フィルター（集合論）

数学において、集合上のフィルタとは次のような部分集合の族である: ^[1]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}}$そして${\displaystyle \emptyset \notin {\mathcal {B}}}$
2. かつならば、${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {B}}}$
3. かつならば、${\displaystyle A\subset B\subset X}$${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$

集合上のフィルタは「大きな部分集合の集合」を表すものと考えられる。 ^[2]直感的な例としては近傍フィルタがある。フィルタは順序理論、モデル理論、集合論に現れるが、起源である位相幾何学にも見られる。フィルタの双対概念はイデアルである。

フィルタは1937年にアンリ・カルタンによって導入され^{[3] [4]}、位相幾何学におけるフィルタに関する論文で説明されているように、ニコラ・ブルバキはその後、その著書「トポロジーの一般論」の中で、 EHムーアとハーマン・L・スミスが1922年に開発したネットという関連概念の代替として使用しました。順序フィルタは、集合から任意の半順序集合へのフィルタの一般化です。具体的には、集合上のフィルタは、半順序集合が集合包含によって順序付けられた冪集合で構成される特殊なケースでは、適切な順序フィルタです。

この記事では、やなどの大文字のローマ字は集合（特に断りのない限り族ではない）を表し、は の冪集合を表す。冪集合の部分集合は集合族（または単に族）と呼ばれ、 が の部分集合である場合にを超える。集合族は などの大文字のカリグラフィ文字で表す。これらの仮定が必要なときはいつでも、 は空でなく、などが を超える集合族である と仮定する必要がある。${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X).}$${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {F}},}$${\displaystyle X.}$

「プレフィルター」と「フィルター ベース」という用語は同義語であり、同じ意味で使用されます。

競合する定義と表記に関する警告

残念ながら、フィルター理論には、著者によって定義が異なる用語がいくつかあります。これには、「フィルター」などの最も重要な用語が含まれます。フィルター (および点集合トポロジー) の非常に技術的な性質により、同じ用語の異なる定義は通常かなり重複しますが、それでもこれらの定義の違いは重要な結果をもたらすことがよくあります。数学の文献を読むときは、フィルターに関連する用語が著者によってどのように定義されているかを確認することをお勧めします。このため、この記事では、使用されているすべての定義を明確に示します。残念ながら、フィルターに関連する表記法はすべて確立されているわけではなく、一部の表記法は文献間で大きく異なります (たとえば、集合のすべてのプレフィルターの集合の表記法)。そのため、そのような場合、この記事では最も自己説明的または覚えやすい表記法を使用します。

フィルターとプレフィルターの理論は十分に開発されており、多数の定義と表記法があります。この記事が冗長になるのを防ぎ、表記法と定義を簡単に調べられるように、その多くが簡素にリストされています。それらの重要な特性については後で説明します。

セット操作

の集合族の^[5][6]における上方閉包または等音化は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}:=\{S\subseteq X~:~B\subseteq S{\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\{S~:~B\subseteq S\subseteq X\}}$

同様に下向きの閉包は${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\downarrow }:=\{S\subseteq B~:~B\in {\mathcal {B}}\,\}=\bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}\wp (B).}$

全体を通して、地図とセットになっています。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle S}$

網とその尾

有向集合は、前置順序 を伴う集合であり、前置順序は（明示的に別途示されない限り）で表され、 （上向き）有向集合となる。^[15]これは、すべての に対してとなるようなものが存在することを意味する。任意の添え字に対して、表記はを意味すると定義され、 はが成り立つことを意味すると定義されるが、 は真ではない（ が反対称である場合、これは と同等である）。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle (I,\leq )}$${\displaystyle i,j\in I,}$${\displaystyle k\in I}$${\displaystyle i\leq k{\text{ and }}j\leq k.}$${\displaystyle i{\text{ and }}j,}$${\displaystyle j\geq i}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle i<j}$${\displaystyle i\leq j}$${\displaystyle j\leq i}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle i\leq j{\text{ and }}i\neq j}$

^[15]のネットは${\displaystyle X}$、空でない有向集合からへの写像である。 この表記法は、ドメインを持つネットを表すために使用される。${\displaystyle X.}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle I.}$

厳密な比較の使用に関する警告

がネットであり、の後の末尾と呼ばれる集合が空になる可能性がある（例えば、 が有向集合の上限である場合にこれが起こる）。この場合、族は空集合を含むことになり、プレフィルタ（後で定義）になることができなくなる。これが、 をやではなくとして定義する（重要な）理由であり、この理由から、一般に、ネットの末尾のプレフィルタを扱う場合、厳密な不等式は不等式と互換的に使用できない可能性がある。${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle x_{>i}=\left\{x_{j}~:~j>i{\text{ and }}j\in I\right\},}$${\displaystyle x_{\bullet }}$ ${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}}$${\displaystyle \left\{x_{>i}~:~i\in I\right\}\cup \left\{x_{\geq i}~:~i\in I\right\}}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,\leq .}$

以下は、集合の族が持つ可能性のある特性のリストであり、これらはフィルタ、プレフィルタ、フィルタサブベースの定義特性を形成します。必要な場合は、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$

集合族は次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. 適切または非退化の場合、そうでない場合不適切^[17]または退化と呼ばれます。${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}},}$
2. 下向き^[15]ならば、${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\subseteq A\cap B.}$
   • この特性は、有向性という観点から特徴付けることができ、これは「有向」という言葉の意味を説明しています。上の二項関係 が（上向きに）有向であるとは、任意の 2 つに対してを満たす が存在する場合です。の代わりに を使用すると、下向きの定義が得られ、代わりにを使用すると、上向きの定義が得られます。 明示的に、が下向き（または上向き）であるためには、すべてに対してとなる「より大きい」要素が存在する場合、かつその場合に限ります（または となる）。ここで、「より大きい」要素は常に右側にあり、^{[注 1]}となり、これは（または となる）と書き直すことができます。${\displaystyle \,\preceq \,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A{\text{ and }}B,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A\preceq C{\text{ and }}B\preceq C.}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle \,\preceq \,}$${\displaystyle \,\subseteq \,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A\supseteq C{\text{ and }}B\supseteq C}$${\displaystyle A\subseteq C{\text{ and }}B\subseteq C}$${\displaystyle A\cap B\supseteq C}$${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$
   • ある族がに関して最大​​元を持つ場合（たとえば、 の場合）、その族は必然的に下向きになります。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}}$
3. の任意の2つの要素の交差（和が の要素である場合、有限交差（または${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • が有限交差で閉じている場合、 は必ず下向きになります。その逆は一般に偽です。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
4. ^[5]において上向きに閉じている、または等価であるのは、ある集合がを満たす同様に、下向きに閉じているのはある上集合またはアップ（または下集合またはダウン集合） とも呼ばれる${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B\subseteq C\subseteq X,{\text{ then }}C\in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {B}}^{\downarrow }.}$
   • の上方閉包である族は、を部分集合として持つ 上の集合の唯一かつ最小の（ に関して）同色族です。${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$${\displaystyle \,\subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

「適切な」や「下向きの」など、上と下に定義されているの多くの特性はに依存しないため、このような用語を使用する場合、セットについて言及することはオプションです。「フィルターオン」などの「上向きに閉じている」ことを含む定義は に依存するため、文脈から明らかでない場合はセットについて言及する必要があります。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

$${\displaystyle {\textrm {Filters}}(X)\quad =\quad {\textrm {DualIdeals}}(X)\,\setminus \,\{\wp (X)\}\quad \subseteq \quad {\textrm {Prefilters}}(X)\quad \subseteq \quad {\textrm {FilterSubbases}}(X).}$$

