極限（圏論）

させて${\displaystyle F:J\to C}$形状の図である${\displaystyle J}$あるカテゴリーで${\displaystyle C}$円錐形の${\displaystyle F}$オブジェクトです${\displaystyle N}$の${\displaystyle C}$家族と一緒に${\displaystyle \psi }$射の${\displaystyle \psi _{X}:N\to F(X)}$オブジェクトによってインデックス付けされます${\displaystyle X}$の${\displaystyle J}$、すべての射に対して${\displaystyle f:X\to Y}$で${\displaystyle J}$、 我々は持っています${\displaystyle F(f)\circ \psi _{X}=\psi _{Y}}$。

図の限界${\displaystyle F:J\to C}$円錐形です${\displaystyle (L,\phi )}$に${\displaystyle F}$すべての円錐に対して${\displaystyle (N,\psi )}$に${\displaystyle F}$一意の射が存在する${\displaystyle u:N\to L}$そのため${\displaystyle \phi _{X}\circ u=\psi _{X}}$すべての人々のために${\displaystyle X}$で${\displaystyle J}$。

円錐は${\displaystyle (N,\psi )}$円錐を通る要因${\displaystyle (L,\phi )}$独自の因数分解${\displaystyle u}$射${\displaystyle u}$これは、媒介射と呼ばれることもあります。

極限は普遍的な性質によって特徴づけられるため、普遍錐とも呼ばれます（詳細は下記参照）。すべての普遍的な性質と同様に、上記の定義は均衡のとれた一般性の状態を記述しています。極限オブジェクト${\displaystyle L}$任意の円錐がそれを因数分解できるように十分に一般的でなければならない。一方、${\displaystyle L}$十分に具体的でなければならず、各円錐に対してそのような因数分解はただ一つしか不可能でなければならない。

限界は、 Fへの錐のカテゴリーにおける終端オブジェクトとして特徴付けられることもあります。

図式に極限が全く存在しない場合もある。しかし、図式に極限が存在する場合、その極限は本質的に一意である。つまり、一意の同型を除いて一意である。このため、しばしばFの極限について言及される。

極限と錐の双対概念は、余極限と余錐である。上記の定義におけるすべての射を反転させることでこれらの定義を容易に得ることができるが、ここでは明示的に述べる。

図の共円錐${\displaystyle F:J\to C}$オブジェクトです${\displaystyle N}$の${\displaystyle C}$射の族とともに $${\displaystyle \psi _{X}:F(X)\to N}$$

すべてのオブジェクトに対して${\displaystyle X}$の${\displaystyle J}$、すべての射に対して${\displaystyle f:X\to Y}$で${\displaystyle J}$、 我々は持っています${\displaystyle \psi _{Y}\circ F(f)=\psi _{X}}$。

図式の余極限${\displaystyle F:J\to C}$ココーンです${\displaystyle (L,\phi )}$の${\displaystyle F}$他の任意のココーンに対して${\displaystyle (N,\psi )}$の${\displaystyle F}$一意の射が存在する${\displaystyle u:L\to N}$そのため${\displaystyle u\circ \phi _{X}=\psi _{X}}$すべての人々のために${\displaystyle X}$で${\displaystyle J}$。

コリミットは普遍ココーンとも呼ばれます。これらは、ココーンのカテゴリーの初期対象として特徴付けられます。${\displaystyle F}$。

限界と同様に、図${\displaystyle F}$余極限が存在する場合、この余極限は一意の同型を除いて一意である。

極限と余極限は、図式を用いずにオブジェクトと射の集合に対しても定義できます。定義は同じです（上記の定義では射の合成を使用する必要はなかったことに注意してください）。${\displaystyle J}$しかし、このバリエーションは新たな情報を追加するものではありません。オブジェクトと射の任意の集合は、（場合によっては大きな）有向グラフを定義します。${\displaystyle G}$. もし私たちが${\displaystyle J}$によって生成された無料カテゴリ${\displaystyle G}$普遍的な図式が存在する${\displaystyle F:J\to C}$画像には${\displaystyle G}$この図の極限（または余極限）は、元の対象と射の集合の極限（または余極限）と同じです。

