可算選択の公理

_{AC ω}の応用例として、すべての無限集合がデデキント無限であることの証明 ( ZF  +  AC _ωより) を以下に示します。^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle X}$無限である。各自然数について${\displaystyle n}$、 させて${\displaystyle A_{n}}$すべての集合である${\displaystyle n}$-異なる要素のタプル${\displaystyle X}$。 以来${\displaystyle X}$無限であり、それぞれ${\displaystyle A_{n}}$は空ではない。AC _ωを適用すると、数列が得られる。${\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$それぞれ${\displaystyle B_{n}}$は${\displaystyle n}$-タプル。これらのタプルを連結して単一のシーケンスにすることができます。${\displaystyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$要素の${\displaystyle X}$繰り返し要素を含む場合もある。繰り返しを抑制すると、シーケンスが生成される。${\displaystyle (c_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$異なる要素の

${\displaystyle c_{n}=b_{k}}$、 と${\displaystyle k=\min\{i\mid \forall _{j<n}b_{i}\neq c_{j}\}}$。

これ${\displaystyle i}$存在する理由は、選択時に${\displaystyle c_{n}}$すべての要素が${\displaystyle B_{n+1}}$の中にいる${\displaystyle n}$以前に選択された要素。${\displaystyle X}$可算集合を含みます。各要素をマッピングする関数${\displaystyle c_{n}}$に${\displaystyle c_{n+1}}$（そして他のすべての要素を残します）${\displaystyle X}$固定) は から 1 対 1 のマップです${\displaystyle X}$の中へ${\displaystyle X}$これは全射ではないので、${\displaystyle X}$デデキント無限である。^{[ 2 ]}

可算選択公理 (AC _{ω ) は}、従属選択公理(DC) ^{[ 3 ]}よりも厳密に弱く、DC は選択公理(AC )よりも弱い。DC、したがって AC _ωも、 1970 年にRobert M. Solovayによって完全な選択公理を持たない集合論のモデルとして構築されたSolovay モデルで成立し、このモデルではすべての実数の集合が可測である。^{[ 4 ]}

ウリゾーンの補題（UL）とティーツェ拡張定理（TET）はZF+ACωとは独立している_{。ULとTETが真となるZF+ ACω}のモデルと、偽となるモデルが存在する。ULとTETはどちらもDCによって導かれる。^{[ 5 ]}

ポール・コーエンは、選択公理なしではツェルメロ・フレンケル集合論（ZF）においてAC _{ω は}証明できないことを示した。 ^{[ 6 ]}しかし、いくつかの可算無限個の空でない集合は、選択公理のいかなる形式もなしに ZF において選択関数 を持つことが証明できる。例えば、${\displaystyle V_{\omega }\setminus \{\emptyset \}}$選択関数があり、 ${\displaystyle V_{\omega }}$は遺伝的に有限な集合の集合、つまりフォン・ノイマン宇宙における非有限ランクの最初の集合です。選択関数は、{ ⟨ W _n , W _k ⟩  : k < n < ω ∧ W _k ∈ W _n ∧ ∀ j < k ( W _j ∉ W _n ) } で、n < ωの場合、 W _n = { W _k  : k < n ∧ ( n mod 2 ^{k +1} ) ≥ 2 ^k } です。Wは遺伝的に有限な集合をそれぞれ一度だけ列挙し、W _k ∈ W _nとなるkに対応する各桁に 1 を持つnの二進数に基づいています。別の例としては、有理数の端点を持つ実数の適切な有界開区間の集合があります。

ZF+AC _{ω は}、可算個の可算集合の和集合が可算であることを証明するのに十分である。これらの主張は同値ではない。コーエンの第一モデルは、可算集合の可算和集合が可算であるが、AC _ωが成り立たない例を提供している。 ^{[ 7 ]}

可算選択公理には多くの同値な形式があり、それらのどれでも他のどれを仮定すれば ZF で証明できるという意味で同値である。それらには以下が含まれる: ^{[ 8 ] [ 9 ]}

• 空でない集合の可算集合はすべて選択関数を持つ。^{[ 8 ]}
• 空でない集合の無限集合には、選択関数を持つ無限部分集合が存在する。^{[ 8 ]}
• すべてのσコンパクト空間（可算個のコンパクト空間の和集合）はリンデレーフ空間（すべての開被覆が可算個の部分被覆を持つ）である。^{[ 8 ]}距離空間がσコンパクトであるのは、それがリンデレーフ空間である場合のみである。^{[ 9 ]}
• 可算空間（可算個の開集合の基底を持つ）はすべて可分空間（可算個の稠密部分集合を持つ）である。^{[ 8 ]}距離空間が可分であるのは、σコンパクトである場合のみである。^{[ 9 ]}
• 距離空間におけるすべての連続な実数値関数は連続関数である。^{[ 8 ]}
• 距離空間の部分集合のすべての集積点は、その部分集合からの点列の極限である。 ^{[ 9 ]}
• Rasiowa -Sikorski 補題MA${\displaystyle (\aleph _{0})}$マーティンの公理の可算形式：可算連鎖条件を持つ前順序では、稠密な部分集合の可算族はすべての部分集合と交差するフィルタを持つ。（この文脈では、前順序のすべての要素が集合内に下限を持つ場合、集合は稠密であると呼ばれる。）^{[ 8 ]}