家族とは以下のようなものです: ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. が下向きに閉じており、有限和に対して閉じている場合、イデアル^[17][18]${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$
2. ^[19]上の双対イデアルは、が上向きに閉じており、有限交差でも閉じている場合に成立する。同様に、^[9]に対して双対イデアルである場合に成立する${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle R,S\subseteq X,}$ ${\displaystyle R\cap S\in {\mathcal {B}}\;{\text{ if and only if }}\;R,S\in {\mathcal {B}}.}$
   • 「二重」という言葉の説明：家族は、次の場合に限り、二重の理想（または理想）である。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$の双対は${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ in }}X,}$族がイデアル（または双対イデアル）である。言い換えれば、双対イデアルは「イデアルの双対」を意味する。族はと混同されるべきではない。なぜなら、これら2つの集合は一般には等しくないからである。例えば、双対の双対は元の族であり、集合がの双対に属するのは、次の場合のみである^[17]。$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}:=\{X\setminus B~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\subseteq X~:~S\notin {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}=\wp (X){\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}=\wp (X).}$${\displaystyle X\setminus (X\setminus {\mathcal {B}})={\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}.}$
3. 上のフィルタ^[19][7]が 上の真双対イデアルである場合、つまり、 上のフィルタはの空でない部分集合で、有限交差で閉じており、 で上向きに閉じているものです。同値に、それは で上向きに閉じているプレフィルタです。言い換える上のフィルタは、(1) が空でないこと（または同値に、 を含む）、(2) が有限交差で閉じていること、(3) が上向きに閉じていること、(4) が空集合を要素として持たないことなど、 上の集合の族です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)\setminus \{\varnothing \}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$
   • 警告: 一部の著者、特に代数学者は「フィルター」を双対イデアルの意味で使用し、他の著者、特に位相学者は「フィルター」を真/非退化双対イデアルの意味で使用します。^[20]数学文献を読むときは、常に「フィルター」がどのように定義されているかを確認することをお勧めします。ただし、「ウルトラフィルター」、「プレフィルター」、「フィルターサブベース」の定義では常に非退化が必要です。この記事では、アンリカルタンの「フィルター」の元の定義^{[3] [4]}を使用しますが、これは非退化を必要としました。
   • 上の双対フィルタは、その双対が上のフィルタであるファミリです。同様に、それはを要素として含まない上のイデアルです。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
   • 冪集合は、フィルタでもない唯一の双対イデアルです。位相幾何学における「フィルタ」の定義から除外することは、 「素数」の定義から除外することと同じ利点があります。つまり、多くの重要な結果で「非退化」（「非ユニタル」または「非」の類似物）を指定する必要がなくなり、その結果、記述がそれほどぎこちなくなります。${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$
4. プレフィルターまたはフィルタ基底^[7][21]、真で下向きの場合に上向き閉包がフィルタである場合、 はプレフィルタと呼ばれますある（ に関して）。^[8] 真族がプレフィルタである場合、かつその場合の^[8]族がプレフィルタである場合、かつその場合のみ成り立ちます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • がプレフィルタである場合、その上方閉包は を含む 上の唯一の最小の（ に対する）フィルタであり、によって生成されるフィルタと呼ばれます。フィルタはが のフィルタ基底と呼ばれる である場合、プレフィルタによって生成されると言われています。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {B}}^{\uparrow X},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • フィルターとは異なり、プレフィルターは有限交差の下で必ずしも閉じているわけではありません。
5. π系は有限交差の下で閉じている場合に成り立ちます。すべての空でない族は、によって生成される π系と呼ばれる一意の最小の π 系に含まれます。これは によって表されることもあります。これは、を含むπ系の交差に等しく、 からの集合のすべての可能な有限交差の集合にも。${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})=\left\{B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}~:~n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$
   • πシステムは、適切な場合にのみプレフィルターになります。すべてのフィルターは適切な π システムであり、すべての適切なπシステムはプレフィルターですが、その逆は一般には成り立ちません。
   • 前置フィルタは、それによって生成されるπ系と（に関して）等価であり、これら両方の族は、${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X.}$
6. フィルタサブベース^[7][22]と中心^[8]が以下の同等の条件のいずれかを満たす 場合${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は有限交差性を持ち、これは における任意の有限集合族（１つまたは複数）の交差が空ではないことを意味する。明示的には、次のようになる。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle n\geq 1{\text{ and }}B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing \neq B_{1}\cap \cdots \cap B_{n}.}$
   2. によって生成されるπシステムは適切である。つまり、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing \not \in \pi ({\mathcal {B}}).}$
   3. によって生成されるπシステムはプレフィルターです。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$いくつかのプレフィルターのサブセットです。
   5. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$何らかのフィルターのサブセットです。
   • がフィルタサブベースであると仮定します。すると、を含む唯一の最小の（ に対する）フィルタが存在し、これは と呼ばれます。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$フィルタは によって生成され ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$、このフィルタのフィルタ部分基底と呼ばれます。このフィルタは のスーパーセットである 上のすべてのフィルタの共通部分と等しくなります。 によって生成される πシステムはの前置フィルタと の部分集合になります。さらに、 によって生成されるフィルタはの上方閉包と等しく^[8]を意味しますただし、が前置フィルタである場合に限ります常に の上方閉フィルタ部分基底)。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}={\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {B}}}$
   • フィルタサブベースを含む最小の（ に対して最小という意味の）プレフィルタは、 特定 の状況下でのみ存在します。たとえば、フィルタサブベースがプレフィルタでもある場合などです。また、 によって生成されたフィルタ（または同等のπシステム）が主である場合にも存在します。この場合、 はを含む唯一の最小のプレフィルタです。それ以外の場合、一般にを含む 最小のプレフィルタは存在しない可能性があります。このため、 によって生成された π システムを と呼ぶ著者もいます。${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{\ker {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$によって生成されるプレフィルタ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$しかし、 最小のプレフィルタが存在する場合（ と表記するとします）、通常の予想に反して、それは必ずしも「 B {\displaystyle {\mathcal {B}}} によって生成されるプレフィルタ 」に等しいわけではありません（つまり、可能です）。また、フィルタサブベースもプレフィルタではあるがπシステムではない場合は、残念ながら「このプレフィルタによって生成されるプレフィルタ」（つまり）は等しくありません（つまり、場合でも可能です）。そのため、この記事では「によって生成されるπシステム」という正確で明確な用語を使用します。${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {minPre} {\mathcal {B}}\neq \pi ({\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {minPre} {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {B}})\neq {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
7. フィルターのサブフィルターであり、${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$^[17][23]のスーパーフィルタはフィルタであり、場合、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$
   • 重要なのは、「 〜のスーパーフィルタである」という表現は、フィルタの場合、「 〜のサブシーケンスである」の類似表現であるということです。したがって、「〜のサブフィルタである」は、接頭辞「サブ」が共通しているにもかかわらず、実際には「 〜のサブシーケンスである」の逆です。ただし、次のように書くこともできます。「 〜に従属している」と説明されます。この用語を使用すると、「〜に従属している」は、フィルタ（およびプレフィルタ）の場合、「 〜のサブシーケンスである」の類似表現になります^[24] 。この状況では、「従属」という用語と記号を使用すると便利です。${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \,\vdash \,}$

にはプレフィルタはありません( には値が設定されているネットもありません)。そのため、ほとんどの著者と同様に、この記事では、この仮定が必要になるたびに、コメントなしで自動的に と仮定します。 ${\displaystyle X=\varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle X\neq \varnothing }$

名前付き例

• シングルトン集合は非離散集合または${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$上の自明なフィルタ${\displaystyle X.}$^[25][10]上のすべてのフィルタの部分集合であるため、最小フィルタである。ただし、 上のすべてのプレフィルタの部分集合である必要はない。${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• 双対イデアルは^[9]の縮退フィルタとも呼ばれる（実際にはフィルタではないが）。これは、の双対イデアルの中でフィルタではない唯一のものである。${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$
• が位相空間であり、における近傍フィルタは上のフィルタである 定義により、がプレフィルタ（それぞれ はフィルタサブベース）であり、 が生成する 上のフィルタが 近傍フィルタに等しい場合のみ、 における族は における近傍基数（それぞれ近傍サブベース）と呼ばれる開近傍のサブファミリーは のフィルタ基数である両方のプレフィルタは上の位相の基数も形成し、生成される位相はよりも粗くなるこの例は、点の近傍から空でない部分集合の近傍に直ちに一般化される。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle x{\text{ for }}(X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$${\displaystyle \tau (x)\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x).}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x){\text{ and }}\tau (x)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \tau (x)}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle S\subseteq X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は基本プレフィルタ^[26]あるシーケンスに対して${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }{\text{ in }}X.}$
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は基本フィルタまたは^{[ 27}フィルタである場合、 は の連続フィルタです。最終的に定数ではないシーケンスによって生成されたテールのフィルタは、必ずしも超フィルタはありません^[28]可算集合上のすべての主フィルタは連続しており、可算無限集合上のすべてのコ有限フィルタも同様です。^[9]有限個の連続フィルタの交差も連続しています。^[9]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$
• の有限部分集合全体の集合（つまり、 の補集合が有限である集合）が真集合となるのは、が無限大（または同値で、が無限大）である場合のみであり、この場合、は のフィルタであり、フレシェフィルタまたは${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$上のコフィニティフィルタ^[10][25]なら、は双対イデアルに等しく、これはフィルタではない。 が無限なら、単集合の補集合族は、上のフレシェフィルタを生成するフィルタサブベースである。上の任意の集合族と同様に上のフレシェフィルタの核を含む は空集合である。${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \wp (X),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}=\varnothing .}$
• 空でない族のすべての要素の共通部分は、それ自体が のフィルタであり、の最小値または最大下限と呼ばれるため、と表記されることがあります。言い換えると、のすべてのフィルタはサブセットとしてを持つため、この共通部分は空になることはありません。定義により、最小値はの各要素のサブセットとして含まれる最も細かい/最大の（ に対する）フィルタです^[10]${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$${\displaystyle \bigwedge _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \ker \mathbb {F} =\bigcap _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}\in \operatorname {Filters} (X).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X\}}$${\displaystyle \,\subseteq \,{\text{ and }}\,\leq \,}$${\displaystyle \mathbb {F} .}$
  • がフィルタである場合、 におけるそれらの最小値はフィルタです^[8]がプレフィルタである場合、 は（ に関して）両方よりも粗いプレフィルタです（つまり、 ）。実際、 はそのようなプレフィルタの中で最も細かいものの1つであり、がプレフィルタである場合、が必ず となることを意味します^[8] より一般的には、が空でない族であり である場合、およびは（ に関して） の最大の元です^[8]${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \mathbb {S} :=\{{\mathcal {S}}\subseteq \wp (X)~:~{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {S}}\leq {\mathcal {F}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}\in \mathbb {S} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cup )\,{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \mathbb {S} .}$
• とし、とする。によって表される の上限 または最小の上限は、のすべての要素を部分集合として含むの最小の（ に対する）双対イデアルである。つまり、 を部分集合として含む の最小の（ に対する）双対イデアルである。この双対イデアルは、 によって生成されるπ系である 。任意の空でない集合族と同様に、 が 上の何らかのフィルタに含まれる場合、かつそれがフィルタ部分基底である場合に限る。または、 が上のフィルタである場合に限る。この場合、この族は のすべての要素を部分集合として含む の最小の（ に対する）フィルタであり、必然的に${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {DualIdeals} (X)}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {DualIdeals} (X),}$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}},}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X},}$${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right):=\left\{F_{1}\cap \cdots \cap F_{n}~:~n\in \mathbb {N} {\text{ and every }}F_{i}{\text{ belongs to some }}{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} \right\}}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X).}$
• およびとします。によって表される の上限 または最小の上限は、定義により のすべての元を部分集合として含む 上の最小の（ に対する）フィルタです。 それが存在する場合、必然的に^[10]（上で定義したように）および は、を含む上のすべてのフィルタの共通部分とも等しくなります。 この の上限が存在するのは、双対イデアルが 上のフィルタである場合に限ります。 フィルタの族の最小の上限は、フィルタにならない場合があります。^[10]実際、 に少なくとも 2 つの異なる元が含まれる場合、両方を含むフィルタが存在しないフィルタが存在します。 がフィルタの部分基底でない場合、 の上限は 存在せず、 におけるその上限についても同じことが言えますが、 上のすべての双対イデアルの集合におけるそれらの上限は存在します（それが退化したフィルタ です）。^[9]${\displaystyle \varnothing \neq \mathbb {F} \subseteq \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} =\bigcup _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X),}$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}=\pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$${\displaystyle \bigvee _{{\mathcal {F}}\in \mathbb {F} }{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} .}$${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \pi \left(\cup \mathbb {F} \right)^{\uparrow X}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \mathbb {F} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}{\text{ on }}X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$${\displaystyle \cup \mathbb {F} }$${\displaystyle \mathbb {F} {\text{ in }}\operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$
  • がプレフィルタ（それぞれ 上のフィルタ）である場合、がプレフィルタ（それぞれ フィルタ）であるのは、それが非退化である場合（または別の言い方をすれば、 がメッシュである場合に限ります）に限ります。その場合、 は（ に関して）最も粗いプレフィルタ（それぞれ最も粗いフィルタ）の 1 つであり、 （ に関して）両方よりも細かいです。これは、 が任意のプレフィルタ（それぞれ 任意のフィルタ）である場合に、 が必ず となることを意味します^{[8]この場合、 は[9]}で表されます。${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle \,\leq }$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}};}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {S}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\,(\cap )\,{\mathcal {F}}\leq {\mathcal {S}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\vee {\mathcal {F}}.}$
• を空でない集合とし、任意のに対してを上の双対イデアルとします。が上の任意の双対イデアルであれば、上の双対イデアルはコワルスキーの双対イデアルまたはコワルスキーのフィルタと呼ばれます。^[17]${\displaystyle I{\text{ and }}X}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle {\mathcal {D}}_{i}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \bigcup _{\Xi \in {\mathcal {I}}}\;\;\bigcap _{i\in \Xi }\;{\mathcal {D}}_{i}}$${\displaystyle X}$
• 正則非可算基数のクラブフィルターは、 のクラブ サブセットを含むすべての集合のフィルターです。これは、対角交差の下で閉じた -完全フィルターです。 ${\displaystyle \kappa .}$${\displaystyle \kappa }$