弱極限と弱余極限は、媒介射の一意性という性質を除けば、極限と余極限と同様に定義される。

極限の定義は、実際的な場面で役立ついくつかの構成を包含するほど一般的です。以下では、図式F : J → Cの 極限 ( L , φ ) について考察します。 

• 終端対象。J が空圏である場合、形状J の図はただ 1 つ、すなわち空の図 (集合論における空関数に類似) のみ存在する。空の図への錐は、本質的にはCの対象である。Fの極限は、他のすべての対象によって一意に分解される対象である。これはまさに終端対象の定義である。
• 積。J が離散圏である場合、図式Fは本質的に、 Jによって添え字付けられたCのオブジェクトの族に他なりません。Fの極限Lは、これらのオブジェクトの積と呼ばれます。錐φは、積の射影と呼ばれる射の族φ _X : L → F ( X )。たとえば、集合の圏では、積はデカルト積で与えられ、射影はさまざまな因子への自然な射影です。  
  • べき乗。積の特殊なケースとして、図式FがCの対象Xへの定数関数である場合がある。この図式の極限はXのJ^乗と呼ばれ、X ^Jと表記される。
• 等化子。Jが2 つの対象と、一方の対象から他方の対象への 2 つの平行射を持つ圏である場合、形状Jの図はCにおける平行射のペアである。このような図の極限L を、それらの射の等化子と呼ぶ。
  • カーネル。カーネルは、射の1つがゼロ射であるイコライザーの特殊なケースです。
• 引き戻し。Cから3 つのオブジェクトX、 Y、 Zを選び出す図式をFとする。ここで、非恒等射はf : X → Zとg : Y → Zのみである。Fの極限Lは引き戻しまたはファイバー積と呼ばれる。可換正方形として視覚化することができる。  

• 逆極限。Jを有向集合( i ≤ jの場合に限りi → jの矢印を追加して小さなカテゴリとみなす) とし、 F : J ^op → Cをダイアグラムとする。F の極限を逆極限または射影極限と呼ぶ。 
• J = 1 、つまり単一の対象と射を持つ圏の場合、形状Jの図は本質的にCの対象Xに他なりません。対象Xへの錐は、終域がXである射に他なりません。射f : Y → Xは、 fが同型である場合に限り、図Xの極限となります。より一般的に、J が初期対象iを持つ任意の圏である場合、形状Jの任意の図は極限を持ちます。すなわち、F ( i ) に同型な任意の対象です。このような同型は、 Fへの普遍錐を一意に決定します。 
• 位相的極限。関数の極限はフィルタの極限の特殊なケースであり、フィルタの極限は次のようにカテゴリ的極限と関連しています。位相空間Xが与えられたとき、FをX上のフィルタの集合、x ∈ X を点、V ( x ) ∈ F をxの近傍フィルタ、A ∈ Fを特定のフィルタとします。${\displaystyle F_{x,A}=\{G\in F\mid V(x)\cup A\subset G\}}$Aよりも細かいフィルタの集合で、 xに収束するもの。フィルタFには、 A ⊆ Bの場合に限り、矢印A → Bを追加することで、小さく薄いカテゴリ構造が与えられる。${\displaystyle I_{x,A}:F_{x,A}\to F}$ファンクターとなり、以下の同値関係が成り立つ 。

xがAの位相的極限であるのは、 A がの圏的極限である場合かつその場合に限る。${\displaystyle I_{x,A}}$

余極限の例は、上記の例の双対バージョンによって示されます。

• 初期オブジェクトは、空の図式の余極限である。
• 余積とは、離散的なカテゴリによってインデックス付けされた図式の余極限のことである。
  • 余冪とは、離散圏における定数図式の余極限のことである。
• 共等化子は、平行な射のペアの余極限である。
  • コカーネルとは、射と平行零射のコイコライザーのことである。
• プッシュアウトとは、共通の定義域を持つ一対の射の余極限のことである。
• 直接極限とは、有向集合によって添え字付けられた図式の余極限のことである。

