コルモゴロフ空間

位相幾何学や数学の関連分野において、位相空間 XがT ₀空間またはコルモゴロフ空間（アンドレイ・コルモゴロフにちなんで命名）であるとは、 Xの異なる点のすべてのペアに対して、少なくとも一方に他方を含まない近傍が存在することである。 ^[1] T _{0空間では、すべての点は}位相的に区別可能である。

この条件はT ₀条件と呼ばれ、分離公理の中で最も弱いものである。数学で通常研究されるほぼすべての位相空間は T ₀空間である。特に、すべてのT ₁空間、すなわち、異なる点のすべてのペアに対して、それぞれが他方を含まない近傍を持つすべての空間は T ₀空間である。これには、すべてのT ₂（またはハウスドルフ）空間、すなわち、異なる点が互いに交わらない近傍を持つすべての位相空間が含まれる。別の見方をすれば、すべての（T ₁ではない）ソバー空間はT _{0であり、これには任意の}スキームの基になる位相空間が含まれる。任意の位相空間が与えられれば、位相的に区別できない点を識別することによって T ₀空間を構築することができる。

_{T 1}空間ではないT _{0空間は、まさに、}特殊化の事前順序が非自明な半順序である空間です。このような空間は、コンピュータ サイエンス、特に表示的意味論の分野で自然に発生します。

T ₀空間は、異なる点のペアが位相的に区別可能な位相空間です。つまり、任意の 2 つの異なる点xとyに対して、これらの点の一方を含み、もう一方を含まない開集合が存在します。より正確には、位相空間Xがコルモゴロフであるか、または次の場合にのみ、次のようになります。^[1]${\displaystyle \mathbf {T} _{0}}$

かつの場合、またはとなる開集合Oが存在します。${\displaystyle a,b\in X}$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle (a\in O)\wedge (b\notin O)}$${\displaystyle (a\notin O)\wedge (b\in O)}$

位相的に区別できる点は自動的に区別できることに注意する。一方、単集合{ x } と { y }が分離されている場合、点xとy は位相的に区別可能でなければならない。つまり、

分離された⇒位相的に区別可能⇒異なる

位相的に区別可能であるという特性は、一般に、別個であることよりは強いが、分離されていることよりは弱い。T _{0空間では、上記の 2 番目の矢印も逆になり、点は区別可能である}場合にのみ別個である。これが、T _{0公理が他の}分離公理と一致する仕組みである。

数学で通常研究されるほぼすべての位相空間は T ₀です。特に、すべてのハウスドルフ (T ₂ ) 空間、T ₁空間、およびsober 空間は T ₀です。

• 複数の要素を持ち、自明な位相を持つ集合。区別できる点は存在しません。
• 集合R ^{2において、開集合は}R内の開集合とR自身の直積、すなわち、Rと通常の位相、およびRと自明な位相の積位相である。点 ( a、b ) と点 ( a、c ) は区別できない。
• 実数直線Rから複素平面Cへの、ルベーグ積分となるすべての測定可能な関数 fの空間。ほぼすべての点で等しい 2 つの関数は区別できません。以下も参照してください。 ${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{\frac {1}{2}}}}$

• Spec( R ) 上のザリスキ位相、すなわち可換環Rの素スペクトルは常に T ₀ですが、一般には T ₁ではありません。閉じていない点は、最大ではない素イデアルに対応します。これらはスキームを理解する上で重要です。
• 少なくとも 2 つの要素を持つ任意の集合上の特殊点位相は T 0 ですが、_特殊点は閉じられていない (その閉包は空間全体である) ため、 T ₁ではありません。重要な特殊なケースは、集合 {0,1} 上の特殊点位相であるシェルピンスキー空間です。
• 少なくとも 2 つの要素を持つ任意の集合上の排除点トポロジーはT ₀ですが、 T ₁ではありません。唯一の閉じた点は排除点です。
• 半順序集合上のアレクサンドロフ位相はT ₀ですが、順序が離散的 (等式に一致) でない限りT ₁にはなりません。すべての有限 T ₀空間はこのタイプです。これには、特殊なケースとして、特異点位相と排他点位相も含まれます。
• 全順序集合上の右順序トポロジーは関連する例です。
• 重なり合う区間トポロジーは、空でないすべての開集合に 0 が含まれるため、特定の点のトポロジーに似ています。
• 一般的に、位相空間Xが T ₀となるのは、X上の特殊化順序が半順序である場合に限ります。ただし、順序が離散的 (つまり、等式に一致する) である場合に限り、 X はT ₁となります。したがって、空間が T ₀であって T _{1ではないのは、} X上の特殊化順序が非離散半順序である場合に限ります。

一般的に研究される位相空間はすべて T ₀です。実際、多くの分野、特に解析学の数学者が自然に非 T ₀空間に遭遇した場合、通常は以下に説明する方法でそれらを T _{0空間に置き換えます。この考え方を理解するために、よく知られた例を考えてみましょう。空間}L ² ( R )は、実数直線Rから複素平面Cへのすべての測定可能な関数 fの空間であり、実数直線全体にわたる| f ( x )| ^2のルベーグ積分は有限です。この空間は、ノルム || f || をその積分の平方根と定義することにより、ノルム付きベクトル空間になるはずです。問題は、ゼロ関数以外にも(セミ) ノルムがゼロである関数があるため、これは実際にはノルムではなく、セミノルムでしかないことです。標準的な解決策は、関数の集合を直接定義するのではなく、関数の同値類の集合としてL ² ( R ) を定義することです。これは元の半ノルムベクトル空間の商空間を構築し、この商はノルムベクトル空間です。これは半ノルム空間からいくつかの便利な特性を継承します。以下を参照してください。