その他の例

• と を、有限交差の下で閉じていないプレフィルタとフィルタサブベースを作成するとします。 はプレフィルタであるため、 を含む最小のプレフィルタは によって生成される πシステムは特に、フィルタサブベースを含む最小のプレフィルタは内の集合のすべての有限交差の集合と等しくありません。によって生成される上のフィルタはπシステムの 3 つすべてが生成し、 は、点で主である固定、主、超プレフィルタの例です。 は 上の超フィルタでもあります。${\displaystyle X=\{p,1,2,3\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\},\{p,1,2\},\{p,1,3\}\},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \{\{p,1\}\}\cup {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}=\{S\subseteq X:p\in S\}=\{\{p\}\cup T~:~T\subseteq \{1,2,3\}\}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle p;{\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle X.}$
• を位相空間とし、を定義する。ここでは必ず^[29]より細かい。 が空でない（つまり、非退化、フィルタサブベース、プレフィルタ、有限和で閉じている）場合、 についても同じことが言える。 が上のフィルタである 場合、 はプレフィルタであるが、上のフィルタである必要はない。ただし、は上のフィルタであり、と同等である。${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}:=\left\{\operatorname {cl} _{X}B~:~B\in {\mathcal {B}}\right\},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \left({\overline {\mathcal {B}}}\right)^{\uparrow X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\overline {\mathcal {B}}}.}$
• (空でない)位相空間 の稠密な開部分集合全体の成す集合は、適切なπシステムであり、したがって前置フィルタでもある。空間 がベール空間である場合、稠密な開部分集合のすべての可算な共通集合の集合はπシステムであり、よりも細かい前置フィルタである。 の場合( ) 、有限ルベーグ測度を持つのすべての集合は、適切なπシステムであり、の適切な部分集合でもある自由な前置フィルタである。前置フィルタとは同値であり、したがって 上に同じフィルタを生成する。 前置フィルタはのすべての稠密な部分集合からなる前置フィルタに適切に含まれ、同値ではない。はベール空間である ため、 内の集合のすべての可算な共通集合は内で稠密である(また、同値かつ非希薄である) ため、 の元のすべての可算な共通集合の集合は前置フィルタかつπシステムである。これはまた、 よりも細かく、同値ではない。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle 1\leq n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {LebFinite} }.}$
• 最小のプレフィルタを含まないフィルタサブベース${\displaystyle \,\subseteq -}$: 一般に、フィルタサブベースがπシステムでない場合、からの集合の共通部分では、通常、2 つだけに減らすことができない変数を含む記述が必要になります(たとえば、のときを考えます)。この例は、フィルタサブベースの非典型的なクラスを示しており、このクラスでは、 とその生成されたπシステムの両方のすべての集合がの形式の集合として記述できるため、特に、生成されたπシステムを記述するのに必要な変数は 2 つ以下です (具体的には、 ) 。すべての に対して が常に 成り立つとします。したがって、仮定を追加しても一般性は失われません。 すべての実数に対してが非負である場合、 ^{[注 2]}正の実数の すべての集合に対して、 ^{[注 3]}と し、 が単独集合ではないとします。すると、はフィルタ サブベースですがプレフィルタではなく、 はそれが生成するπシステムなので、 はを含むの一意の最小のフィルタ になります。ただし、は 上のフィルタではありません(また、フィルタ サブベースではありますが、下向きではないためプレフィルタでもありません)。 はフィルタ の適切なサブセットです。が空でない区間である 場合、フィルタ サブベースはに同じフィルタを生成します。ただし 、 が^{[注 4]}を満たすプレフィルタである場合、任意の に対して、族もを満たすプレフィルタです。これは、 を含み、 によって生成されるπシステムのサブセットであるような、に関して最小のプレフィルタは存在しないことを示しています。これは、プレフィルタが のサブセットであるという要件が削除された場合でも当てはまります。つまり、(フィルタとは対照的に)フィルタ サブベースを含むに関して最小のプレフィルタは存在しません。${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \pi ({\mathcal {S}})}$${\displaystyle {\mathcal {S}}=\{(-\infty ,r)\cup (r,\infty )~:~r\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$${\displaystyle B_{r,s},}$${\displaystyle r{\text{ and }}s}$${\displaystyle r,s\in \mathbb {R} ,}$$${\displaystyle B_{r,s}=(r,0)\cup (s,\infty ),}$$${\displaystyle B_{r,s}=B_{\min(r,s),s}}$${\displaystyle r\leq s.}$${\displaystyle r\leq s{\text{ and }}u\leq v,}$${\displaystyle s{\text{ or }}v}$${\displaystyle B_{-r,s}\cap B_{-u,v}=B_{-\min(r,u),\max(s,v)}.}$${\displaystyle R}$ $${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}:=\left\{B_{-r,r}:r\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (r,\infty ):r\in R\}\quad {\text{ and }}\quad {\mathcal {B}}_{R}:=\left\{B_{-r,s}:r\leq s{\text{ with }}r,s\in R\right\}=\{(-r,0)\cup (s,\infty ):r\leq s{\text{ in }}R\}.}$$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle \varnothing \neq R\subseteq (0,\infty )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}=\pi \left({\mathcal {S}}_{R}\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}.}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}^{\uparrow X}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{R}^{\uparrow X}.}$${\displaystyle R,S\subseteq (0,\infty )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{R}{\text{ and }}{\mathcal {S}}_{S}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R=S.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}\setminus {\mathcal {S}}_{(0,\infty )},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\setminus \{C\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\subseteq {\mathcal {C}}\setminus \{C\}\subseteq {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}.}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{(0,\infty )}=\pi \left({\mathcal {S}}_{(0,\infty )}\right)}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle {\mathcal {S}}_{(0,\infty )}.}$

「ウルトラフィルター」と「ウルトラプレフィルター」には他にも多くの特徴があり、ウルトラフィルターに関する記事に記載されています。その記事では、ウルトラフィルターの重要な特性についても説明しています。

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}{\textrm {Ultrafilters}}(X)\;&=\;{\textrm {Filters}}(X)\,\cap \,{\textrm {UltraPrefilters}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {UltraPrefilters}}(X)={\textrm {UltraFilterSubbases}}(X)\\&\subseteq \;{\textrm {Prefilters}}(X)\\\end{alignedat}}}$$

空でない集合族とは、次のようなものである。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$

8. Ultra ^{[7] [30]}かつ以下の同等の条件のいずれかが満たされる 場合${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}}$
   1. あらゆる集合に対して、となる集合（または同等に、 となる集合）が存在します。${\displaystyle S\subseteq X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\subseteq S{\text{ or }}B\subseteq X\setminus S}$${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing }$
   2. あらゆる集合に対して、${\displaystyle S\subseteq \bigcup _{B\in {\mathcal {B}}}B}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • この「超」の特徴はセットに依存しないため、 「超」という用語を使用するときにセットについて言及することはオプションです。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$
   3. あらゆる集合（必ずしも の部分集合ではない）に対して、${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\cap S{\text{ equals }}B{\text{ or }}\varnothing .}$
      • がこの条件を満たす場合、すべてのスーパーセットもこの条件を満たします。たとえば、が任意のシングルトン セットである場合、は超であり、したがって、 の任意の非退化スーパーセット(その上方閉包など) も超です。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \{T\}}$${\displaystyle \{T\}}$
9. ウルトラプレフィルタ^{[7] [30]}とは、プレフィルタがウルトラでもある場合を指します。同様に、フィルタサブベースがウルトラである場合も該当します。プレフィルタがウルトラとなるのは、以下の同等の条件のいずれかを満たす場合のみです。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$はに関して最大​​であり、つまり${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$${\displaystyle \,\leq ,\,}$$${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Prefilters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
   2. ${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$
      • この記述は、以下に示すウルトラフィルターに関する記述と同一ですが、ここでは単にプレフィルターであると想定されており、フィルターである必要はありません。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
   3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}}$超（つまり超フィルター）です。
   4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は（に関して）何らかの超フィルタと同等です。${\displaystyle \leq }$
   • 超フィルタサブベースは必然的にプレフィルタである。フィルタサブベースが超となるのは、 （上記のように）に関して最大​​のフィルタサブベースである場合のみである。 ^[17]${\displaystyle \,\leq \,}$
10. 上の超フィルター${\displaystyle X}$^{[7] [30]}とは、上のフィルターが超フィルターである場合である。同様に、上の超フィルターとは、以下の同等の条件のいずれかを満たす フィルターである${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$
    1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ウルトラプレフィルターによって生成されます。
    2. いかなる^[17]${\displaystyle S\subseteq X,S\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}X\setminus S\in {\mathcal {B}}.}$
    3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup (X\setminus {\mathcal {B}})=\wp (X).}$この条件は次のように言い換えることができる：は によって分割され、その双対${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X\setminus {\mathcal {B}}.}$
       • がプレフィルターである場合、セットは常に互いに素です。${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}X\setminus {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
    4. ${\displaystyle \wp (X)\setminus {\mathcal {B}}=\{S\in \wp (X):S\not \in {\mathcal {B}}\}}$理想である。^[17]
    5. 任意の場合、${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S=X}$${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.}$
    6. 任意の場合、となります(この特性を持つフィルターはプライムフィルターと呼ばれます)。 ${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}}$
       • この特性は、2 つ以上の集合の任意の有限和集合に拡張されます。
    7. いずれの場合も、${\displaystyle R,S\subseteq X,}$${\displaystyle R\cup S\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}R\cap S=\varnothing }$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {B}}{\text{ or }}S\in {\mathcal {B}}.}$
    8. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$は上の最大フィルタです。つまり、 が 上のフィルタで、 である場合は必ず となるということです(この等式は に置き換えることができます)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {B}}{\text{ or by }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}}$
       • が上向きに閉じている場合、超フィルターを最大フィルターとして特徴付けることは次のように言い換えることができます。${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}.}$$${\displaystyle {\text{For all }}{\mathcal {C}}\in \operatorname {Filters} (X),\;{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}\;{\text{ implies }}\;{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}.}$$
       • 従属はフィルターにとって「サブネット/サブシーケンスである」の類似物であるため（具体的には、「サブネット」は「AA-サブネット」を意味し、これは以下で定義されます）、ウルトラフィルターを「最大限従属するフィルター」と特徴付けると、ウルトラフィルターはある種の「最大限深いネット」（たとえば、「ある意味で」からのみ見た場合、たとえばシングルトン セットで評価されるネットの場合のように、そのサブネットと区別がつかないことを意味する）と解釈できることが示唆されます^{[注 5] 。これは、実際に}ウルトラネットによって厳密化されたアイデアです。ウルトラフィルターの補題は、すべてのフィルター（「ネット」）には「最大限従属する」（「最大限深い」）従属フィルター（「サブネット」）があるというステートメントです。${\displaystyle \,\geq \,}$${\displaystyle X}$

