X_{n+2}\cup \cdots .\end{aligned}}}$

シーケンス ( J _n ) は非増加 (つまりJ _n ⊇ J _{n +1} ) です。これは、各J _{n +1が}J _nよりも少ない集合の和集合であるためです。この表の結合シーケンスの最大下限は

${\displaystyle {\begin{aligned}\limsup _{n\to \infty }X_{n}&=\inf \,\{\,\sup \,\{X_{m}:m\in \{n,n+1,\ldots \}\}:n\in \{1,2,\dots \}\}\\&=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left({\bigcup _{m=n}^{\infty }}X_{m}\right)\!.\end{aligned}}}$

したがって、極限上限は、シーケンスの有限個セットを除くすべてのセットの上限であるすべてのサブセットに含まれます。

以下は、集合収束の例です。これらは、集合X上のトポロジーを誘導するために使用されるメトリックに基づいてセクションに分割されています。

離散メトリックの使用

• ボレル-カンテリの補題はこれらの構成の応用例です。

離散計量またはユークリッド計量のいずれかを使用する

• 集合X = {0,1} と部分集合のシーケンスを考えます。

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

このシーケンスの「奇数」要素と「偶数」要素は、それぞれ極限点 0 と 1 を持つ 2 つのサブシーケンス ({0}, {0}, {0}, ...) と ({1}, {1}, {1}, ...) を形成します。したがって、外側または上側の極限は、これら 2 つの点の集合 {0,1} です。ただし、( X _n ) シーケンス全体から取得できる極限点はないため、内側または下側の極限は空集合 { } です。つまり、

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

ただし、( Y _n ) = ({0}, {0}, {0}, ...) かつ ( Z _n ) = ({1}, {1}, {1}, ...) の場合:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {0}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {1}

• 集合X = {50, 20, −100, −25, 0, 1} と部分集合のシーケンスを考えます。

${\displaystyle (X_{n})=(\{50\},\{20\},\{-100\},\{-25\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\{0\},\{1\},\dots ).}$

前の2つの例と同様に、

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

つまり、パターンに一致しない 4 つの要素は、有限個しかないため、lim inf と lim sup には影響しません。実際、これらの要素は、シーケンス内のどこにでも配置できます。シーケンスの末尾が維持される限り、外側の限界と内側の限界は変更されません。必須上限と必須下限を使用する必須内側限界と必須外側限界の関連概念は、有限個ではなく可算個の中間追加を「押しつぶす」重要な変更を提供します。

ユークリッド距離の使用

• 有理数の部分集合の列を考えてみましょう。

${\displaystyle (X_{n})=(\{0\},\{1\},\{1/2\},\{1/2\},\{2/3\},\{1/3\},\{3/4\},\{1/4\},\dots ).}$

このシーケンスの「奇数」要素と「偶数」要素は、それぞれ極限点 1 と 0 を持つ 2 つのサブシーケンス ({0}、{1/2}、{2/3}、{3/4}、...) と ({1}、{1/2}、{1/3}、{1/4}、...) を形成します。したがって、外側または上位の極限は、これら 2 つの点の集合 {0,1} です。ただし、( X _n ) シーケンス全体から取得できる極限点はないため、内側または下位の極限は空集合 { } です。したがって、前の例と同様に、

• lim sup  X _n = {0,1}
• lim inf  X _n = { }

ただし、( Y _n ) = ({0}, {1/2}, {2/3}, {3/4}, ...) かつ ( Z _n ) = ({1}, {1/2}, {1/3}, {1/4}, ...) の場合:

• lim sup  Y _n = lim inf  Y _n = lim  Y _n = {1}
• lim sup  Z _n = lim inf  Z _n = lim  Z _n = {0}

これら 4 つのケースのそれぞれにおいて、限界セットの要素は、元のシーケンスのどのセットの要素でもありません。

• 動的システムの解のΩ極限（すなわち極限集合）は、システムの解の軌道の外側の極限である。^{[6] ：50–51}軌道はこの極限集合にどんどん近づくので、これらの軌道の末端は極限集合に収束する。

