最終的なトポロジー

一般位相幾何学や関連する数学の分野において、位相空間からへの関数の族に関する集合上の最終的な位相^[1]（または共誘導位相、^[2] 弱位相、余極限位相、または帰納的位相^[3]）は、これらすべての関数が連続になる 上の最も細かい位相である。 ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

商空間上の商位相は、単一の全射関数、すなわち商写像に関する最終位相である。非結合和位相は、包含写像に関する最終位相である。 最終位相は、位相空間のカテゴリのすべての直接極限に備わっている位相でもあり、最終位相が頻繁に現れるのは直接極限のコンテキスト内である。 位相が何らかの部分空間の集合と整合するのは、それが自然な包含によって誘導される最終位相である場合に限る。

双対概念は初期位相であり、これは集合から位相空間への関数の与えられた族に対して、それらの関数を連続にする 上の最も粗い位相です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

集合と、それに関連する関数を持つ 位相空間の -添字族が与えられたとき、関数族によって誘導される上の 最終的な位相は、上 の最も細かい位相であり、${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$$${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$ ${\displaystyle \tau_{\mathcal{F}}}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$$

それぞれに対して連続です。 ${\displaystyle i\in I}$

最終的なトポロジは、明示的には次のように記述できます。

のサブセットが最終位相（つまり、）で開いているのは、各 に対してが開いている場合のみです。${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$${\displaystyle U\in \tau _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle f_{i}^{-1}(U)}$${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$${\displaystyle i\in I}$

閉じた部分集合も同様の特徴を持ちます。

のサブセットが最終位相で閉じている場合、かつ各 に対してが閉じている場合に限ります。${\displaystyle C}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$${\displaystyle f_{i}^{-1}(C)}$${\displaystyle \left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)}$${\displaystyle i\in I}$

上の最終位相を誘導する関数族は、通常、関数の集合である。しかし、が関数の適切なクラスである場合にも同じ構成を行うことができ、結果はツェルメロ-フランケル集合論で依然として明確に定義されている。その場合、によって誘導されるおよび によって誘導される上の最終位相が一致するような、集合を持つのサブファミリーが常に存在する。これについての詳細は、例えばここでの議論を参照のこと。^{[4]一例として、}コンパクト生成空間 の概念のよく使われる変形は、関数の適切なクラスに関する最終位相として定義される。^[5]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

写像の族が単一の射影写像からなる重要な特殊なケースは、商写像の概念を使用して完全に特徴付けることができます。位相空間間の射影関数が商写像であるためには、 上の位相が族によって誘導される最終位相と一致する必要があります。特に、商位相は、商写像によって誘導される商空間上の最終位相です。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f:(Y,\upsilon )\to \left(X,\tau \right)}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau_{\mathcal{F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f\}}$

値マップの族によって誘導される集合上の最終的な位相は、商位相の広範囲にわたる一般化として見ることができ、1 つのマップだけでなく複数のマップが使用される可能性があり、これらのマップが全射である必要はありません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

位相空間が与えられた場合、分離和上の分離和位相は、自然注入によって誘導される分離和上の最終的な位相です。 ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \coprod _{i}X_{i}}$

固定された集合上の位相の族が与えられたとき、上の範囲としての恒等写像に関する上の最終的な位相は、上の位相の格子におけるこれらの位相の最小値（または交わり）と呼ばれる。つまり、最終的な位相は、の交差点に等しい。${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {id} _{\tau _{i}}:\left(X,\tau _{i}\right)\to X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \left(\tau _{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \tau}$ ${\textstyle \tau =\bigcap _{i\in I}\tau _{i}.}$

位相空間と、それぞれが部分空間位相 を持つ部分集合の族が与えられた場合、の への包含写像すべてによって誘導される最終的な位相は、 上の元の位相よりも細かくなります(または等しくなります)。 最終的な位相が元の位相と一致する場合、 空間は部分空間の族と整合していると呼ばれます 。その場合、各 に対して交差が で開いているときとまったく同じときに、部分集合は で開いています (この概念の詳細とその他の例については、整合位相の記事を参照してください)。特殊なケースとして、コンパクト生成空間の概念の 1 つは、特定の整合位相として特徴付けることができます。 ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{C_{i}:i\in I\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau_{\mathcal{C}}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \tau_{\mathcal{C}}}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U\cap C_{i}}$${\displaystyle C_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

空間と連続写像の任意の直接的なシステムの直接的な極限は、標準射によって決定される最終位相を伴う集合論的な直接的な極限です。明示的には、 が位相空間のカテゴリTop内の直接的なシステムであり、 がすべての集合のカテゴリSet内のの直接的な極限である場合、によって誘導される最終位相を に付与することにより、カテゴリTop内のの直接的な極限になります。 ${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}=\left(Y_{i},f_{ji},I\right)}$${\displaystyle \left(X,\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\},}$ ${\displaystyle \left(\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right),\left(f_{i}\right)_{i\in I}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Sys} _{Y}}$