シングルトン セットを要素として持つ非退化ファミリはすべて超であり、その場合、有限交差プロパティも持つ場合に限り、超プレフィルタになります。がシングルトン セットである 場合に限り、自明なフィルタは超です。${\displaystyle \{X\}{\text{ on }}X}$${\displaystyle X}$

超濾過器の補題

以下の重要な定理はアルフレッド・タルスキ（1930）によるものである。^[31]

超フィルタ補題の帰結として、あらゆるフィルタは、それを含むすべての超フィルタの共通集合に等しい。^{[10] [証明 1]}ツェルメロ・フランケル (ZF) の公理を仮定すると、超フィルタ補題は選択公理(特にゾルンの補題) に従うが、それよりも厳密には弱い。超フィルタ補題は、有限集合の選択公理を意味する。ハウスドルフ空間のみを扱う場合、トポロジー (コンパクト ハウスドルフ空間に対するチコノフの定理やアレクサンダー部分基底定理など) や関数解析(ハーン・バナッハの定理など)における (入門コースで出会うような) 基本的な結果のほとんどは、超フィルタ補題のみを使用して証明できるため、選択公理の完全な強さは必要ないかもしれない。

カーネルは、プレフィルタやその他のセット ファミリのプロパティを分類するのに役立ちます。

集合族の核[5]は、集合族の要素^であるすべての集合の共通部分である。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}:}$ $${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$$

任意の点について${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle x,x\not \in \ker {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}X\setminus \{x\}\in {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$

カーネルの特性

の場合、このセットはによって生成されるπシステムのカーネルにも等しくなります 。特に、 がフィルタ サブベースである場合、次のセットのカーネルはすべて等しくなります。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle \ker \left({\mathcal {B}}^{\uparrow X}\right)=\ker {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

（１）（２）によって生成されるπシステムと（３）によって生成されるフィルタ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

が写像ならば、そしてならば 、そして と が同値ならば、 同値族は等しい核を持つ。2つの主族が同値であるのは、それらの核が等しい場合のみである。つまり、と が主族ならば、それらは同値であるのは、${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\ker {\mathcal {B}})\subseteq \ker f({\mathcal {B}})}$${\displaystyle f^{-1}(\ker {\mathcal {B}})=\ker f^{-1}({\mathcal {B}}).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\subseteq \ker {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}.}$

集合族とは次のようなものである。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

2. 自由^[6]に、これが次のように言い換えられる${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\varnothing ,}$${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\subseteq {\mathcal {B}}^{\uparrow X};}$${\displaystyle \{X\setminus \{x\}~:~x\in X\}\leq {\mathcal {B}}.}$
   • 上のフィルタが自由となるのは、が無限であり、上のフレシェ フィルタをサブセットとして含む場合のみです。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$
3. 固定されている場合、任意の点によって固定されていると言われる${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x\in \ker {\mathcal {B}}.}$
   • 固定されたファミリは必ずフィルタ サブベースになります。
4. プリンシパル^[6]if${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}.}$
   • 適切な主集合族は必然的にプレフィルタになります。
5. ^[25]で 離散的またはである場合、その場合、${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{x\}=\ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}},}$${\displaystyle x}$主な要素。
   • の主フィルタ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$はフィルタです。フィルタが主となるのは、${\displaystyle \{x\}^{\uparrow X}.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{x\}^{\uparrow X}.}$
6. が可算な部分集合であるとき、可算な深さである^[9]${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \ker {\mathcal {C}}\in {\mathcal {B}}.}$

が主フィルタである場合、は 最小のプレフィルタであり、 を生成する 。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varnothing \neq \ker {\mathcal {B}}\in {\mathcal {B}}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\ker {\mathcal {B}}\}^{\uparrow X}=\{S\cup \ker {\mathcal {B}}:S\subseteq X\setminus \ker {\mathcal {B}}\}=\wp (X\setminus \ker {\mathcal {B}})\,(\cup )\,\{\ker {\mathcal {B}}\}}$$${\displaystyle \{\ker {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

例の族: 空でない任意の に対して族は自由であるが、 の有限和がをカバーしない場合にのみフィルタサブベースとなり、その場合、生成されるフィルタも自由となる。特に、が可算な場合(例えば素数)、有限測度の集合内の貧弱集合、または の有界部分集合である場合、 はフィルタサブベースとなる。が単集合である場合、 はフレシェフィルタのサブベースとなる。${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}=\{\mathbb {R} \setminus (r+C)~:~r\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle \left(r_{1}+C\right)\cup \cdots \cup \left(r_{n}+C\right)}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C=\mathbb {Q} ,\mathbb {Z} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{C}}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

すべてのフィルタには、が自由、が主、 とが噛み合わない（つまり）ような一意の双対イデアルが存在する。この双対イデアルはの自由部分と呼ばれ、 は主部分と呼ばれる^[9]。ここで、これらの双対イデアルの少なくとも 1 つはフィルタである。 が主であれば、そうでなければ であり、 は自由（非退化）フィルタである^{[9] 。}${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }{\text{ on }}X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\wedge {\mathcal {F}}^{\bullet }={\mathcal {F}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}\vee {\mathcal {F}}^{\bullet }=\wp (X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }:={\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}^{*}:=\wp (X);}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{\bullet }:=\{\ker {\mathcal {F}}\}^{\uparrow X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{*}:={\mathcal {F}}\vee \{X\setminus \left(\ker {\mathcal {F}}\right)\}^{\uparrow X}}$

有限プレフィルタと有限集合

フィルタ サブベースが有限である場合、それは固定されます (つまり、自由ではありません)。これは、有限交差であり、フィルタ サブベースが有限交差プロパティを持つためです。有限プレフィルタは、有限交差の下で閉じている必要はありませんが、必然的にプリンシパルです。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

が有限である場合、上記の結論はすべて任意の に対して当てはまります。 特に、有限集合には自由なフィルタ サブベースは存在せず (したがって自由なプレフィルタも存在しません)、すべてのプレフィルタは主フィルタであり、 上のすべてのフィルタは(空でない) カーネルによって生成される主フィルタです。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X).}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

自明なフィルタは常に 上の有限フィルタであり、 が無限大の場合、それが唯一の有限フィルタです。これは、集合上の非自明な有限フィルタは が有限である場合に限り可能であるためです。ただし、任意の無限集合には、有限である非自明なフィルタ サブベースとプレフィルタが存在します (ただし、これらはフィルタにはなり得ません)。 が単集合の場合、自明なフィルタはの唯一の適切なサブセットであり、さらに、この集合は主要な超プレフィルタであり、有限交差プロパティを持つ任意のスーパーセット( ) も主要な超プレフィルタになります (が無限大の場合でも)。 ${\displaystyle \{X\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X\}}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle \{X\}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\supseteq {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}X\subseteq Y}$${\displaystyle Y}$

集合の族が固定されている場合（つまり、）、 が超となるのは、 の何らかの要素が単独集合である場合に限ります。その場合、は必然的にプレフィルタになります。すべての主プレフィルタは固定されているため、が単独集合である 場合に限り、主プレフィルタは超となります。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}}$

単一点で主となる 上のすべてのフィルターは超フィルターであり、さらに が有限であれば、これら以外の 上の超フィルターは存在しません。 ^[6]${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

次の定理は、すべての超フィルターが 2 つのカテゴリのいずれかに分類されることを示しています。つまり、自由フィルターであるか、単一のポイントによって生成される主フィルターであるかのいずれかです。

以下に定義される前順序は、位相幾何学における前フィルタ（およびフィルタ）の使用において根本的に重要である。例えば、この前順序は「部分列」の前フィルタと同等のものを定義するために使用される。 ^[24]ここで、「 」は「 」の部分列である（したがって、「 に従属する」は「 の部分列」の前フィルタと同等である）と解釈することができる。また、これは位相空間における前フィルタの収束を定義するためにも使用される。前順序と密接に関連するメッシュの定義は、トポロジーにおいてクラスターポイントを定義するために使用される。 ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}},}$${\displaystyle \,\leq ,}$

2つのセットファミリー${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ メッシュ^[7]と互換性が、 と書くと、がメッシュでない場合は分離して。 がの場合メッシュあると言われます。または、${\displaystyle {\mathcal {B}}\#{\mathcal {C}},}$${\displaystyle B\cap C\neq \varnothing {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}\{S\}}$トレースのファミリー 空集合が含まれず、トレースは${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}=\{B\cap S~:~B\in {\mathcal {B}}\},}$$制限の${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ to }}S.}$

次のいずれかの同等の条件が成立する場合、 はより粗く、 はより細かい（またはに従属する）と宣言します^{[10] [11] [12] [8] [9]。}${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}\geq {\mathcal {C}},{\text{ and }}{\mathcal {F}}\vdash {\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}},}$

1. 定義: すべては何かを含む。明示的には、すべてのものに対して、${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}},}$${\displaystyle F\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle F\subseteq C.}$
   • もっと簡単に言えば、のすべての集合が のいくつかの集合よりも大きい場合です。ここで、「より大きな集合」とはスーパーセットを意味します。${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
2. ${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for every }}C\in {\mathcal {C}}.}$
   • 言葉で言えば、は にある集合よりも大きいことを正確に示しています。 (a) と (b) の同値性は直ちにわかります。${\displaystyle \{C\}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$
   • この特徴から、集合の族であれば、${\displaystyle \left({\mathcal {C}}_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}{\mathcal {C}}_{i}\leq {\mathcal {F}}{\text{ for all }}i\in I.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$これは以下と同等です。${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$
4. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}}$;
5. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$これは以下と同等です。${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}\subseteq {\mathcal {F}}^{\uparrow X}}$

さらに上向きに閉じている場合、つまりこのリストを拡張して次のものを含めることができること を意味します。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}^{\uparrow X},}$

6. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subseteq {\mathcal {F}}.}$^[5]
   • この場合、「より細かい」という定義は、「より細かい」という位相的な定義と同一になります。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$

上向きに閉じた族が（つまり）よりも細かいが、はよりも厳密に細かいと言われ、はよりも厳密に粗いと言われる。${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$

2つのファミリーのうちの1つが他のものよりも細かい場合、その 2つのファミリーは比較可能です。 ^[10]

