リーマン積分

実解析と呼ばれる数学の分野において、ベルンハルト・リーマンによって生み出されたリーマン積分は、区間上の関数の積分に関する最初の厳密な定義であった。これは 1854 年にゲッティンゲン大学の教授陣に発表されたが、1868 年まで雑誌には掲載されなかった。^[1]多くの関数と実際の応用において、リーマン積分は微積分の基本定理によって評価したり、数値積分によって近似したり、モンテカルロ積分を使用してシミュレートしたりすることができる。

グラフ上に曲線があり、その曲線が 2 つの点 a と b の間で x 軸より上に留まっているとします。a から b までの曲線の下の領域が、私たちが求めているものです。この領域は、グラフ上のすべての点 (x, y) の集合として記述でき、次の規則に従います: a ≤ x ≤ b (x 座標は a と b の間)、0 < y < f(x) (y 座標は 0 と曲線の高さ f(x) の間)。数学的には、この領域は集合作成記法で次のように 表すことができます。$${\displaystyle S=\left\{(x,y)\,:\,a\leq x\leq b\,,\,0<y<f(x)\right\}.}$$

この面積を測定するには、次のように表される リーマン積分を使用します。$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

この表記は「a から b までの f(x) の積分」を意味し、曲線 f(x) の下、x 軸の上、x = a と x = b の間の正確な領域を表します。

リーマン積分の背後にある考え方は、面積を小さく単純な形状 (長方形など) に分割し、それらの面積を合計し、長方形をどんどん小さくして、より正確な推定値を得るというものです。最終的に、長方形が無限に小さい場合、合計は正確な面積となり、これが積分によって表されます。

曲線が x 軸より下に下がる場合、積分は符号付きの面積を与えます。つまり、積分は x 軸より上の部分を正として加算し、x 軸より下の部分を負として減算します。したがって、\int_a^bf(x)\,dx の結果は、曲線が x 軸より上または下にある量に応じて、正、負、またはゼロになります。

区間 [ a , b ]の分割は、次の形式の有限数の列である。 $${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{i}<\dots <x_{n}=b}$$

各[ x _i , x _{i + 1} ]は分割のサブ区間と呼ばれます。分割のメッシュまたはノルムは、最長のサブ区間の長さとして定義されます。つまり、 $${\displaystyle \max \left(x_{i+1}-x_{i}\right),\quad i\in [0,n-1].}$$

区間[ a , b ]のタグ付きパーティション P ( x , t )は、各サブ区間内のサンプルポイントの選択を伴うパーティションです。つまり、各iについてt _i ∈ [ x _i , x _{i + 1} ]となる数値t ₀ , ..., t _{n − 1}です。タグ付きパーティションのメッシュは、通常のパーティションのメッシュと同じです。

2 つのパーティションP ( x , t )とQ ( y , s )が両方とも区間[ a , b ]のパーティションであるとします。各整数i ( i ∈ [0, n ] )に対して、 x i = y r ( i ) かつ j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)] であるある j に対して t i = s j となる整数 r ( i ) が存在する場合、 Q ( _{y ,} s )はP ₍ x _{, t} )の改良版であると言えます_。つまり、タグ付きパーティションは、サブ_区間の一部を分割し、必要に応じてサンプルポイントを追加して、パーティションの精度を「改良」します。

あるタグ付きパーティションが別のタグ付きパーティションの改良版である場合、そのパーティションが他のタグ付きパーティションより大きいか等しいとすることで、 すべてのタグ付きパーティションのセットを有向セットに変換できます。

f を区間[ a , b ]上で定義される実数値関数とする。タグ付き分割x ₀ , ..., x _nとt ₀ , ..., t _{n − 1}に関するfのリーマン和^は[2]である。 $${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right).}$$

和の各項は、与えられた点における関数の値と区間の長さの積です。したがって、各項は、高さf ( t _i )、幅x _{i + 1} − x _iの長方形の (符号付き) 面積を表します。リーマン和は、すべての長方形の (符号付き) 面積です。

密接に関連する概念は、下限ダルブー和と上限ダルブー和です。これらはリーマン和に似ていますが、タグは各サブ区間の fの下限と上限に置き換えられます。$${\displaystyle {\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}}$$

fが連続している場合、タグなしパーティションの下限および上限のダルブー和はそのパーティションのリーマン和に等しくなります。ここで、タグは各サブ区間のfの最小値または最大値 (それぞれ) になるように選択されます。( fがサブ区間で不連続な場合、そのサブ区間で下限または上限を達成するタグが存在しない可能性があります。)ダルブー積分はリーマン積分に似ていますがダルブー和に基づいており、リーマン積分と同等です。