与えられた図式F  : J → C は、 Cにおいて極限（または余極限）を持つ場合もあれば、持たない場合もある。実際、 Fへの錐が存在しない場合もあるし、ましてや普遍錐が存在しない場合もある。

カテゴリーCは、形状Jのすべての図がCに極限を持つ場合、形状Jの極限を持つと言われます。具体的には、カテゴリーCは、

• 形状Jの制限がすべての小さな離散カテゴリJに対してある場合、製品が存在する(大きな製品が存在する必要はない)、
• 形状に制限がある場合はイコライザーを使用する${\displaystyle \bullet \rightrightarrows \bullet }$（つまり、平行な射のペアはすべてイコライザーを持つ）
• 形状に制限がある場合は引き戻しがあります${\displaystyle \bullet \rightarrow \bullet \leftarrow \bullet }$（つまり、共通の終域を持つ射のペアはすべて引き戻しを持つ。）

完全圏とは、すべての小極限（つまり、すべての小圏 J に対して形状Jのすべての極限）を持つ圏のことです。

双対定義も可能である。ある圏が形状Jの余極限を持つとは、形状Jのすべての図式がCに余極限を持つことを意味する。余完備圏とは、すべての余極限が小さい圏のことである。

極限の存在定理は、圏Cが等化子とクラス Ob( J ) および Hom( J ) でインデックス付けされたすべての積を持つならば、C は形状Jのすべての極限を持つと述べている。^{[ 1 ] : §V.2 定理 1}この場合、図式F  : J → Cの極限は、2 つの射の等化子として構成できる。^{[ 1 ] : §V.2 定理 2}

${\displaystyle s,t:\prod _{i\in \operatorname {Ob} (J)}F(i)\rightrightarrows \prod _{f\in \operatorname {Hom} (J)}F(\operatorname {cod} (f))}$

（構成要素の形で）次のように与えられる

${\displaystyle {\begin{aligned}s&={\bigl (}F(f)\circ \pi _{\operatorname {dom} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}\\t&={\bigl (}\pi _{\operatorname {cod} (f)}{\bigr )}_{f\in \operatorname {Hom} (J)}.\end{aligned}}}$

余極限については、余等化子と余積を用いた双対存在定理が存在する。これらの定理はいずれも、形状Jのすべての (余)極限の存在に関する十分条件と必要条件を与える。

極限と余極限は、普遍構成の重要な特殊なケースです。

Cを圏とし、Jを小さなインデックス圏とする。関手圏C ^{J は、} Cにおける形状Jのすべての図の圏と考えることができる。対角関手

${\displaystyle \Delta$ :{\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}}

は、 Cの各オブジェクトNを定数ファンクター Δ( N ) : J → C to Nに写像するファンクターです。つまり、Jの各オブジェクトXに対して Δ( N )( X ) = N であり、 Jの各射fに対してΔ( N )( f ) = id _Nです。 

図式F : J → C ( C ^Jの対象とみなす) が与えられたとき、自然変換ψ  : Δ( N ) → F (これは単に圏C ^Jにおける射である) は、 NからFへの錐と同じものである。これを確認するには、まず、すべての X に対して Δ( N )( X ) = Nであることから、 ψの成分は射ψ _X  : N → F ( X ) であり、これらはすべて定義域Nを共有することに注意する。さらに、このψが自然変換であるという事実から、錐の図式が可換であるという条件は成り立つ。(双対的に、自然変換ψ  : F → Δ( N ) は、 FからNへの余錐と同じものである。)

したがって、極限と余極限の定義は、次のように言い換えることができます。

• Fの極限は、Δ からFへの普遍射である。
• Fの余極限は、 Fから Δ への普遍射である。

すべての普遍的な構成と同様に、極限と余極限の形成は関数的な性質を持つ。言い換えれば、形状Jのすべての図がCにおいて極限を持つ場合( Jが小さい場合) 、極限関数が存在する。