例:がのサブシーケンスである場合、 は記号で および に従属します。平易に述べる と、サブシーケンスの末尾のプレフィルタは、常に元のシーケンスのプレフィルタに従属します。これを確認するには、 を任意のものとし(または同等に、 を任意のものとし)、このセットに が含まれることを示せば済みます。 セットがを含むためには、があれば十分です。 は厳密に増加する整数である ため、となる が存在し、したがって、希望どおりに成り立ちます。したがって、のすべての点が一意である場合(つまり、が単射である場合) 、 左側は右側の厳密な/適切なサブセットになります。また、は偶数インデックスのサブシーケンスです。これは、これらの条件下では、サブシーケンスのすべての末尾(すべての について)は右側のフィルタに属しますが、左側のフィルタには属さないためです。 ${\displaystyle x_{i_{\bullet }}=\left(x_{i_{n}}\right)_{n=1}^{\infty }}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right);}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right)\vdash \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$${\displaystyle C:=x_{\geq i}\in \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$${\displaystyle F:=x_{i_{\geq n}}\in \operatorname {Tails} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$${\displaystyle x_{\geq i}=\left\{x_{i},x_{i+1},\ldots \right\}}$${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{i_{n}},x_{i_{n+1}},\ldots \right\},}$${\displaystyle i\leq i_{n}.}$${\displaystyle i_{1}<i_{2}<\cdots }$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle i_{n}\geq i,}$${\displaystyle x_{\geq i}\supseteq x_{i_{\geq n}}}$${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(x_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(x_{i_{\bullet }}\right).}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }:\mathbb {N} \to X}$${\displaystyle x_{i_{\bullet }}}$${\displaystyle \left(x_{2},x_{4},x_{6},\ldots \right)}$${\displaystyle x_{i_{\geq n}}=\left\{x_{2n},x_{2n+2},x_{2n+4},\ldots \right\}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

別の例として、が任意の族である場合、常に成立し、さらに、${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}\leq \{\varnothing \}}$${\displaystyle \{\varnothing \}\leq {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}\varnothing \in {\mathcal {B}}.}$

がを満たす集合の族であると仮定する。このとき、およびであり、さらに に加えて がフィルタサブベースであり、 がフィルタサブベース^[8]であり、メッシュでもある。^{[19] [証明 2]} より一般的には、両方であり、 の任意の 2 つの要素の共通部分が空でない場合、メッシュである。^{[証明 2]すべてのフィルタサブベースは、それが生成する}πシステムとそれが生成するフィルタ の両方よりも粗い。 ^[8]${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \ker {\mathcal {F}}\subseteq \ker {\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing {\text{ implies }}{\mathcal {F}}\neq \varnothing ,}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {C}}{\text{ implies }}\varnothing \in {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\neq \varnothing ,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \varnothing \neq {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ and }}\varnothing \neq {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

が族で、族が超である場合、 は必然的に超である。従って、超族と等価な族は必ず超となる。特に、 がプレフィルタである場合、とそれが生成するフィルタの両方が超であるか、どちらも超ではない。フィルタサブベースが超である場合、それは必然的にプレフィルタであり、その場合、それが生成するフィルタも超となる。プレフィルタではないフィルタサブベースは超にはなり得ないが、それでも によって生成されるプレフィルタとフィルタが超になることは可能である。が上向きに閉じている場合、 ^[9]${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {F}},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}^{\uparrow X}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S\subseteq X{\text{ and }}{\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\not \in {\mathcal {B}}{\text{ if and only if }}(X\setminus S)\#{\mathcal {B}}.}$

従属関係の関係特性

この関係は反射的かつ推移的であり、 ^[32]上の順序関係となる。 この関係は反対称であるが、 に複数の点がある場合、対称ではない。 ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \wp (\wp (X)).}$${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle X}$

対称性: 任意の に対して、関係が対称でない場合に限り、 集合には複数の点が存在します。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X),{\mathcal {B}}\leq \{X\}{\text{ if and only if }}\{X\}={\mathcal {B}}.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\leq \,{\text{ on }}\operatorname {Filters} (X)}$

反対称性:だが の場合、その逆は一般には成り立たないが、が上向きに閉じている場合（ がフィルタの場合など）は成り立つ。2つのフィルタが等価なのは、それらが等しい場合のみであり、これにより が反対称に制限される。しかし一般に はに対しても に対しても反対称ではない。つまり は を必ずしも意味しない。たとえ両方がプレフィルタであっても ではない。^[12]たとえば がプレフィルタだがフィルタでない場合、${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {C}}{\text{ then }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle \operatorname {Prefilters} (X)}$${\displaystyle \wp (\wp (X))}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}{\text{ and }}{\mathcal {B}}^{\uparrow X}\leq {\mathcal {B}}{\text{ but }}{\mathcal {B}}\neq {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$

事前順序は、以下の同値条件のいずれかが成立する場合、すべての に対して が と同値となるという標準的な同値関係を誘導する: ^{[8] [5]}${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \wp (\wp (X)),}$${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X)),}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}\leq {\mathcal {C}}.}$
2. の上方閉包は等しい。${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {B}}}$

の2つの上向きに閉じた部分集合（ ）が同値であるのは、それらが等しい場合のみである。^[8] ならば、必然的にと は に同値である。以外の すべての同値類には、 ^[8]で上向きに閉じた一意の代表（つまり、同値類の要素）が含まれる。${\displaystyle X}$${\displaystyle \wp (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle \varnothing \leq {\mathcal {B}}\leq \wp (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\uparrow X}.}$${\displaystyle \{\varnothing \}}$${\displaystyle X.}$

同等のファミリー間で保存されるプロパティ

を任意の集合族とし、を任意の集合族とする。が同値である場合（つまり となる）、以下に挙げる各ステートメント/プロパティは、両方が真であるか、両方が偽であるかのどちらかである。^[32]${\displaystyle {\mathcal {B}},{\mathcal {C}}\in \wp (\wp (X))}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \ker {\mathcal {B}}=\ker {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$

1. 空ではありません
2. 適切（つまり、要素ではない） ${\displaystyle \varnothing }$
   • さらに、任意の 2 つの退化したファミリーは必然的に同等です。
3. フィルターサブベース
4. プレフィルター
   • その場合、に同じフィルターを生成します(つまり、 での上方閉包は等しくなります)。${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
5. 無料
6. 主要
7. ウルトラ
8. トリビアルフィルタと等しい${\displaystyle \{X\}}$
   • 言葉で言えば、これは、自明なフィルターと同等のサブセットは自明なフィルターのみであることを意味します。一般に、この等式の結論は、非自明なフィルターには適用されません (両方のファミリーがフィルターである場合は例外です)。${\displaystyle \wp (X)}$
9. メッシュ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
10. より細かい${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
11. より粗い${\displaystyle {\mathcal {F}}}$
12. 同等である${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

上記のリストには「フィルター」という単語がありません。このプロパティは同等性によって保持されないためです。ただし、フィルターがオンの場合、フィルターは等しい場合にのみ同等です。この特性はプレフィルターには適用されません。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$${\displaystyle X,}$

プレフィルタとフィルタサブベースの同等性

がプレフィルタである場合、次のファミリは常に互いに同等です。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$;
2. によって生成されるπシステム;${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. によって生成されたフィルター;${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

さらに、これら 3 つのファミリーはすべて に対して同じフィルターを生成します(つまり、これらのファミリーの上方閉包は等しい)。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

特に、すべてのプレフィルタはそれが生成するフィルタと同等です。推移性により、2 つのプレフィルタが同等なのは、それらが同じフィルタを生成する場合のみです。^{[8] [証明 3]} すべてのプレフィルタは、それが生成するフィルタ (つまり、プレフィルタの上方閉包) と同じ 1 つのフィルタと同等です。言い換えると、すべてのプレフィルタの同値類には、フィルタである代表が 1 つだけ含まれています。このように、フィルタはこれらのプレフィルタの同値類の区別された要素と見なすことができます。^[8]${\displaystyle X,}$

プレフィルタではないフィルタサブベースは、それが生成するプレフィルタ（またはフィルタ）と同等にはなりません。対照的に、すべてのプレフィルタはそれが生成するフィルタと同等です。これが、プレフィルタは概してそれが生成するフィルタと交換可能に使用できるのに対し、フィルタサブベースはそうできない理由です。すべてのフィルタは、πシステムとセットのリングの両方です。

同等性/非同等性の判定例

例:を整数の集合（または集合）とします。集合を定義します。 ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{[e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }=\{(-\infty ,e)\cup (1+e,\infty )~:~e\in E\}\qquad {\text{ and }}\qquad {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }=\{(-\infty ,e]\cup [1+e,\infty )~:~e\in E\}.}$$

3 つのセットはすべてフィルタ サブベースですが、いずれも 上のフィルタではなく、 だけがプレフィルタです (実際、は自由で、有限交差の下で閉じています)。 は自由である間、セットは固定されています( の場合を除く)。 これらは を満たしますが、これらのファミリの 2 つは同等ではありません。さらに、これら 3 つのフィルタ サブベースによって生成されるフィルタの 2 つは同等ではありません。この結論は、これらが生成するπシステムが同等ではないことを示すことで得られます。によって生成されるπシステムのすべてのセットとは異なり、 にはサブセットとしてが含まれており、 ^{[注 6]}これが、生成されたπシステム (したがって、生成されたフィルタ) が同等になることを妨げています。 が代わりに だった場合、3 つのファミリはすべて自由になり、セットは互いに同等ではないままですが、生成されたπシステムは同等になり、その結果、 上で同じフィルタが生成されます。ただし、この共通フィルタは、 によって生成されるフィルタよりも厳密に粗いままです。${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$${\displaystyle E=\mathbb {N} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }\leq {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }\leq {\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {open} },}$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {Q} {\text{ or }}\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {C}}_{\operatorname {closed} }{\text{ and }}{\mathcal {C}}_{\operatorname {open} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

が上のプレフィルタ（またはフィルタ）である場合、のトレースが上のフィルタであるのは、 がメッシュ（つまり、^[10]）である場合に限ります。この場合、 のトレースはによって誘導されるといいます。 が超であり、 がメッシュである場合、 のトレースは超です。が 上の超フィルタである場合、 のトレースが上のフィルタであるのは、 が超であるときに限ります。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}:={\mathcal {B}}(\cap )\{S\},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap )\{S\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{S}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\in {\mathcal {B}}.}$

例えば、 がのフィルタであり、が であるとすると、メッシュはより厳密に細かい のフィルタを生成する。^[10]${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X{\text{ and }}S\subseteq X}$${\displaystyle S\neq X{\text{ and }}X\setminus S\not \in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}S}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\cup \{S\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