大まかに言えば、リーマン積分とは、関数の分割が細かくなるにつれて関数のリーマン和が極限に達することです。極限が存在する場合、関数は積分可能（またはより正確にはリーマン積分可能）であると言われます。分割を十分に細かくすることで、リーマン和をリーマン積分に望むだけ近づけることができます。^[3]

重要な要件の 1 つは、パーティションのメッシュがどんどん小さくなっていき、限界がゼロになる必要があることです。そうでない場合、特定のサブ区間で関数の近似値が得られません。実際、積分を定義するにはこれで十分です。具体的には、次の条件が満たされる場合、 fのリーマン積分が存在し、 sに等しいと言えます。

すべてのε > 0に対して、 δ > 0が存在し、メッシュがδ未満の任意のタグ付きパーティション x ₀ , ..., x _nおよびt ₀ , ..., t _{n − 1}に対して、次式が成り立ちます。 $${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

残念ながら、この定義は非常に使いにくいです。より扱いやすいリーマン積分の同等の定義を開発するのに役立つでしょう。ここでこの定義を開発し、同等性の証明を示します。新しい定義では、次の条件が満たされる場合、 fのリーマン積分が存在し、sに等しいとしています。

すべてのε > 0に対して、タグ付きパーティションy ₀ , ..., y _mおよびr ₀ , ..., r _{m − 1}が存在し、任意のタグ付きパーティションx ₀ , ..., x _nおよびt ₀ , ..., t _{n − 1 （} y ₀ , ..., y _mおよびr ₀ , ..., r _{m − 1}の改良）に対して、次式が成り立ちます。 $${\displaystyle \left|\left(\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})(x_{i+1}-x_{i})\right)-s\right|<\varepsilon .}$$

これらは両方とも、最終的に、任意の分割に関するfのリーマン和がsの近くに閉じ込められることを意味します。これは、和がどれだけ近くに閉じ込められることを要求しても真であるため、リーマン和はsに収束すると言います。これらの定義は、実際には、より一般的な概念であるネットの特殊なケースです。

前に述べたように、これら 2 つの定義は同等です。言い換えると、s が最初の定義で機能するのは、s が2 番目の定義で機能する場合のみです。最初の定義が 2 番目の定義を意味することを示すには、εから始めて、条件を満たすδ を選択します。メッシュがδ未満の任意のタグ付きパーティションを選択します。そのリーマン和はsのε内にあり、このパーティションの任意の細分化もδ未満のメッシュを持つため、細分化のリーマン和もsのε内になります。

2番目の定義が最初の定義を暗示していることを示すには、ダルブー積分を使うのが最も簡単です。まず、2番目の定義がダルブー積分の定義と等しいことを示します。これについては、ダルブー積分の記事を参照してください。次に、ダルブー積分可能関数が最初の定義を満たすことを示します。ε を固定し、このパーティションに関する下側および上側のダルブー和がダルブー積分の値sのε /2以内になるようにパーティションy ₀、...、y _{m を}選択します。 $${\displaystyle r=2\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.}$$

r = 0の場合、f はゼロ関数であり、これは明らかに積分値がゼロのダルブー積分とリーマン積分の両方が可能です。したがって、r > 0と仮定します。m > 1の場合、 δ を次のように 選択します。$${\displaystyle \delta <\min \left\{{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},\left(y_{1}-y_{0}\right),\left(y_{2}-y_{1}\right),\cdots ,\left(y_{m}-y_{m-1}\right)\right\}}$$

m = 1の場合、δ が1未満になるように選択します。δより小さいメッシュを持つタグ付きパーティションx ₀、...、x _nおよびt ₀、...、t _{n − 1 を}選択します。リーマン和がsのε以内にあることを示す必要があります。

これを確認するには、区間[ x _i , x _{i + 1} ]を選択します。この区間が何らかの[ y _j , y _{j + 1} ]内に含まれている 場合、 m _jとM _jはそれぞれ[ y _j , y _{j + 1} ]におけるfの最小値と最大値です。すべての区間がこの特性を持つ場合、リーマン和の各項はダルブー和の対応する項によって制限され、ダルブー和がs の近くにあるように選択したため、これで証明は完了します。これはm = 1の場合に当てはまり、その場合証明は終了します。 $${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j}}$$

