マイクロコンティニュティ

古典数学の一分野である非標準解析において、点aにおける内部関数fのミクロ連続性（またはS連続性）は次のように定義される。

aに無限に近づくすべてのxに対して、値f ( x ) はf ( a )に無限に近づく。

ここで、xはfの定義域を通ります。数式で表すと、次のようになります。

もし${\displaystyle x\approx a}$それから${\displaystyle f(x)\approx f(a)}$。

関数fが定義されている場合${\displaystyle \mathbb {R} }$定義はハローの観点から次のように表現できます。fは、${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$かつその場合に限り${\displaystyle f(hal(c))\subseteq hal(f(c))}$ここで、 fの超実数への自然な拡張は依然としてf と表記される。あるいは、 cにおけるマイクロ連続性の性質は、合成が${\displaystyle {\text{st}}\circ f}$はcのハロー上で一定であり、ここで「st」は標準部分関数である。

関数の連続性という現代的な性質は、1817年にボルツァーノによって初めて定義されました。しかし、ボルツァーノの研究は、1860年代にハイネによって再発見されるまで、より広い数学界では注目されませんでした。一方、コーシーの教科書『解析学講義』では、1821年に上記のように無限小を用いて連続性が定義されました。^{[ 1 ]}

微視的連続性の性質は、通常、実関数fの自然拡張f*に適用されます。したがって、実数区間I上で定義されたf は、 f*がI のすべての点で微視的に連続である場合に限り、連続です。一方、f は、その定義域Iの自然拡張I*のすべての点 (標準点と非標準点) でf*が微視的に連続である場合に限り、I上で一様連続です(Davis、1977、p. 96 を参照)。 

実際の機能${\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}}$開区間 (0,1) 上では、fの自然な拡張f*が微小な点で微視的に連続ではないため、一様に連続ではありません。${\displaystyle a>0}$実際、このようなaの場合、 aと2a の値は無限に近くなりますが、 f*の値、すなわち${\displaystyle {\tfrac {1}{a}}}$そして$\displaystyle {\tfrac {1}{2a}}}$それらは無限に近いわけではない。

機能${\displaystyle f(x)=x^{2}}$の上${\displaystyle \mathbb {R} }$無限遠点で微視的に連続ではないため、 f*は一様連続ではない。$\displaystyle H\in \mathbb {R} ^{*}}$すなわち、設定する${\displaystyle e={\tfrac {1}{H}}}$そしてK  = H + eなので、 HとKは無限に近いが、f *( H ) とf *( K ) は無限に近いわけではないことが容易にわかる。   

均一収束も同様に、超現実設定では簡略化された定義が可能である。したがって、数列${\displaystyle f_{n}}$f*の定義域内のすべてのxおよびすべての無限nに対して、fに一様に収束する。${\displaystyle f_{n}^{*}(x)}$無限に近い${\displaystyle f^{*}(x)}$。

• 標準部品の機能

• マーティン・デイビス（1977）応用非標準解析。純粋・応用数学。ワイリー・インターサイエンス［ジョン・ワイリー・アンド・サンズ］、ニューヨーク・ロンドン・シドニー。xii+181ページ。ISBN 0-471-19897-8
• Gordon, EI; Kusraev, AG; Kutateladze , SS: 無限小解析。2001年のロシア語原著の改訂版。Kutateladze訳。Mathematics and its Applications、544。Kluwer Academic Publishers、Dordrecht、2002年。