プレフィルターがメッシュになると

空でない族が与えられると、族は およびを満たします。が適切 (それぞれプレフィルタ、フィルタ サブベース) である場合、これは両方にも当てはまります。 からについて 意味のある推論を行うには、が適切 (つまり、 ) である必要があります。これが「メッシュ」の定義の動機です。この場合、がプレフィルタ (それぞれフィルタ サブベース) である場合、かつその場合に 限り、両方にこれが当てはまります。言い換えると、がプレフィルタである場合、かつその場合に限り、それらはプレフィルタです。を一般化すると、「メッシュ」のよく知られた特徴付けが完全に従属関係 (つまり、 ) で得られます。${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}:=\{B\cap C~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}C\in {\mathcal {C}}\}}$$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}},{\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}}$${\displaystyle \,\leq \,}$

     2つのプレフィルタ（それぞれフィルタサブベース）が噛み合うのは、プレフィルタ（それぞれフィルタサブベース）が存在し、${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}.}$

2つのフィルタの最小上限が存在する場合、この最小上限は^{[28]に等しい。}${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {C}}}$${\displaystyle \operatorname {Filters} (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(\cap ){\mathcal {C}}.}$

全体を通して、空でない集合間のマップになります。 ${\displaystyle f:X\to Y{\text{ and }}g:Y\to Z}$

プレフィルターの画像

が持つ特性の多くは、マップのイメージの下で保存されます。注目すべき例外には、上向きに閉じていること、有限交差の下で閉じていること、フィルターであることなどがあり、これらは必ずしも保存されるわけではありません。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

明示的に、以下の性質のうち1つが真であれば、それは必然的に にも真である（ただしが全射でない限り、共域上では真ではない可能性がある）: ^{[10] [13] [33] [34] [35] [31]}${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,}$${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}g(Y)}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle g}$

• フィルターのプロパティ: ウルトラ、ウルトラフィルター、フィルター、プレフィルター、フィルター サブベース、デュアル イデアル、上向きクローズ、固有/非縮退。
• 理想的な特性: 理想的、有限結合の下で閉じている、下向きに閉じている、上向きに向いている。

さらに、がプレフィルタであれば、両方とも^[10]ウルトラセットの マップの下の画像は再びウルトラであり、がウルトラプレフィルタであれば、${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y)}$${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ and }}g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle f({\mathcal {B}}).}$

がフィルタであれば、 は範囲上のフィルタですが、 が共役領域上のフィルタとなるのは が全射である場合のみです。 ^[33] それ以外の場合は、 は 上の前置フィルタに過ぎず、フィルタを得るにはその上方閉包を考慮する必要があります。 の上方閉包はであり 、 がで上方閉包されている 場合（つまり、フィルタである場合）、これは次のように簡略化されます。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle g({\mathcal {B}})}$${\displaystyle g(Y),}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ in }}Z}$$${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~B\subseteq g^{-1}(S){\text{ for some }}B\in {\mathcal {B}}\right\}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle g({\mathcal {B}})^{\uparrow Z}=\left\{S\subseteq Z~:~g^{-1}(S)\in {\mathcal {B}}\right\}.}$$

を包含マップとすると、上の任意のプレフィルタ（それぞれ超プレフィルタ、フィルタサブベース）は、上のプレフィルタ（それぞれ超プレフィルタ、フィルタサブベース）でもあることが示される^[10]${\displaystyle X\subseteq Y}$${\displaystyle g}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$

プレフィルタのプレイメージ

が射影的 であると仮定すると、 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y).}$${\displaystyle f:X\to Y}$

     ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$がプレフィルタ（またはフィルタサブベース、πシステム、有限和で閉じた、適切な）である場合、そしてそれが真である場合に限ります。${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

しかし、が上の超フィルタである場合、 が全射であっても（これは前置フィルタになります）、前置フィルタが 上で超でもフィルタでもない可能性が依然としてあります^[34] （例については この^{[注 7] の脚注を参照）。}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle X}$ 

が全射でない場合は、 のトレースを で表します。この場合、トレースは次の式を満たします。 したがって、次の式も成り立ちます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}f(X)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}=f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right)}$$$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})=f^{-1}\left({\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}\right).}$$

この最後の等式とトレースが上の集合族であるという事実は、トレースについての結論を導くために の代わりに を使うことができ、の代わりに全射を使うことができることを意味する 。例えば：^{[13] [10] [35]}${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}),}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$${\displaystyle f:X\to Y.}$

     ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$がプレフィルタ（またはフィルタサブベース、πシステム、固有）であるのは、次の場合のみである。${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}.}$

このようにして、 が（必ずしも）全射ではない場合を、全射関数の場合（このサブセクションの冒頭で説明したケース）に簡約することができます。 ${\displaystyle f}$

が の超フィルタであっても が射影的でない場合はが退化する可能性もある。次の特徴付けは退化が唯一の障害であることを示す。 が前置フィルタである場合、以下は同値である: ^{[13] [10] [35]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)},}$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

1. ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$プレフィルターです。
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$プレフィルターです。
3. ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathcal {B}}{\big \vert }_{f(X)}}$;
4. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$噛み合う${\displaystyle f(X)}$

さらに、がプレフィルタであれば、 ^{[13] [10]}もプレフィルタである。${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}})}$${\displaystyle f\left(f^{-1}({\mathcal {B}})\right).}$

およびが包含写像を表す場合、のトレースは^[10]に等しい。この観察により、このサブセクションの結果を集合上のトレースの調査に適用することができる。 ${\displaystyle S\subseteq Y}$${\displaystyle \operatorname {In} :S\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}S}$${\displaystyle \operatorname {In} ^{-1}({\mathcal {B}}).}$

全単射、単射、全射

フィルタに関するすべての特性は、全単射の下で保存されます。つまり、が全単射である場合、がプレフィルタ（それぞれ、超、超プレフィルタ、フィルタ上の超フィルタ、フィルタサブベース、πシステム、理想など）であるのは、 ^[34]が全単射である場合に限ります。${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (Y){\text{ and }}g:Y\to Z}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle g({\mathcal {B}}){\text{ on }}Z.}$

写像が単射であるためには、すべてのプレフィルタに対してが^[28]と同値になる必要がある 。単射による超集合族の像もまた超である。 ${\displaystyle g:Y\to Z}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}Y,{\mathcal {B}}}$${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {B}})).}$

マップが全射となるのは、が 上のプレフィルタである場合に同じことが にも当てはまる場合のみです(この結果には、ウルトラフィルタの補題は必要ありません)。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}){\text{ on }}X}$

この関係は集合族の像と逆像の両方において保存される。^{[10]これは}任意の族^[35] に対して${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}{\text{ and }}{\mathcal {F}},}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq {\mathcal {F}}\quad {\text{ implies }}\quad g({\mathcal {C}})\leq g({\mathcal {F}})\quad {\text{ and }}\quad f^{-1}({\mathcal {C}})\leq f^{-1}({\mathcal {F}}).}$$

さらに、任意の集合族に対して次の関係が常に成り立つ：^[35] ここで等式は が射影的である場合に成立する。^[35] さらに、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ $${\displaystyle {\mathcal {C}}\leq f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)}$$${\displaystyle f}$$${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})=f^{-1}\left(f\left(f^{-1}({\mathcal {C}})\right)\right)\quad {\text{ and }}\quad g({\mathcal {C}})=g\left(g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\right).}$$

ならば^[9]かつ^[35] であり、が単射であれば等式が成立する。^[35]${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \wp (X){\text{ and }}{\mathcal {C}}\subseteq \wp (Y)}$ $${\displaystyle f({\mathcal {B}})\leq {\mathcal {C}}\quad {\text{ if and only if }}\quad {\mathcal {B}}\leq f^{-1}({\mathcal {C}})}$$${\displaystyle g^{-1}(g({\mathcal {C}}))\leq {\mathcal {C}}}$${\displaystyle g}$

が1 つ以上の空でない集合の族であり、その積が で表され、すべての添字に対して が 正準射影を表すものと仮定します。が 空でない族であり、それぞれ に対してとなる で添字付けされているものとし、族の 積^[10]は、積位相の基本的な開部分集合の定義方法(これらすべてが位相であったと仮定) と同様に定義されます。つまり、両方の表記は、 有限個を除くすべてに対してとなる円筒部分集合 の族を表し、これらの有限個の例外のいずれか (つまり、必ず となる任意の に対して)となります。すべてのがフィルタ部分基底であるとき、族はによって生成される 上のフィルタのフィルタ部分基底です^[10]がフィルタ部分基底である 場合、それが生成する 上のフィルタはによって生成されるフィルタと呼ばれます。 [ ^10]が 上のプレフィルタである 場合、 は上のプレフィルタとなり、さらに、このプレフィルタは、 に対して最も粗いプレフィルタに等しい。 ^[10] ただし、が 上のフィルタであっても、 は上のフィルタにならない可能性がある。^[10]${\displaystyle X_{\bullet }=\left(X_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \prod X_{\bullet }:=\prod _{i\in I}X_{i},}$${\displaystyle i\in I,}$$${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}:\prod X_{\bullet }\to X_{i}}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }:=\left({\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle I,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}\subseteq \wp \left(X_{i}\right)}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$$${\displaystyle \prod _{}{\mathcal {B}}_{\bullet }=\prod _{i\in I}{\mathcal {B}}_{i}}$$ ${\displaystyle \prod _{i\in I}S_{i}\subseteq \prod _{}X_{\bullet }}$${\displaystyle S_{i}=X_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle S_{i}\neq X_{i},}$${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}\Pr {}_{X_{i}}^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)}$${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }.}$${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {F}}{\text{ on }}\prod X_{\bullet }}$${\displaystyle \Pr {}_{X_{i}}({\mathcal {F}})={\mathcal {B}}_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle \prod {\mathcal {B}}_{\bullet }}$${\displaystyle \prod X_{\bullet }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$${\displaystyle X_{i}.}$

カーネルのサブセットを減算する

が上のプレフィルタである場合、 はプレフィルタです。ここで、この後者の集合がフィルタとなるのは、 がフィルタである場合に限ります。特に、 が少なくとも 2 つの点を持つ位相空間内の点における近傍基数である場合、 は上のプレフィルタです。この構成は、プレフィルタ収束に関して を 定義するために使用されます。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,S\subseteq \ker {\mathcal {B}},{\text{ and }}S\not \in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \{B\setminus S~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S=\varnothing .}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{B\setminus \{x\}~:~B\in {\mathcal {B}}\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \lim _{\stackrel {x\to x_{0}}{x\neq x_{0}}}f(x)\to y}$

