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公理的集合論において、関数f  : Ord → Ord は、順序位相に関して連続であり、かつ厳密に単調増加である場合に、正規関数（または正規関数）と呼ばれます。これは、次の 2 つの条件と同等です。

1. すべての極限順序数γ (つまりγはゼロでも後継数でもない)に対して、 f ( γ ) = sup { f ( ν )  : ν < γ }が成り立つ。
2. すべての順序数α < βに対して、 f ( α ) < f ( β )が成り立つ。

単純な正規関数はf ( α ) = 1 + αで与えられます(順序演算を参照)。しかし、f ( α ) = α + 1は、任意の極限順序 (たとえば、${\displaystyle f(\omega )=\omega +1\neq \omega =\sup\{f(n):n<\omega \}}$）。βが固定順序数の場合、関数f ( α ) = β + α、f ( α ) = β × α ( β ≥ 1の場合)、およびf ( α ) = β ^α ( β ≥ 2の場合) はすべて正規関数です。

正規関数のより重要な例としては、アレフ数が挙げられる。${\displaystyle f(\alpha )=\aleph _{\alpha }}$序数と基数を結びつける、そしてベス数によって${\displaystyle f(\alpha )=\beth _{\alpha }}$。

fが正規分布である場合、任意の順序数αに対して、

f ( α ) ≥ α。 ^{[ 1 ]}

証明: そうでない場合は、f ( γ ) < γとなるような最小のγを選択します。f は厳密に単調増加なので、 f ( f ( γ ) ) < f ( γ )となり、γの最小性に矛盾します。

さらに、任意の空でない順序数の集合Sに対して、

f (sup S ) = sup f ( S )。

証明：「≥」はfの単調性と上限の定義から導かれる。「≤」については、次の3つの場合を考える。

• sup S = 0の場合、S = {0}であり、sup f ( S ) = f (0) = f (sup S )となります。
• sup S = ν + 1が後継者である場合、 sup SはSに含まれるので、f (sup S )はf ( S )に含まれる、つまりf (sup S ) ≤ sup f ( S )である。
• sup S がゼロでない極限である場合、任意のν < sup Sに対して、 ν < sとなるようなsがS内に存在し、すなわちf ( ν ) < f ( s ) ≤ sup f ( S ) となり、f (sup S ) = sup { f (ν) : ν < sup S } ≤ sup f ( S )が得られる。 

すべての正規関数f は、任意の大きさの不動点を持ちます。証明については、正規関数の不動点補題を参照してください。f の導関数と呼ばれる正規関数 f ′ : Ord → Ord を作成することができ、f ′ ( α )は fのα番目の不動点になります。[ 2 ^{]正規関数}の階層については、ヴェブレン関数を参照してください。