一般に、集合X上の固定された位相Tを扱う場合、その位相が T ₀であれば便利です。一方、Xは固定されているがTは特定の境界内で変化することが許可されている場合、 T をT ₀に強制することは不便な場合があります。これは、 T _{0以外の位相が重要な特殊なケースであることが多いためです。したがって、位相空間に配置できるさまざまな条件の T 0}バージョンと非 T ₀バージョンの両方を理解することが重要になる場合があります。

点の位相的区別不能性は同値関係である。位相空間X がどのようなものであっても、この同値関係による商空間は常に T _{0である。この商空間は}Xのコルモゴロフ商と呼ばれ、KQ( X )と表記する。もちろん、X が最初からT _{0であれば、 KQ(} X ) とXは自然に同相である。圏論的には、コルモゴロフ空間は位相空間の反射サブカテゴリであり、コルモゴロフ商はその反射子である。

位相空間XとY は、それらのコルモゴロフ商が同相であるときコルモゴロフ同値である。位相空間の多くの特性はこの同値性によって保存される。すなわち、 XとYがコルモゴロフ同値であるとき、X がそのような特性を持つのは、 Y がそのような特性を持つ場合のみである。一方、位相空間のその他の特性のほとんどはT _0性を意味する。すなわち、X がそのような特性を持つとき、X はT ₀でなければならない。非離散空間であることなど、いくつかの特性だけがこの経験則の例外である。さらに良いことに、位相空間上で定義された多くの構造は、 Xと KQ( X )の間で転送できる。その結果、特定の構造または特性を持つ非 T ₀位相空間がある場合、通常はコルモゴロフ商を取ることによって同じ構造と特性を持つ T ₀空間を形成できる。

^{L 2} ( R )の例はこれらの特徴を示しています。位相の観点から見ると、最初に使用した半ノルムベクトル空間には多くの追加構造があります。たとえば、これはベクトル空間であり、半ノルムを持ち、これらは位相と互換性のある擬距離構造と一様構造を定義します。また、これらの構造にはいくつかの特性があります。たとえば、半ノルムは平行四辺形の恒等式を満たし、一様構造は完全です。ほとんどどこでも等しい L ² ( R )内の任意の 2 つの関数は、この位相と区別できないため、空間は T _{0ではありません。コルモゴロフ商、つまり実際の L} ² ( R ) を形成すると、これらの構造と特性が保持されます。したがって、 L ² ( R ) も平行四辺形の恒等式を満たす完全な半ノルムベクトル空間です。しかし、実際には空間が T ₀になったため、もう少しだけ得られます。半ノルムがノルムとなるのは、基礎となる位相が T ₀である場合に限ります。したがって、 L ² ( R ) は、実際には平行四辺形の単位元を満たす完全なノルム付きベクトル空間、つまりヒルベルト空間です。これは、数学者 (および量子力学の物理学者) が一般に研究したいヒルベルト空間です。表記 L ² ( R ) は通常、表記が示唆するような単なる二乗可積分関数のベクトル空間ではなく、測度ゼロの集合に関して異なる二乗可積分関数の同値類の集合であるコルモゴロフ商を表すことに注意してください。

歴史的にはノルムが最初に定義されましたが、人々はセミノルムの定義も思いつきました。これは、ノルムの一種の非 T _{0バージョンです。一般に、位相空間の特性と構造の両方の非 T 0バージョンを定義することができます。まず、}ハウスドルフであるなどの位相空間の特性を考えてみましょう。次に、コルモゴロフ商 KQ( X ) がハウスドルフである場合にのみ、特性を満たす空間X を定義することによって、位相空間の別の特性を定義できます。これは、あまり有名ではないものの、理にかなった特性です。この場合、このような空間X はプレレギュラーと呼ばれます。(プレレギュラー性のより直接的な定義もあることが判明しています)。次に、メトリックなどの位相空間に配置できる構造を考えてみましょう。X 上の構造の例を単に KQ( X )上のメトリックにすることで、位相空間上の新しい構造を定義できます。これはX上の理にかなった構造であり、擬メトリックです。 (ここでも、擬似距離にはより直接的な定義があります。)

このように、特性または構造の要件からT ₀性を取り除く自然な方法があります。一般的に、 T _{0の空間を研究する方が簡単ですが、より完全な画像を取得するには、 T 0}ではない構造を許可する方が簡単な場合もあります。 T ₀要件は、コルモゴロフ商の概念を使用して任意に追加または削除できます。

• 落ち着いた空間

• Lynn Arthur Steen および J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology . Springer-Verlag, New York, 1978. Dover Publications, New York, 1995 により再版。ISBN 0-486-68735 -X (Dover 版)。