G δセット

一般位相幾何学において、G _δ集合は、可算個の開集合の交差である位相空間の部分集合です。この表記は、ドイツ語の名詞Gebiet「開集合」とDurchschnitt「交差」に由来します。^{[ 1 ]} 歴史的には、G _δ集合は内限集合とも呼ばれていましたが、^{[ 2 ]}その用語はもはや使用されていません。G _δ集合とその双対であるF _σ集合は、ボレル階層の第 2 レベルです。

位相空間において、G _δ集合は可算個の開集合の共通部分である。G _{δ集合は、}ボレル階層のレベルΠ ⁰ ₂集合と全く同じである。

• 任意の開集合は自明にGδ_集合である。
• 無理数は実数におけるG _{δ集合である}${\displaystyle \mathbb {R} }$これらは、開集合の可算共通部分として記述できる。${\displaystyle \{q\}^{c}}$（上付き文字は補数を表す）${\displaystyle q}$合理的である。
• 有理数の集合${\displaystyle \mathbb {Q} }$G _δセットではありません${\displaystyle \mathbb {R} }$。 もし${\displaystyle \mathbb {Q} }$開集合の共通部分${\displaystyle A_{n}}$それぞれ${\displaystyle A_{n}}$密度が高い${\displaystyle \mathbb {R} }$なぜなら${\displaystyle \mathbb {Q} }$密度が高い${\displaystyle \mathbb {R} }$しかし、上記の構成では無理数は開稠密部分集合の可算共通部分として与えられます。これら2つの集合の共通部分を取ると、空集合は開稠密集合の可算共通部分として与えられます。${\displaystyle \mathbb {R} }$これはベールのカテゴリー定理の違反である。
• 任意の実数値関数の連続性集合は、その定義域の G δ 部分集合である（より_一般的な記述については、「性質」のセクションを参照）。
• 至るところで微分可能な実数値関数の導関数の零点集合${\displaystyle \mathbb {R} }$は G _{δ集合であり、}ポンペイウの構成法で示されているように、内部が空である稠密集合となる可能性がある。
• 関数のセット${\displaystyle C([0,1])}$[ 0, 1 ]内のどの点においても微分不可能であり、距離空間の稠密な G _{δ部分集合を含む。}${\displaystyle C([0,1])}$（ワイエルシュトラス関数§ 微分不可能関数の密度を参照。）

距離空間（および位相空間）におけるG _δ集合の概念は、距離空間の完備性の概念やベールのカテゴリー定理と関連しています。以下の性質一覧にある、完全に距離化可能な空間に関する結果を参照してください。G _{δ集合とその補集合は、}実解析、特に測度論においても重要です。

G _δ空間^{[ 11 ]}は、すべての閉集合が G _δ集合である位相空間です。^{[ 12 ]} G _{δ空間でもある}正規空間は、完全正規と呼ばれます。たとえば、すべての距離化可能な空間は完全正規です。

• F _σセット、双対概念。ドイツ語のGebiet「開いた集合」の「G」とフランス語のfermé「閉じた」の「F」を対比させる。
• P空間、任意の_Gδ集合が開集合であるという性質を持つ空間

• エンゲルキング、リザード(1989)。一般的なトポロジ。ベルリン：ヘルダーマン・フェルラーク。ISBN 3-88538-006-4。
• フレムリン、DH（2003）[2003]。「4、一般位相」。測度論。第 4巻。ピーターズバーグ、イングランド：デジタルブックス・ロゴスティックス。ISBN 0-9538129-4-42010年11月1日にオリジナルからアーカイブされました。 2011年4月1日に取得。
• Johnson, Roy A. (1970). "すべての閉部分集合が G-デルタであるようなコンパクトな非距離化可能空間". The American Mathematical Monthly . 77 (2): 172– 176. doi : 10.2307/2317335 . JSTOR 2317335 . 
• ケリー、ジョン L. (1955).一般位相幾何学.ヴァン・ノストランド.
• スティーン、リン・アーサー；シーバック、J・アーサー・ジュニア（1995）[1978]。トポロジーにおける反例（ドーバー 版）。ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-486-68735-3. MR 0507446 . 
• ウィラード、スティーブン（2004）[1970]。一般トポロジー（ドーバー 版）。アディソン・ウェスリー。