層の エタール空間は最終位相によって位相化されます。

第一可算 ハウスドルフ空間 が局所的にパス連結であるとは、連続写像全体の集合によって誘導される最終位相に等しい場合のみであり、そのような写像はパスと呼ばれる。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle C\left([0,1];X\right)}$${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau ),}$${\displaystyle (X,\tau ).}$

ハウスドルフ局所 凸位相ベクトル空間が フレシェ-ウリゾーン空間である場合、は、定義により位相埋め込みでもある連続パスであるすべての弧の集合によって誘導される上の最終位相に等しくなります。 ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Arc} \left([0,1];X\right)}$${\displaystyle (X,\tau ),}$ ${\displaystyle [0,1]\to (X,\tau )}$

位相空間から集合への関数が与えられた場合、これらの関数に関する 上の最終的な位相は次の性質を満たします。 ${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}}$

からある空間への関数が連続であるのは、それぞれに対して連続である場合に限ります。${\displaystyle g}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle g\circ f_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

この性質は、 上の位相がすべての空間とすべての関数に対して上記の性質を満たす場合、 上の位相はに対する最終位相であるという意味において最終位相を特徴付ける。${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle g:X\to Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}.}$

が写像の族であり、任意の に対して上の位相はに値を持つ写像の族によって誘導される最終的な位相であるとする。このとき によって誘導される 上の最終的な位相は写像によって誘導される上の最終的な位相に等しい。${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:Y_{i}\to X\mid i\in I\right\}}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle \upsilon _{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}_{i}}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left\{f_{i}\circ g~:~i\in I{\text{ and }}g\in {\cal {G_{i}}}\right\}.}$

結果として、 が族によって誘導される 上の最終位相であり、 が位相空間に値を持つ任意の射影写像である場合、 は商写像である。${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle \pi :X\to (S,\sigma )}$${\displaystyle (S,\sigma ),}$${\displaystyle \pi :\left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)\to (S,\sigma )}$${\displaystyle (S,\sigma )}$${\displaystyle \left\{\pi \circ f_{i}~:~i\in I\right\}.}$

分離和位相の普遍的性質により、連続写像の族が与えられた場合 、自然注入と互換性のある唯一の連続写像が存在すること が分かる。写像の族がを覆う（つまり、それぞれが何らかの の像にある）場合、写像が商写像となるのは、写像によって誘導される最終位相が である場合のみである。${\displaystyle f_{i}:Y_{i}\to X,}$$${\displaystyle f:\coprod _{i}Y_{i}\to X}$$${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}.}$

全体を通して、 が値マップの族であり、各マップが の形式である場合、が によって誘導される上の最終トポロジを表すものとします。 最終トポロジの定義により、すべてのインデックスに対してマップが連続することが保証されます。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{f_{i}:i\in I\right\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to X}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$

任意の部分集合に対して、上の最終的な位相は位相よりも細かくなり（おそらく等しい）、つまり が の真部分集合であっても集合の等式が成り立つ可能性があることを意味する。${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}},}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}},}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

が 上の任意の位相で、かつ任意の添え字に対して連続である場合、 はよりも厳密に粗くなければなりません（つまり であり、これは と書きます）。さらに、任意の部分集合に対して、の位相は上でを誘導する最終位相よりも厳密に粗くなります（ のため）。つまり、${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle f_{i}:\left(Y_{i},\upsilon _{i}\right)\to (X,\tau )}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \tau \neq \tau _{\mathcal {F}};}$${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau _{\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}\subseteq \tau _{\mathcal {S}}}$${\displaystyle \tau \subsetneq \tau _{\mathcal {S}}.}$

さらに、 は、定義域が位相空間である- 値マップの - インデックス付き族であるとします。 が連続している 場合、これらのマップを族に加えても、上の最終的な位相は変更されません。つまり、 明示的には、これは、「拡張族」によって誘導される上の最終的な位相が、元の族によって誘導される最終的な位相に等しいことを意味します。 ただし、が連続していないような マップが 1 つでも存在すると、「拡張族」によって誘導される 上の最終的な位相は、によって誘導される最終的な位相よりも厳密に粗くなります。つまり、 です(説明については、 この脚注^{[注 1]を参照してください)。}${\displaystyle {\mathcal {G}}:=\left\{g_{a}:a\in A\right\}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle g_{a}:Z_{a}\to X}$${\displaystyle \left(Z_{a},\zeta _{a}\right).}$${\displaystyle g_{a}:\left(Z_{a},\zeta _{a}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}=\tau _{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\left\{f_{i}:i\in I\right\}.}$${\displaystyle g_{a_{0}}}$${\displaystyle g_{a_{0}}:\left(Z_{a_{0}},\zeta _{a_{0}}\right)\to \left(X,\tau _{\mathcal {F}}\right)}$${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \tau _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}};}$${\displaystyle \tau _{{\mathcal {F}}\cup {\mathcal {G}}}\subsetneq \tau _{\mathcal {F}}}$

