振動（数学）

数学において、関数または数列の振動とは、その数列または関数が無限大または一点に近づくにつれて、極値間でどれだけ変化するかを定量化した数値です。極限の場合と同様に、直感的な概念を数学的に扱うのに適した形にするための定義がいくつかあります。実数列の振動、実数値関数のある点における振動、および区間（または開集合）上の関数の振動などです。

定義

数列の振動

させて $(a_{n})$ 実数列である。振動 $\omega (a_{n})$ その数列のは、上限限界と下限限界の差 (無限大になる可能性あり) として定義される。 $(a_{n})$ :

\displaystyle \omega (a_{n})=\limsup _{n\to \infty }a_{n}-\liminf _{n\to \infty }a_{n}}

。

振動は、数列が収束する場合に限りゼロになります。定義されないのは、 $\limsup _{n\to \infty }$ そして $\liminf_n→∞$ 両方とも +∞ に等しいか、両方とも −∞ に等しい、つまり、数列が +∞ または −∞ に近づく場合。

開集合上の関数の振動

させて $f$ 実変数の実数値関数である。 $f$ 間隔を置いて $I$ その領域には、上限と下限の差がある。 $f$ :

\omega _{f}(I)=\sup _{x\in I}f(x)-\inf _{x\in I}f(x).

より一般的に言えば、 $f:X\to \mathbb {R}$ 位相空間上の関数である $X$ （例えば距離空間）の場合、振動は $f$ オープンセットで $U$ は

\displaystyle \omega _{f}(U)=\sup _{x\in U}f(x)-\inf _{x\in U}f(x).}

ある点における関数の振動

関数の振動 $f$ 実変数の点における $x_{0}$ は極限として定義される $\epsilon \to 0$ 振動の $f$ オン $\epsilon$ -近隣 $x_{0}$ :

\omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(x_{0}-\epsilon ,x_{0}+\epsilon ).

これは、関数の上限と下限の差と同じです。 $x_{0}$ その点を考慮すれば $x_{0}$ 制限の対象から除外されていません。

より一般的に言えば、 $f:X\to \mathbb {R}$ は距離空間上の実数値関数であり、振動は

\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=\lim _{\epsilon \to 0}\omega _{f}(B_{\epsilon }(x_{0})).}

例

${\frac {1}{x}}$ 振動は ∞ で $x$ = 0、その他の有限値では振動0 $x$ そして−∞と+∞においても同様である。
$\displaystyle \sin {\frac {1}{x}}$ （トポロジー学者の正弦曲線）は振動2を持つ $x$ = 0、それ以外の場合は0。
$\sin x$ あらゆる有限点で振動0を持つ $x$ 、そして−∞と+∞では2となる。
$(-1)^{x}$ または 1、-1、1、-1、1、-1... は振動 2 を持ちます。

最後の例では、数列は周期的です。定数ではない周期的な数列は、必ずゼロでない振動を持ちます。しかし、ゼロでない振動は、通常、周期性を示すものではありません。

幾何学的に見ると、実数上の振動関数のグラフは、 xy平面上で一定の経路をたどり、より小さな領域に収束することはありません。良好な場合、その経路はループ状に折り返して戻ってくるような、つまり周期的な挙動を示します。最悪の場合、非常に不規則な動きとなり、領域全体を覆うこともあります。

連続

振動は関数の連続性を定義するために使用でき、通常のε - δ定義と容易に等価です (実数直線上のすべての場所で定義された関数の場合)。関数 ƒ は、振動がゼロである場合に限り、点x _{0で連続です。}^{[ 1 ]}記号では、 $\displaystyle \omega _{f}(x_{0})=0.}$ この定義の利点は、不連続性を定量化できる点にある。振動によって、ある点における関数の不連続性がどの程度であるかが分かる。

例えば、不連続性の分類において：

除去可能な不連続点においては、関数の値がずれる距離が振動である。
ジャンプ不連続性においては、ジャンプの大きさは振動である（その点の値が両側のこれらの限界値の間にあると仮定した場合）。
本質的な不連続性においては、振動は限界が存在しないことの測定である。

_{この定義は、}記述集合論において不連続点と連続点の集合を研究するのに役立ち、連続点は振動がεより小さい集合の交点（したがってGδ集合）であり、ルベーグ積分可能性条件の一方向の非常に迅速な証明を与える。^{[ 2 ]}

振動は、簡単な並べ替えによってε - δ の定義と等価であり、極限 ( lim sup、lim inf ) を用いて振動を定義します。すなわち、(ある点において) 与えられたε _{0に対して}ε - δの定義を満たすδが存在しない場合、振動は少なくともε _{0であり、逆に、任意の}εに対して所望の δ が存在する場合、振動は 0 です。振動の定義は、位相空間から距離空間への写像に自然に一般化できます。

一般化

より一般的に、f : X → Yが位相空間Xから距離空間Yへの関数である場合、fの振動は各x ∈ Xで次のように定義されます。

\omega (x)=\inf \left\{\mathrm {diam} (f(U))\mid U\mathrm {\ は x の近傍である\}

参考文献

↑実解析入門、 2010年4月更新、ウィリアム・F・トレンチ著、定理3.5.2、172ページ
↑実解析入門、 2010年4月更新、ウィリアム・F・トレンチ著、3.5「真のリーマン積分の存在に関するより高度な考察」、171～177ページ

さらに読む

ヒューイットとストロンバーグ（1965）。実解析と抽象解析。シュプリンガー・フェルラーク。78ページ。ISBN 9780387901381。
Oxtoby, J (1996).測定とカテゴリー（第4 版）. Springer-Verlag. pp. 31–35 . ISBN 978-0-387-90508-2。
Pugh, CC (2002).実数解析. ニューヨーク: Springer. pp. 164–165 . ISBN 0-387-95297-7。{{cite book}}: CS1メンテナンス: パブリッシャーの場所 (リンク)

[1] 実解析入門、 2010年4月更新、ウィリアム・F・トレンチ著、定理3.5.2、172ページ

[2] 実解析入門、 2010年4月更新、ウィリアム・F・トレンチ著、3.5「真のリーマン積分の存在に関するより高度な考察」、171～177ページ

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