クアンテール

数学において、クォンタールは、ロケール（点のない位相）や環論および関数解析のさまざまな乗法格子（ C * -代数、フォン・ノイマン代数）を一般化した、ある種の半順序代数構造である。^{[ 1 ]}クォンタールは、完全残余半群と呼ばれることもある。

クォンタールは完全格子である${\displaystyle Q}$結合法則 を満たす二項演算${\displaystyle \ast \colon Q\times Q\to Q}$乗法と呼ばれるもので、分配法則を満たし、

${\displaystyle x*\left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}(x*y_{i})}$

そして

${\displaystyle \left(\bigvee _{i\in I}{y_{i}}\right)*{x}=\bigvee _{i\in I}(y_{i}*x)}$

すべての人々のために${\displaystyle x,y_{i}\in Q}$そして${\displaystyle i\in I}$（ここ${\displaystyle I}$は任意の添え字集合である）。クォンタールは単位元を持つ場合、単位元を持つという。${\displaystyle e}$その乗算のために：

${\displaystyle x*e=x=e*x}$

すべての人々のために${\displaystyle x\in Q}$この場合、クォンタールは乗法に関して自然にモノイドとなる。${\displaystyle \ast }$。

単位的クォンタールは、完全結合半束の圏Supにおけるモノイドとして同等に定義できる。

単位元を持つクォンタールとは、結合と乗算に関して冪等な半環のことである。

単位元が基礎となる格子の最上位要素である単位的量子は、厳密に両側性（または単に整数）であると言われます。

可換クォンタールとは、乗法が可換であるクォンタールのことである。乗法が交わり演算で与えられるフレームは、厳密に両側可換なクォンタールの典型的な例である。もう一つの簡単な例は、通常の乗法を持つ単位区間である。

冪等クォンタールとは、乗算が冪等となるクォンタールのことである。フレームは、厳密に両側の冪等クォンタールと同じである。

対合的クォンタールとは、対合を持つクォンタールである。

$\displaystyle (xy)^{\circ }=y^{\circ }x^{\circ }}$

結合を保持するもの：

$\displaystyle {\biggl (}\bigvee _{i\in I}{x_{i}}{\biggr )}^{\circ }=\bigvee _{i\in I}(x_{i}^{\circ }).}$

量子準同型写像は写像である${\displaystyle f\colon Q_{1}\to Q_{2}}$すべての結合と乗算を保持する${\displaystyle x,y,x_{i}\in Q_{1}}$そして${\displaystyle i\in I}$:

${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y),}$

${\displaystyle f\left(\bigvee _{i\in I}{x_{i}}\right)=\bigvee _{i\in I}f(x_{i}).}$

• 関係代数

• CJ Mulvey (2001) [1994]、「クォンターレ」、数学百科事典、EMS PressWayback Machineに2020年7月27日にアーカイブされました
• J. Paseka、J. Rosicky、「Quantales」、B. Coecke、D. Moore、A. Wilce編、「Current Research in Operational Quantum Logic: Algebras, Categories and Languages」、Fund. Theories Phys.、vol. 111、Kluwer Academic Publishers、2000年、pp.  245–262。
• M. Piazza、M. Castellan、「クォンタレスと構造規則」、Journal of Logic and Computation、6（1996）、709–724。
• K. Rosenthal、『クォンタールとその応用』、ピットマン数学研究ノートシリーズ234、ロングマン・サイエンティフィック＆テクニカル、1990年。