理想と二重の理想の二重性を利用する

または という双対関係があり、これは、任意のがに含まれることを意味するように定義されます 。明示的には、任意の に対して、 となるようなが存在することを意味します。この関係は、が である場合に限り、 となるという意味でと双対です。 ^[5] 関係は、 が上向き閉包族とどのように関係しているかと同様に、族の下向き閉包と密接に関係しています。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}\vartriangleright {\mathcal {B}},}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}$${\displaystyle B\subseteq C.}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (X\setminus {\mathcal {B}})\leq (X\setminus {\mathcal {C}}).}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\vartriangleleft {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \,\leq \,}$

この双対性を使用する例として、がマップであり、 が 空集合を含む場合、かつ の場合に限りを定義します 。がウルトラフィルタであり、 が空であるか有限交差で閉じていない可能性があります (例として脚注を参照)。^{[注 8] は}フィルタの特性をあまりよく保存しませんが、 が下向きに閉じている場合 (それぞれ有限和で閉じている場合、イデアル)、 についてもこれが当てはまります。イデアルと双対イデアル間の双対性を使用すると、次のフィルタを構築できます。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle \Xi \subseteq \wp (Y).}$$${\displaystyle \Xi _{f}:=\{I\subseteq X~:~f(I)\in \Xi \}}$$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle \Xi _{f}}$${\displaystyle \Xi _{f}}$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle \Xi _{f}.}$

が 上のフィルタであり     、がにおけるその双対であるとします。この場合、の双対はフィルタになります。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \Xi :=Y\setminus {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X\not \in \Xi _{f}}$${\displaystyle \Xi _{f}}$${\displaystyle X\setminus \Xi _{f}}$

その他の例

例:位相空間の稠密な開集合全体の集合は、適切なπ系であり、前置フィルタである。空間がベール空間である場合、稠密な開集合のすべての可算な共通部分の集合は、 π系であり、より細かい前置フィルタである。${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

例: 有限ルベーグ測度を持つの稠密開集合全体の族は、適切なπシステムであり、自由な前置フィルタです。前置フィルタは、 のすべての稠密開部分集合からなる前置フィルタに適切に含まれますが、同値ではありません。 はベール空間な ので、 内の集合のすべての可算交差は内で稠密です(また、同程度で非希薄です)。そのため、 の元のすべての可算交差の集合は、前置フィルタであり、πシステムです。また、以下よりも細かく、以下と同値ではありません。${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }}$${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\operatorname {Open} }.}$

このセクションでは、プレフィルターとネットの関係について詳しく説明します。これは、これらの詳細がトポロジにフィルターを適用する上で非常に重要であるためです (特に、ネットの利用からフィルターの利用へ、およびその逆の切り替えにおいて)。また、サブネット (最も一般的に使用される定義) が一般に「サブプレフィルター」と同等ではない理由を後で理解しやすくするためでもあります。

ネットは 、その末端のプレフィルタと正準的に関連付けられている。 がマップであり、がネットである場合、^[36]${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}{\text{ in }}X}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right).}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(f\left(x_{\bullet }\right)\right)=f\left(\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\right).}$

尖端集合とは、空でない集合と要素のペアである。任意の 集合族に対して、${\displaystyle (S,s)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle s\in S.}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$$${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}):=\left\{(B,b)~:~B\in {\mathcal {B}}{\text{ and }}b\in B\right\}.}$$

次のように宣言して、尖端集合の 標準順序を定義する。 ${\displaystyle \,\leq \,}$$${\displaystyle (R,r)\leq (S,s)\quad {\text{ if and only if }}\quad R\supseteq S.}$$

たとえそうであったとしても、この順序は反対称ではなく、任意の集合族が部分的に順序付けられている場合、すべてが単独集合で構成される場合と同値です。 がの最大元である場合、さらに、すべての最大元はこの形式です。 が最大元である場合、すべてが の最大元の集合である場合と同値です。ただし、最大元が最大元である場合と同値です。最大かつ最大の元は最大で 1 つしかありません。によって定義される標準マップがあります。${\displaystyle s_{0},s_{1}\in S{\text{ then }}\left(S,s_{0}\right)\leq \left(S,s_{1}\right){\text{ and }}\left(S,s_{1}\right)\leq \left(S,s_{0}\right)}$${\displaystyle s_{0}\neq s_{1},}$${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}{\text{ then }}(\{x\},x)}$${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \left(B,b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ then }}\left(B,b_{0}\right)}$${\displaystyle B=\ker {\mathcal {B}},}$${\displaystyle \{(B,b)~:~b\in B\}}$${\displaystyle (B,b)}$${\displaystyle B=\{b\}=\ker {\mathcal {B}},}$${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}~:~\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})\to X}$${\displaystyle (B,b)\mapsto b.}$

割り当ての末尾は${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \operatorname {Point} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle \left\{c~:~(C,c)\in \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}){\text{ and }}\left(B_{0},b_{0}\right)\leq (C,c)\right\}=B_{0}.}$

は一般に半順序集合ではないが、 がプレフィルタである場合（そしてその場合に限り）有向集合となる。したがって、「プレフィルタによって誘導されるネット」の定義として最も直接的な選択肢は、から への割り当てである。${\displaystyle (\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle (B,b)\mapsto b}$${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$${\displaystyle X.}$

がプレフィルタの場合、関連付けられているネットはマップです ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}:\;&&(\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}),\leq )&&\,\to \;&X\\&&(B,b)&&\,\mapsto \;&b\\\end{alignedat}}}$$

つまり、${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}(B,b):=b.}$

が のプレフィルタである場合、はのネットであり、 に関連付けられたプレフィルタはである。つまり、次のようになる。^{[注 9]}${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ $${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$$

これは必ずしも真ではありません。が の適切な部分集合上で定義されていた場合 、たとえば、 には少なくとも 2 つの異なる要素があり、は非離散フィルタで、 は任意であるとします。 が1 組の単集合上で定義されていた場合、への の制限が一時的に で示されるため、 に関連付けられたテールのプレフィルタは、元のフィルタではなく主プレフィルタになります。つまり、等式は偽であるため、プレフィルタとは異なり、から を復元することはできません 。 さらに悪いことに、は 上の唯一の最小フィルタですが、プレフィルタは 上の最大フィルタ (つまり、超フィルタ) を生成します。${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}}).}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}:=\{X\}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle D:=\{(X,x)\},}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}:D\to X,}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}:D\to X}$${\displaystyle \{\,\{x\}\,\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{X\}}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)={\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}},}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{D}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {Net} _{D}\right)=\{\{x\}\}}$${\displaystyle X.}$

しかし、 が内のネットである場合、 がに等しいということは一般には真ではありません。これは、たとえば のドメインが のドメインとはまったく異なる基数である可能性があるからです ( のドメインとは異なり、内の任意のネットのドメインは任意の基数を持つことができるため)。 ${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)},}$${\displaystyle X}$

ウルトラネットとウルトラプレフィルター

ネットは、すべての部分集合が最終的に に入るか、最終的に に入る場合、 のウルトラネットまたはユニバーサルネットと呼ばれます。これは、 がウルトラプレフィルタである場合に限ります。プレフィルタは、が のウルトラネットである場合に限り、ウルトラプレフィルタです。${\displaystyle x_{\bullet }{\text{ in }}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\subseteq X,x_{\bullet }}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X\setminus S}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ on }}X}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$

正準ネットのドメインは一般に半順序ではない。しかし、1955年にBrunsとSchmidtは、正準ネットが半順序かつ有向であるドメインを持つことを可能にする構成を発見した^[37] 。これは、 1970年にAlbert Wilanskyによって独立に再発見された^[36]。これは、 のサブセット上の厳密な半順序（推移的かつ非反射的な関係を意味する） の構築から始まり、これは厳密な半順序の辞書式順序に似ている。 の任意 の に対して、 の場合に限り、または同値として 、 の場合に限り、 であると宣言する。${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} }$${\displaystyle ({\mathcal {B}},\supsetneq ){\text{ and }}(\mathbb {N} ,<).}$${\displaystyle i=(B,m,b){\text{ and }}j=(C,n,c)}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X,}$${\displaystyle i<j}$$${\displaystyle B\supseteq C{\text{ and either: }}{\text{(1) }}B\neq C{\text{ or else (2) }}B=C{\text{ and }}m<n,}$$${\displaystyle {\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m<n.}$

に関連付けられた非厳密な半順序は、次のように宣言することによって定義されます。 これらの定義をほどくと、次の特徴が得られます。 ${\displaystyle \,<,}$${\displaystyle \,\leq ,}$${\displaystyle i\leq j\,{\text{ if and only if }}i<j{\text{ or }}i=j.}$

${\displaystyle i\leq j}$かつ、かつ、かつ、${\displaystyle {\text{(1) }}B\supseteq C,{\text{ and (2) if }}B=C{\text{ then }}m\leq n,}$${\displaystyle {\text{(3) if }}B=C{\text{ and }}m=n{\text{ then }}b=c,}$

これは、がによって誘導される上の辞書式順序にすぎないことを示している。ここで は等式によって部分的に順序付けられている^{[注 10]} 。 どちらも直列であり、どちらも最大元または極大元を持たない。これは、それぞれがによって定義される のサブセットに制限されても真であり 、今後はそれらが であると仮定する。このサブセットからの割り当てを次のように表す。 の 場合 、 前と同様に、 から始まるの末尾は に等しくなります。が上のプレフィルタの場合、 は、そのドメインが部分的に順序付けられたセットであるネットであり、さらに、 ^[36] の末尾は同一であるため (どちらもプレフィルタ に等しいため)、プレフィルタに関連付けられたネットのドメインが有向かつ部分的に順序付けられていると仮定しても、通常は何も失われません。^[36] 集合 が正の有理数に置き換えられると、厳密な半順序も稠密な順序になります。 ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$${\displaystyle ({\mathcal {B}},\supseteq ),\,(\mathbb {N} ,\leq ),{\text{ and }}(X,=),}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,=.\,}$${\displaystyle \,<{\text{ and }}\leq \,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\;&:=\;\{\,(B,m,b)\;\in \;{\mathcal {B}}\times \mathbb {N} \times X~:~b\in B\,\},\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle i=(B,m,b)\mapsto b}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\ :\ &&\ \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}\ &&\,\to \;&X\\[0.5ex]&&\ (B,m,b)\ &&\,\mapsto \;&b\\[0.5ex]\end{alignedat}}}$$${\displaystyle i_{0}=\left(B_{0},m_{0},b_{0}\right)\in \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle i_{0}}$${\displaystyle B_{0}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Poset} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(\operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}\right)={\mathcal {B}}.}$${\displaystyle \operatorname {PosetNet} _{\mathcal {B}}{\text{ and }}\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle <}$

