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数学において、存在定理は、ある対象の存在を主張する定理である。 [1]それは、「存在する」という語句で始まる文である場合もあれば、最後の量指定子が存在である普遍文である場合もある（例、「すべてのx、y、 ... に対して、存在する ...」）。記号論理学の正式な用語では、存在定理は、存在量指定子を含む冠頭正規形を持つ定理であるが、実際には、そのような定理は通常、標準的な数学言語で述べられる。たとえば、正弦関数はどこでも連続であるという文、またはビッグオー記法で書かれた定理は、使用される概念の定義に量化が見られるため、本質的に存在定理であると考えることができる。
20世紀初頭にさかのぼる論争は、純粋に理論的な存在定理、つまり無限公理、選択公理、排中律などの非構成的基礎資料に依存する定理の問題に関するものである。このような定理は、存在が主張されているオブジェクトをどのように構築（または提示）するかについて何の指示も与えない。構成主義の観点からは、このようなアプローチは数学の具体的な適用性を失うことにつながるため実行可能ではない。[2]一方、反対の見方は、抽象的な方法は広範囲に及ぶ[さらなる説明が必要]ため、数値解析では不可能であるというものである。
「純粋な」存在の結果
数学において、存在定理は、その証明が存在が主張されているオブジェクトの構成を示さない場合、純粋に理論的なものである。そのような証明は非構成的である。[3]なぜなら、アプローチ全体が構成に適さない可能性があるからである。[4]アルゴリズムの点では、純粋に理論的な存在定理は、存在すると主張されているものを見つけるためのすべてのアルゴリズムを回避します。これらは、いわゆる「構成的」存在定理とは対照的であり、[5]拡張論理（直観主義論理など）を研究している多くの構成主義数学者は、非構成的存在定理よりも本質的に強力であると信じています。
それにもかかわらず、純粋に理論的な存在結果は、現代の数学ではいたるところに見られます。たとえば、 1951年にジョン・ナッシュがナッシュ均衡の存在を最初に証明したのは、そのような存在定理でした。その後、1962年に建設的なアプローチも発見されました。[6]
構成主義の考え方
反対方向からは、構成的数学とは何かについて、かなりの明確化がなされてきたが、「マスター理論」の出現はなかった。例えば、エレット・ビショップの定義によれば、 sin( x )のような関数の連続性は、連続性の法に対する構成的境界として証明されるべきであり、これは連続性の主張の存在内容が常に守られる約束であることを意味する。したがって、ビショップは、点ごとの連続性という標準的な考え方を拒否し、連続性は「局所一様連続性」の観点から定義されるべきであると提案した。[7]存在定理の別の説明は、型理論から得ることができ、型理論では、存在ステートメントの証明は項（計算内容と見ることができる）からのみ得られる。
参照
注記
- ^ 「存在定理の定義 | Dictionary.com」www.dictionary.com . 2019年11月29日閲覧。
- ^ 「 構成的証明」の項の非構成的証明に関するセクションを参照してください。
- ^ Weisstein, Eric W. 「存在定理」。mathworld.wolfram.com 。 2019年11月29日閲覧。
- ^ デニス・E・ヘッセリング（2012年12月6日）。霧の中のノーム：1920年代のブラウワー直観主義の受容。ビルクハウザー。376ページ。ISBN 978-3-0348-7989-7。
- ^ Isaak Rubinstein、Lev Rubinstein (1998年4月28日)。古典数理物理学における偏微分方程式。ケンブリッジ大学出版局。246ページ。ISBN 978-0-521-55846-4。
- ^ Schaefer, Uwe (2014 年 12 月 3 日)。『シュペルナーの補題からバナッハ空間の微分方程式まで :不動点定理とその応用入門』KIT Scientific Publishing。p. 31。ISBN 978-3-7315-0260-9。
- ^ 「Bishop の nLab における構成的数学」ncatlab.org . 2019 年 11 月 29 日閲覧。