ほぼ連続関数

数学、特に数学解析と測度論において、近似連続関数は、通常の極限を近似極限に置き換えることによって連続関数の概念を一般化した概念である。^{[ 1 ]}この一般化は、実解析や幾何学的測度論に応用される可測関数についての洞察を提供する。 ^{[ 2 ]}

させて${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ルベーグ可測集合である、${\displaystyle f\colon E\to \mathbb {R} ^{k}}$測定可能な関数であり、${\displaystyle x_{0}\in E}$ルベーグ密度が${\displaystyle E}$1です。${\displaystyle f}$は、ほぼ連続であると言われている。${\displaystyle x_{0}}$近似限界が${\displaystyle f}$で${\displaystyle x_{0}}$存在し、等しい${\displaystyle f(x_{0})}$[ ^{3 ]​}

近似連続関数の理論における基本的な結果は、可測関数は定義域のほぼすべての点で近似連続であるというルジンの定理から導き出されます。 ^{[ 4 ]}近似連続性の概念は、可測関数を超えて、距離空間間の任意の関数に拡張できます。ステパノフ・デンジョイの定理は、注目すべき特徴付けを提供します。

ステパノフ・デンジョイの定理：関数が可測で あるのは、それがほとんど至るところで近似的に連続である場合に限る。 ^{[ 5 ]}

近似的に連続な関数は、ルベーグ点と密接に関係している。関数について${\displaystyle f\in L^{1}(E)}$、ポイント${\displaystyle x_{0}}$は、ルベーグ密度が 1 の点である場合、ルベーグ点である。${\displaystyle E}$そして満たす

${\displaystyle \lim _{r\downarrow 0}{\frac {1}{\lambda (B_{r}(x_{0}))}}\int _{E\cap B_{r}(x_{0})}|f(x)-f(x_{0})|\,dx=0}$

どこ${\displaystyle \lambda }$はルベーグ測度を表し、${\displaystyle B_{r}(x_{0})}$半径の球を表す${\displaystyle r}$中心は${\displaystyle x_{0}}$関数のすべてのルベーグ点は、必然的に近似連続点である。^{[ 6 ]}逆の関係は、追加の制約の下で成り立つ。${\displaystyle f}$は本質的に有界であり、その近似連続点はルベーグ点と一致する。^{[ 7 ]}

• おおよその制限
• 密度点
• 密度トポロジー（これは、異なるトポロジーにおける連続関数として、近似的に連続関数を別の方法で記述するのに役立つ）
• ルベーグ点
• ルシンの定理
• 測定可能な関数