「は に従属する」（ と書く）という概念は、フィルタとプレフィルタの場合と、 「は の部分列である」という概念がシーケンスの場合に同じである。^[24] たとえば、 がの末尾の集合を表し、 が部分列の末尾の集合を表す場合（）には、（つまり）は真であるが、一般には偽である。 ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\vdash {\mathcal {C}}}$${\displaystyle x_{n_{\bullet }}=\left(x_{n_{i}}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\left\{x_{\geq i}:i\in \mathbb {N} \right\}}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)=\left\{x_{n_{\geq i}}:i\in \mathbb {N} \right\}}$${\displaystyle x_{n_{\bullet }}}$${\displaystyle x_{n_{\geq i}}:=\left\{x_{n_{i}}~:~i\in \mathbb {N} \right\}}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)~\vdash ~\operatorname {Tails} \left(x_{n_{\bullet }}\right)}$

順序付き空間のサブセットは${\displaystyle R\subseteq I}$${\displaystyle (I,\leq )}$頻繁または共終語の場合、すべてのに対してが存在する場合末尾が含まれる場合は、${\displaystyle I}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle r\in R{\text{ such that }}i\leq r.}$${\displaystyle R\subseteq I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$最終的にまたは最終的に となる${\displaystyle I}$（つまりが存在することを意味する。最終的な集合は必ずしも空ではない。部分集合が最終的な集合となるのは、その補集合が頻出でないとき（これを と呼ぶ）に限る。${\displaystyle i\in I{\text{ such that }}I_{\geq i}\subseteq R}$${\displaystyle j\in R{\text{ for all }}j\in I{\text{ satisfying }}i\leq j}$まれである）。^[38]2つの順序付き集合間の 写像${\displaystyle h:A\to I}$順序を維持する場合${\displaystyle a,b\in A{\text{ satisfy }}a\leq b,{\text{ then }}h(a)\leq h(b).}$

ウィラードの意味でのサブネットとケリーの意味でのサブネットは、「サブネット」の最も一般的な定義です。^[38] サブネットの最初の定義は、1955年にジョン・L・ケリーによって導入されました。 ^[38] スティーブン・ウィラードは、 1970年にケリーのサブネットの定義の独自の変形を導入しました。^[38] AAサブネットは、スマイリー（1957）、アーネスとアンデネス（1972）、およびマーデシュワール（1983）によって独立して導入されました。AAサブネットはアーネスとアンデネスによって詳細に研究されましたが、あまり使用されていません。^[38]

をネットとする。すると^[38]${\displaystyle S=S_{\bullet }~:~(A,\leq )\to X{\text{ and }}N=N_{\bullet }~:~(I,\leq )\to X}$

1. ${\displaystyle S_{\bullet }}$はウィラードサブネット、またはウィラードの意味でサブネットとは、${\displaystyle N_{\bullet }}$${\displaystyle h:A\to I}$${\displaystyle S=N\circ h{\text{ and }}h(A)}$${\displaystyle I.}$
2. ${\displaystyle S_{\bullet }}$はケリーのサブネットまたはケリーの意味でサブネットとは、マップが存在し、が最終的に内であれば、最終的に内である${\displaystyle N_{\bullet }}$${\displaystyle h~:~A\to I{\text{ such that }}S=N\circ h}$${\displaystyle E\subseteq I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle h^{-1}(E)}$${\displaystyle A.}$
3. ${\displaystyle S_{\bullet }}$はAA –次のいずれかの同等の条件が満たされる場合、 Aarnes および Andenaes の意味でのサブネット${\displaystyle N_{\bullet }}$
   1. ${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right).}$
   2. ${\displaystyle \operatorname {TailsFilter} \left(N_{\bullet }\right)\subseteq \operatorname {TailsFilter} \left(S_{\bullet }\right).}$
   3. 最終的には、最終的には${\displaystyle J}$${\displaystyle I{\text{ then }}S^{-1}(N(J))}$${\displaystyle A.}$
   4. 任意のサブセットメッシュの場合も同様です${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right){\text{ and }}\{R\}.}$
   5. 任意のサブセット${\displaystyle R\subseteq X,{\text{ if }}\operatorname {Tails} \left(S_{\bullet }\right)\leq \{R\}{\text{ then }}\operatorname {Tails} \left(N_{\bullet }\right)\leq \{R\}.}$

ケリーは写像が順序保存的であることを要求しなかったが、AAサブネットの定義では2つのネットのドメイン間の写像は完全に排除され、代わりにネットの共通コドメインに完全に焦点を当てている。すべてのウィラードサブネットはケリーサブネットであり、両方ともAAサブネットである。^[38] 特に、がウィラードサブネットまたはのケリーサブネットである場合、${\displaystyle h}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y_{\bullet }=\left(y_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)\leq \operatorname {Tails} \left(y_{\bullet }\right).}$

• 例:とを定数列とし、とするとが上のネットであるとします。すると はのAAサブネットです。なぜならですが、のウィラードサブネットではありません。なぜならの像が の共終部分集合である写像は存在しないからです。または のケリーサブネットではありません。なぜなら が任意の写像である場合 はの共終部分集合ですが、は最終的に には含まれないからです。${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(0\right)_{i\in \mathbb {N} }.}$${\displaystyle s_{1}=0}$${\displaystyle A=\{1\}}$${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{a}\right)_{a\in A}=\left(s_{1}\right)}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle s_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle \operatorname {Tails} \left(x_{\bullet }\right)=\{\{0\}\}=\operatorname {Tails} \left(s_{\bullet }\right).}$${\displaystyle s_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle h:A\to I}$${\displaystyle I=\mathbb {N} .}$${\displaystyle s_{\bullet }}$${\displaystyle x_{\bullet }}$${\displaystyle h:A\to I}$${\displaystyle E:=I\setminus \{h(1)\}}$${\displaystyle I=\mathbb {N} }$${\displaystyle h^{-1}(E)=\varnothing }$${\displaystyle A.}$

AAサブネットには、サブ（従属）フィルタと完全に互換性があることをすぐに示す定義特性があります。^{[38] [39]} 明示的に言えば、AAサブネットについては次の文が当てはまります。

プレフィルタの     場合、 AAサブネットは${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ if and only if }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

「AA–サブネット」を「Willard–サブネット」または「Kelley–サブネット」に置き換えると、上記の記述は偽になります。特に、次の記述は一般に偽であるという問題があります。

     誤り：プレフィルタがケリーサブネットで${\displaystyle {\mathcal {B}}{\text{ and }}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}}{\text{ then }}\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \;\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

すべての Willard サブネットは Kelley サブネットであるため、「Kelley サブネット」という単語を「Willard サブネット」に置き換えても、この記述は誤りのままです。

• 反例: すべての に対して、が適切なπ -システムであるとし、が両方の族が自然数上のプレフィルタであるとします。 は に、部分列は に等しいため 、列になります。したがって、理想的には、はのサブネットである必要があります がのドメインであるとするとに順序同型で、したがって最大元も最大元も含まない共終部分集合が含まれます。 はの最大元と最大元の両方です 有向集合、 に順序同型な部分集合も含まれています( にはそのような部分集合を含む が含まれるため)。しかし、そのような部分集合は、最大元 のため、 したがって、順序を保存するマップは、最終的には定数 (値) になる必要があり、この場合 は範囲 の最大元になります。が のウィラード サブネットになるために必要な条件を満たす 順序を保存するマップは存在しません(そのようなマップの範囲はで共終できない)。矛盾を避けるために、すべてのに対して が最終的に となるようななるようなが存在する ため、 すべての に対してが最終的に となるためことが必然的である。 特に、 の場合、は定義により と同等であり、 は偽である。したがって、^は[39]のケリーサブネットではない。${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$${\displaystyle B_{n}=\{1\}\cup \mathbb {N} _{\geq n}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{B_{n}~:~n\in \mathbb {N} \},}$${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\{1\}\}\cup {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle X:=\mathbb {N} =\{1,2,\ldots \}.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\leq {\mathcal {F}},{\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle S=\operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle B=\operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$${\displaystyle I:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}},}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle A:=\operatorname {PointedSets} ({\mathcal {F}})=\{M\}\cup I,{\text{ where }}M:=(1,\{1\})}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle I,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle h:A\to I}$${\displaystyle h(M)}$${\displaystyle h(M)}$${\displaystyle h(A).}$${\displaystyle h:A\to I}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}}$${\displaystyle h}$${\displaystyle I}$${\displaystyle h:A\to I}$${\displaystyle h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle i\in I.}$${\displaystyle h(M)\in I,}$${\displaystyle n,n_{0}\in \mathbb {N} }$${\displaystyle h(M)=\left(n_{0},B_{n}\right){\text{ with }}n_{0}\in B_{n}.}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle h^{-1}\left(I_{\geq i}\right)}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle h(M)\in I_{\geq i}.}$${\displaystyle i:=\left(n+2,B_{n+2}\right)}$${\displaystyle h(M)\geq i=\left(n+2,B_{n+2}\right),}$${\displaystyle B_{n}\subseteq B_{n+2},}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {F}}}$${\displaystyle \operatorname {Net} _{\mathcal {B}}.}$

「サブネット」がウィラード サブネットまたはケリー サブネットを意味すると定義される場合、ネットとフィルターは完全には互換性がありません。これは、2 つの誘導されたネット間のネットとサブネットの関係では表現できないフィルターと従属(従属)フィルターの関係が存在するためです。特に、問題は、ケリー サブネットとウィラード サブネットが従属フィルターと完全に互換性がないことです。「サブネット」という概念が使用されない場合、または「サブネット」が AA サブネットを意味すると定義される場合、これは問題ではなくなり、ネットとフィルターは互換性があると言うのが正しいことになります。AA サブネットにはウィラード サブネットやケリー サブネットのような問題がないにもかかわらず、広く使用されていないか、知られていません。^{[38] [39]}

• 位相空間のカテゴリの特徴
• 収束空間 – 一般位相幾何学における収束の概念の一般化
• フィルタ（数学）  – 数学では、部分的に順序付けられた集合の特別な部分集合
• フィルター量指定子
• トポロジーにおけるフィルター – フィルターを使用して、すべての基本的なトポロジーの概念と結果を記述および特徴付けます。
• フィルタリング（数学）  – 数学におけるインデックスセット
• フィルタリング（確率論）  - ランダムプロセスの特定の時点で利用可能な情報のモデル
• フィルタリング（抽象代数）
• フレシェフィルター – フレシェフィルターPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 汎用フィルタ – 集合論において、半集合の密な開集合の集合が与えられたとき、その集合内のすべての集合を満たすフィルタPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• イデアル（集合論）  – 有限和集合と部分集合の下で閉じている空でない集合族
• ストーン・チェフコンパクト化#超フィルターを用いた構成 – トポロジーの概念
• 超積の基本定理 – 数学的構成Pages displaying short descriptions of redirect targets
• ウルトラフィルター – 最大限適切なフィルター
• 超フィルター（集合論）  – 最大適正フィルターPages displaying short descriptions of redirect targets

証明

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