したがって、 m > 1と仮定できます。この場合、[ x _i、x _{i + 1} ]の 1 つが[ y _j、y _{j + 1} ]のいずれにも含まれない可能性があります。代わりに、 y ₀、...、y _mによって決定される区間の 2 つにまたがる場合があります。( δ は任意の 1 つの区間の長さよりも小さいと仮定されるため、3 つの区間を満たすことはできません。) シンボルでは、次のことが起こる可能性があります。 $${\displaystyle y_{j}<x_{i}<y_{j+1}<x_{i+1}<y_{j+2}.}$$

（ δの長さに関する仮定により、そうでなければ前の場合と同じなので、すべての不等式が厳密であると仮定してもよい。）これは最大でm −1回発生する可能性がある。

このケースを扱うには、 x ₀、...、x _{n を}y _{j + 1}で細分化して、リーマン和とダルブー和の差を推定します。リーマン和の項f ( t _i )( x _{i + 1} − x _i )は、2つの項に分割されます。 $${\displaystyle f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-x_{i}\right)=f\left(t_{i}\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_{i}\right)\left(y_{j+1}-x_{i}\right).}$$

一般性を失うことなく、t _i ∈ [ y _j , y _{j + 1} ]と仮定する。すると 、この項はy _j のダルブー和の対応する項によって制限される。他の項を制限するには、次のことに注意する。 $${\displaystyle m_{j}\leq f(t_{i})\leq M_{j},}$$$${\displaystyle x_{i+1}-y_{j+1}<\delta <{\frac {\varepsilon }{2r(m-1)}},}$$

すると、何らかの（実際はどんな）t^*
_私∈ [ y _{j + 1} , x _{i + 1} ]、 $${\displaystyle \left|f\left(t_{i}\right)-f\left(t_{i}^{*}\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)<{\frac {\varepsilon }{2(m-1)}}.}$$

これは最大でm − 1回発生するため、リーマン和とダルブー和の間の距離は最大でε /2です。したがって、リーマン和とsの間の距離は最大で εです。

をすべての点で値 1 を取る関数とします。[ 0, 1]上のfの任意のリーマン和は値 1 を持つため、[0, 1]上のfのリーマン積分は 1 です。 ${\displaystyle f:[0,1]\to \mathbb {R} }$

を[0, 1]の有理数の指示関数とします。つまり、有理数では値 1 を取り、無理数では値 0 を取ります。この関数にはリーマン積分がありません。これを証明するために、リーマン和が 0 と 1 の両方に任意に近づくタグ付きパーティションを構築する方法を示します。 ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

まず、x ₀、...、x _nおよびt ₀、...、t _{n − 1}をタグ付きパーティション（各t _iはx _iとx _{i + 1}の間）とします。ε > 0を選択します。t _{i は}すでに選択されており、それらのポイントでfの値を変更することはできません。ただし、各t _{i の}周囲でパーティションを小さな部分に分割すると、 t _iの影響を最小限に抑えることができます。次に、新しいタグを慎重に選択することで、リーマン和の値がεの範囲内（0または1） になるようにすることができます。

最初のステップは、分割を分割することです。t _iはn個あり、それらの合計の影響がε未満になるようにします。それぞれをε / n未満の長さの区間に制限すると、各t _iのリーマン和への寄与は少なくとも0 · ε / n、最大で1 · ε / nになります。これにより、合計は少なくとも 0 、最大でεになります。したがって、δ をε / n未満の正の数とします。 t _iのうちの 2 つが互いのδ内にある場合は、 δ を小さく選択します。 t _{i が}いずれかのx _jのδ内にあり、t _{i が}x _jと等しくない場合は、δ を小さく選択します。 t _iとx _{j の}数は有限個しかないため、 δ を十分に小さく選択することができます。

ここで、各t _iについて、パーティションに2つのカットを追加します。カットの1つはt _i − δ /2で、もう1つはt _i + δ /2です。これらのうちの1つが区間[0, 1]から外れた場合は、それを除外します。t i_は、サブ区間に対応するタグになります。 $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

t _{i が}x _jのいずれかの真上にある場合、t _{i を}両方の区間のタグとします。 $${\displaystyle \left[t_{i}-{\frac {\delta }{2}},x_{j}\right],\quad {\text{and}}\quad \left[x_{j},t_{i}+{\frac {\delta }{2}}\right].}$$