• たとえば、いくつかの安定システムを非減衰の2 次LTI システム(つまり、減衰比がゼロ) とカスケード接続したLTI システムは、摂動を受けた後 (たとえば、叩かれた後の理想的なベル) 無限に振動します。したがって、このシステムの位置と速度をプロットすると、軌道は状態空間で円に近づきます。この円はシステムの Ω 極限セットであり、システムの解の軌道の外側の限界です。円は、純粋な正弦波音の出力に対応する軌道の軌跡を表します。つまり、システム出力は純粋な音に近づきます。

上記の定義は、多くの技術的アプリケーションには不十分です。実際、上記の定義は次の定義を特殊化したものです。

集合X  ⊆  Yの極限下点とは、その集合のすべての極限点の最小値である。つまり、

${\displaystyle \liminf X:=\inf \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

同様に、 Xの極限は、集合のすべての極限点の 上限です。つまり、

${\displaystyle \limsup X:=\sup \,\{x\in Y:x{\text{ is a limit point of }}X\}\,}$

これらの定義が意味を成すためには、集合X は位相空間でもある半順序集合 Yのサブセットとして定義される必要があることに注意してください。さらに、上限と下限が常に存在するように、完全な格子でなければなりません。その場合、すべての集合には上限と下限があります。また、集合の下限と上限の極限は、集合の要素である必要はないことにも注意してください。

位相空間 Xとその空間内のフィルタ基底 Bをとる。そのフィルタ基底のすべてのクラスタ点の集合は次のように与えられる。

${\displaystyle \bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

ここで はの閉包です。これは明らかに閉集合であり、集合の極限点の集合に似ています。X も半順序集合であると仮定します。フィルタ基底Bの極限は次のように定義されます。 ${\displaystyle {\overline {B}}_{0}}$${\displaystyle B_{0}}$

${\displaystyle \limsup B:=\sup \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

その上限が存在するとき。Xが全順序を持つとき、 は完全格子であり、順序位相 を持つ。

${\displaystyle \limsup B=\inf \,\{\sup B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

同様に、フィルタベースBの下限は次のように定義されます。

${\displaystyle \liminf B:=\inf \,\bigcap \,\{{\overline {B}}_{0}:B_{0}\in B\}}$

その最小値が存在するとき、Xが全順序で、完備な格子で、順序位相を持つとき、

${\displaystyle \liminf B=\sup \,\{\inf B_{0}:B_{0}\in B\}.}$

下位の限界と上位の限界が一致する場合、クラスター ポイントは 1 つだけ存在し、フィルター ベースの限界はこの一意のクラスター ポイントに等しくなります。

フィルタ基底は、シーケンスの一般化であるネットの一般化であることに注意してください。したがって、これらの定義は、任意のネット (および任意のシーケンス) の下位の極限と上位の極限も与えます。たとえば、位相空間とネットを取ります。ここで、は有向集合であり、すべての に対して です。このネットによって生成されるフィルタ基底 (「テールの」) は、次のように定義されます 。${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{\alpha })_{\alpha \in A}}$${\displaystyle (A,{\leq })}$${\displaystyle x_{\alpha }\in X}$${\displaystyle \alpha \in A}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle B:=\{\{x_{\alpha }:\alpha _{0}\leq \alpha \}:\alpha _{0}\in A\}.\,}$

したがって、ネットの下限と上限は、それぞれ の上限と下限に等しい。同様に、位相空間 では、任意の に対してとなるシーケンスを取る。このシーケンスによって生成されるフィルタ ベース (「末尾の」) は次のように定義される。 ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x_{n}\in X}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C:=\{\{x_{n}:n_{0}\leq n\}:n_{0}\in \mathbb {N} \}.\,}$

したがって、シーケンスの下限値と上限値は、それぞれ の上限値と下限値に等しくなります。 ${\displaystyle C}$

• 本質的下限と本質的上限
• エンベロープ（波）
• 片側制限
• ディニ誘導体
• 集合論的極限

• 「上限と下限」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]