有限数列の空間をで 表し、 はすべての実数列の空間を表します。すべての自然数に対して、 はユークリッド位相を備えた通常のユークリッド空間を表し、は によって定義される包含写像を表すとします。その像はとなり 、したがって、 $${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }~:=~\left\{\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }~:~{\text{ all but finitely many }}x_{i}{\text{ are equal to }}0\right\},}$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)}$$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)=\left\{\left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,\ldots \right)~:~x_{1},\ldots ,x_{n}\in \mathbb {R} \right\}=\mathbb {R} ^{n}\times \left\{(0,0,\ldots )\right\}}$$$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$$

集合 に、すべての包含写像の族 によって誘導される最終位相を付与します。この位相により、はフレシェ・ウリゾーン空間ではない完全なハウスドルフ局所凸シーケンシャル位相ベクトル空間になります。この位相は、によってに誘導される部分空間位相よりも厳密に細かく、 には通常の積位相が付与されます。像 に、全単射によって に誘導される最終位相を付与します。つまり、 から を介して に移されたユークリッド位相が付与されます。 上のこの位相は、によってに誘導される部分空間位相に等しいです。 部分集合が で開（または閉）であるための必要十分条件は、任意の に対して集合 がの開（または閉）部分集合である場合です。 位相は部分空間 の族 と整合しています。 これによりはLB 空間になります。したがって、と がの列である場合、が に存在する必要十分条件は、 と の両方がとに含まれるようなが存在する場合です。${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\left\{\;\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$ ${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} },}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$ ${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{n}\to \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right);}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}.}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right).}$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle S\cap \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$${\displaystyle \tau ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {S} :=\left\{\;\operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)~:~n\in \mathbb {N} \;\right\}.}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$${\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right)}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle v}$${\displaystyle v_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle v_{\bullet }\to v}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right).}$

多くの場合、すべての包含マップは、そのイメージを明示的に識別するために使用されます。要素と は一緒に識別されます。この識別の下では、すべてのマップが、末尾にゼロがある、によって定義される包含マップである直接システムの直接の制限になります。 ${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {Im} \left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty };}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n},0,0,0,\ldots \right)}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{\infty },\tau ^{\infty }\right),\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{n\in \mathbb {N} }\right)}$${\displaystyle \left(\left(\mathbb {R} ^{n}\right)_{n\in \mathbb {N} },\left(\operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\right)_{m\leq n{\text{ in }}\mathbb {N} },\mathbb {N} \right),}$${\displaystyle m\leq n,}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \operatorname {In} _{\mathbb {R} ^{m}}^{\mathbb {R} ^{n}}\left(x_{1},\ldots ,x_{m}\right):=\left(x_{1},\ldots ,x_{m},0,\ldots ,0\right),}$${\displaystyle n-m}$

圏論の言語では、最終的な位相構成は次のように記述できます。を離散圏から位相空間Topの圏への関数とし、 の空間を選択します。をTopから関数圏Top ^Jへの対角関数とします(この関数は各空間をへの定数関数に送ります)。コンマ圏は からの余錐の圏、つまり内のオブジェクトはへの連続写像の族であるペアです。 がTopからSetへの忘却関数で、 Δ′ がSetからSet ^Jへの対角関数である場合、コンマ圏はからのすべての余錐の圏です。最終的な位相構成はからへの関数として記述できます。この関数は、対応する忘却関数の 左随伴です。${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle i\in J.}$${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta )}$${\displaystyle (X,f)}$${\displaystyle f=(f_{i}:Y_{i}\to X)_{i\in J}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$${\displaystyle UY.}$${\displaystyle \left(UY\,\downarrow \,\Delta ^{\prime }\right)}$${\displaystyle (Y\,\downarrow \,\Delta ).}$

• 直接極限 – 圏論における余極限の特殊なケース
• 誘導トポロジー – 継承トポロジーPages displaying short descriptions of redirect targets
• 初期トポロジー – 特定の関数を連続させる最も粗いトポロジー
• LBスペース
• LF空間 – 位相ベクトル空間

• ブラウン、ロナルド（2006年6月）。トポロジーと群体。ノースチャールストン：CreateSpace。ISBN 1-4196-2722-8。
• ウィラード、スティーブン (1970)。一般位相幾何学。アディソン・ウェズレー数学シリーズ。マサチューセッツ州レディング:アディソン・ウェズレー。ISBN 9780201087079.ZBL0205.26601  。​（セクション9と演習9Hで短い概要を説明します）
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般位相幾何学。ミネオラ、ニューヨーク：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.