他の部分区間のタグもまだ選択する必要があります。2 つの異なる方法で選択します。最初の方法は、リーマン和が可能な限り大きくなるように、常に有理点を選択することです。これにより、リーマン和の値は少なくとも1 − εになります。2 番目の方法は、リーマン和が可能な限り小さくなるように、常に無理点を選択することです。これにより、リーマン和の値は最大でもεになります。

任意の分割から始めて、最終的に 0 または 1 にできるだけ近づけたので、最終的に何らかの数値sの近くに閉じ込められるというのは誤りであり、したがってこの関数はリーマン積分可能ではありません。ただし、ルベーグ積分可能です。ルベーグの意味で、関数はほとんどすべての点で0 であるため、その積分は 0 です。ただし、これはリーマン積分の及ばない事実です。

さらに悪い例もあります。はリーマン積分可能関数と同等（つまり、ほとんどどこでも同等）ですが、どのリーマン積分可能関数とも同等ではない非リーマン積分有界関数が存在します。たとえば、C をスミス・ヴォルテラ・カントール集合とし、I _{C を}その指示関数とします。C はジョルダン可測でないため、I _{C は}リーマン積分可能ではありません。また、I _Cと同等の関数gはリーマン積分可能ではありません。gは、I _Cと同様に、稠密集合上ではゼロでなければならないため、前の例と同様に、gの任意のリーマン和は、任意の正の数 ε に対して 0 から ε以内の精度を持ちます。しかし、 gのリーマン積分が存在する場合、それはI _Cのルベーグ積分（1/2 ）と等しくなければなりません。したがって、g はリーマン積分可能ではありません。 ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$

リーマン積分をダルブー積分として定義することが一般的です。これは、ダルブー積分の方が技術的に単純であり、関数がリーマン積分可能であるのはダルブー積分可能である場合のみであるためです。

微積分学の本の中には、一般的なタグ付き分割を使用せず、特定の種類のタグ付き分割に限定しているものもあります。分割の種類が制限されすぎると、積分不可能な関数が積分可能に見えることがあります。

よく使われる制約の 1 つは、「左側」と「右側」のリーマン和の使用です。左側のリーマン和では、すべてのiについてt _i = x _iであり、右側のリーマン和では、すべてのiについてt _i = x _{i + 1}です。この制約だけでは問題は生じません。任意の分割を各t _iで細分化することで、左側または右側の和になるように調整できます。より正式な言葉で言えば、すべての左側のリーマン和の集合とすべての右側のリーマン和の集合は、すべてのタグ付き分割の集合において 共終的です。

もう一つの一般的な制約は、区間の規則的な細分化の使用である。例えば、[0, 1]のn番目の規則的な細分化は、区間 $${\displaystyle \left[0,{\frac {1}{n}}\right],\left[{\frac {1}{n}},{\frac {2}{n}}\right],\ldots ,\left[{\frac {n-1}{n}},1\right].}$$

繰り返しますが、この制限だけでは問題は発生しませんが、この事実を理解するために必要な推論は、左辺と右辺のリーマン和の場合よりも困難です。

しかし、これらの制限を組み合わせて、規則的に分割された区間で左辺または右辺のリーマン和のみを使用するのは危険です。関数がリーマン積分可能であることが事前にわかっている場合、この手法は積分の正しい値を与えます。しかし、これらの条件下では、指示関数は積分が 1 に等しい [0, 1]で積分可能であるように見えます。すべてのサブ区間のすべての端点は有理数であるため、関数は常に有理数で評価され、したがって常に 1 に等しいように見えます。この定義の問題は、積分を 2 つの部分に分割しようとすると明らかになります。次の式が成り立つはずです。 ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }}$$${\displaystyle \int _{0}^{{\sqrt {2}}-1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx+\int _{{\sqrt {2}}-1}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx=\int _{0}^{1}I_{\mathbb {Q} }(x)\,dx.}$$

通常の細分化と左側または右側のリーマン和を使用する場合、0 と 1 以外のすべての端点は無理数となるため、左側の 2 つの項は ​​0 になりますが、既に説明したように、右側の項は 1 になります。

上で定義したように、リーマン積分は積分を拒否することでこの問題を回避します。ルベーグ積分は、これらすべての積分が 0 になるように定義されます。 ${\displaystyle I_{\mathbb {Q} }.}$

リーマン積分は線形変換である。つまり、fとgが[ a , b ]上でリーマン積分可能であり、αとβが定数であるとき、 $${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$

関数のリーマン積分は数値であるため、リーマン積分はリーマン積分可能関数の ベクトル空間上の線型関数になります。

コンパクトな区間[ a , b ]上の有界関数がリーマン積分可能であるのは、ほぼすべての点で連続している場合（その不連続点の集合がルベーグ測度の意味で測度ゼロである場合）に限ります。これは ルベーグ＝ヴィタリの定理（リーマン可積分関数の特徴付け）。これはジュゼッペ・ヴィタリとアンリ・ルベーグ測度ゼロの概念を使用しているが、ルベーグの一般測度や積分は使用していない。

積分可能性条件は様々な方法で証明できるが^{[4] [5] [6] [7]、}そのうちの一つを以下に概説する。

特に、最大で可算な集合はルベーグ測度が0であるため、有限個または可算個の不連続点のみを持つ (コンパクトな区間上の) 有界関数はリーマン積分可能である。[ a , b ]上のリーマン積分可能性のもう 1 つの十分な基準は、測度の概念を含まないが、 [ a , b ) (または( a , b ] ) のすべての点で右手 (または左手) 極限が存在することである。^[10]

有界集合の指示関数は、その集合がジョルダン測度可能である場合に限り、リーマン積分可能である。リーマン積分は、ジョルダン測度に関する積分として 測度理論的に解釈できる。

実数値関数が区間[ a , b ]上で単調である場合、その不連続点の集合はせいぜい可算であり、したがってルベーグ測度は 0 であるため、リーマン積分可能です。実数値関数が区間[ a , b ]上でリーマン積分可能である場合、それはルベーグ積分可能です。つまり、リーマン積分可能性はルベーグ積分可能性よりも強い（つまり満たすのが難しい）条件です。逆は成り立ちません。すべてのルベーグ積分可能関数がリーマン積分可能であるわけではありません。

ルベーグ・ヴィタリの定理は、実数値の有界関数が[ a , b ]上でリーマン積分可能であるという障害に対して、すべてのタイプの不連続性が同じ重みを持つことを意味するものではありません。実際、特定の不連続性は、関数のリーマン積分可能性にまったく影響を与えません。これは、関数の不連続性の分類の結果です。 ^{[引用が必要]}

f _{n が}[ a , b ]上の一様収束列で極限fを持つ場合、すべてのf _nのリーマン積分可能性はfのリーマン積分可能性を意味し、 $${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,dx=\int _{a}^{b}{\lim _{n\to \infty }{f_{n}}\,dx}=\lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}\,dx.}$$

しかし、ルベーグの単調収束定理（単調な点ごとの極限）はリーマン積分には当てはまらない。したがって、リーマン積分では、積分符号の下での極限を取ることは、ルベーグ積分よりも論理的に正当化するのがはるかに困難である。^[11]

リーマン積分を任意のnに対してユークリッドベクトル空間内の値を持つ関数に拡張することは簡単です。積分は成分ごとに定義されます。言い換えると、f = ( f ₁ , ..., f _n )の場合、 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \int \mathbf {f} =\left(\int f_{1},\,\dots ,\int f_{n}\right).}$$

特に、複素数は実ベクトル空間であるため、複素数値関数の積分が可能になります。

リーマン積分は有界区間でのみ定義され、有界でない区間にはうまく拡張されません。最も単純な拡張は、そのような積分を極限、つまり不定積分として定義することです。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{a\to -\infty \atop b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

この定義には、コーシー主値を計算することと必ずしも同じではないという事実など、いくつかの微妙な点がある。 $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx.}$$

例えば、符号関数 f ( x ) = sgn( x )を考えます。これはx = 0のときは 0 、x > 0のときは 1 、x < 0のときは -1 です。対称性により、 a に関わらず常にです。しかし、積分区間が実数線を埋め尽くすまで拡張する方法は多数あり、他の方法では異なる結果が生じる可能性があります。言い換えると、多変量極限は常に存在するわけではありません。次のように計算できます。 $${\displaystyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx=0}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-a}^{2a}f(x)\,dx&=a,\\\int _{-2a}^{a}f(x)\,dx&=-a.\end{aligned}}}$$

一般に、この不完全なリーマン積分は定義されていません。区間が実数直線に近づく方法を標準化しても、直感に反する不快な結果につながるため機能しません。たとえば、不完全な積分が常にであることに同意すると 、変換f ( x − 1)の積分は -2 になり、この定義はシフトに対して不変ではなく、非常に望ましくない特性になります。実際、この関数には不完全なリーマン積分がないだけでなく、そのルベーグ積分も定義されていません ( ∞ − ∞に等しい)。 $${\displaystyle \lim _{a\to \infty }\int _{-a}^{a}f(x)\,dx,}$$

残念ながら、不完全なリーマン積分は十分に強力ではありません。最も深刻な問題は、関数の極限と不完全なリーマン積分を交換できる広く適用可能な定理がないことです。フーリエ級数などの応用では、関数の積分を近似の積分を使用して近似できることが重要です。適切なリーマン積分の場合、標準的な定理は、f _nがコンパクトセット[ a , b ]上でfに一様収束する関数の列である場合、 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{a}^{b}f_{n}(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$

実数直線のような非コンパクトな区間では、これは誤りです。例えば、f _n ( x ) が[0, n ]ではn ⁻¹ 、それ以外では 0であるとします。すべてのnに対して、次の式が成り立ちます。 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx=1.}$$

数列（f _n）はゼロ関数に一様収束し、ゼロ関数の積分は明らかにゼロである。したがって、 $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f\,dx\neq \lim _{n\to \infty }\int _{-\infty }^{\infty }f_{n}\,dx.}$$

これは、無限区間の積分の場合、関数の一様収束は積分符号を通過できるほど強力ではないことを示しています。これにより、リーマン積分は応用上は機能しなくなります (リーマン積分は両辺に正しい値を割り当てますが)。これは、極限とリーマン積分を交換するための他の一般的な基準がなく、そのような基準がなければ、積分関数を近似することで積分を近似することが難しいためです。

より良い方法は、リーマン積分を放棄してルベーグ積分を使用することです。ルベーグ積分の定義は明らかにリーマン積分を一般化したものではありませんが、すべてのリーマン積分可能関数がルベーグ積分可能であり、2 つの積分が定義されている場合は常にその値が一致することを証明することは難しくありません。さらに、有界区間で定義された関数fは、それが有界であり、 fが不連続である点の集合がルベーグ測度 0 を持つ場合にのみ、リーマン積分可能です。

実際にリーマン積分を直接一般化した積分はヘンストック・クルツワイル積分です。

リーマン積分を一般化する別の方法は、リーマン和の定義における因子x _{k + 1} − x _kを他のものに置き換えることです。大まかに言えば、これにより積分区間に異なる長さの概念が与えられます。これは、リーマン-スティルチェス積分で採用されているアプローチです。

多変数微積分では、 からの関数のリーマン積分は多重積分です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$

リーマン積分は、多くの理論的目的には適していません。リーマン積分の技術的な欠陥のいくつかは、リーマン–スティルチェス積分で改善でき、大部分はルベーグ積分で解消されますが、ルベーグ積分は不正確な積分を満足に処理しません。ゲージ積分は、ルベーグ積分の一般化であり、同時にリーマン積分に近いものです。これらのより一般的な理論は、リーマン積分が存在しない、より「ギザギザ」または「振動の激しい」関数の積分を可能にします。しかし、リーマン積分が存在する場合は、理論はリーマン積分と同じ値を与えます。

教育現場では、ダルブー積分は扱いやすい単純な定義を提供し、リーマン積分を導入するために使用できます。ダルブー積分はリーマン積分が定義されるときはいつでも定義され、常に同じ結果をもたらします。逆に、ゲージ積分はリーマン積分の単純ではあるがより強力な一般化であり、一部の教育者はゲージ積分をリーマン積分の入門コースに置き換えるべきだと主張しています。^[12]

• エリア
• 反微分
• ルベーグ積分

• Shilov, GE、Gurevich, BL、1978年。「積分、測度、微分：統一的アプローチ」、Richard A. Silverman訳。Dover Publications。ISBN 0-486-63519-8。 
• アポストル、トム（1974）、数学的解析、アディソン・ウェズリー

• ウィキメディア・コモンズのリーマン積分に関連するメディア
• 「リーマン積分」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]