${\displaystyle \lim$ :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}

これは、各図式にその極限を割り当て、各自然変換η  : F → G に、対応する普遍錐と可換な一意射 lim η  : lim F → lim Gを割り当てる。この関手は、対角関手 Δ : C → C ^Jに右随伴する。この随伴により、 Nからlim Fへのすべての射の集合と、 NからFへのすべての錐の集合との間に全単射が与えられる。 

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \operatorname {Cone} (N,F)}$

これは変数NとFにおいて自然である。この随伴の余単位は、lim FからFへの普遍錐である。インデックスカテゴリJが連結（かつ空でない）である場合、随伴の単位は同型写像であり、lim は Δ の左逆写像である。Jが連結でない場合は、これは成り立たない。例えば、J が離散カテゴリである場合、単位の成分は対角射δ  : N → N ^Jである。

同様に、形状Jのすべての図式がCに余極限( Jが小さい場合) を持つならば、余極限関手が存在する。

${\displaystyle \operatorname {colim}$ :{\mathcal {C}}^{\mathcal {J}}\to {\mathcal {C}}}

これは各図式にその余極限を割り当てる。この関手は対角関手 Δ : C → C ^Jの左随伴であり、自然な同型が存在する。 

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \operatorname {Cocone} (F,N).}$

この随伴の単位は、Fからcolim Fへの普遍ココーンです。J が連結（かつ空でない）場合、コユニットは同型写像となり、colim は Δ の左逆写像となります。

極限関数と余極限関数はどちらも共変関数であることに注意してください。

Hom 関数を用いることで、圏Cにおける極限と余極限を、集合の圏Setにおける極限と関連付けることができる。これは、共変 Hom 関数 Hom( N , – ) : C → Set がCにおけるすべての極限を保存するという事実から部分的に導かれる。双対性により、反変 Hom 関数は余極限を極限に対応させなければならない。 

図式F  : J → CがCにおいて極限lim Fを持つ場合、正準同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (N,\lim F)\cong \lim \operatorname {Hom} (N,F-)}$

これは変数Nにおいて自然なものです。ここで、ファンクター Hom( N , F – ) は Hom ファンクター Hom( N , – ) とFの合成です。この同型写像は、極限錐を尊重する唯一のものです。

上記の関係式を用いて、 CにおけるFの極限を定義することができる。最初のステップは、関手 Hom( N , F – )の極限が、NからFへのすべての錐の集合と同一視できることに注目することである。

${\displaystyle \lim \operatorname {Hom} (N,F-)=\operatorname {Cone} (N,F).}$

極限錐は写像族 π _X  : Cone( N , F ) → Hom( N , FX ) によって与えられ、ここでπ _X ( ψ ) = ψ _Xである。Cの対象Lと自然な同型写像Φ : Hom( L , – ) → Cone( – , F ) が与えられた場合、対象Lは、極限錐がΦ _L (id _L )で与えられるFの極限となる。専門的な言葉で言えば、これはFの極限が関手 Cone( – , F ) : C → Setの表現であるということに相当する。  

同様に、図式F  : J → CがCにおいて余極限(colim Fと表記) を持つ場合、一意の標準同型が存在する。

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\operatorname {colim} F,N)\cong \lim \operatorname {Hom} (F-,N)}$

これは変数Nに関して自然であり、余極限錐を尊重します。 Hom( F – , N ) の極限を集合 Cocone( F , N ) と同一視することで、この関係を使用して、図Fの余極限をファンクター Cocone( F , – )の表現として定義できます。

I を有限圏、Jを小さなフィルター付き圏とする。任意の双関手に対して

${\displaystyle F:I\times J\to \mathbf {Set} ,}$

自然な同型性がある

${\displaystyle \operatorname {colim} \limits _{J}\lim _{I}F(i,j)\rightarrow \lim _{I}\operatorname {colim} \limits _{J}F(i,j).}$

言い換えれば、集合のフィルター付き余極限は有限の極限と可換である。また、小さな余極限は小さな極限と可換であることも成り立つ。^{[ 2 ]}

関手G  : C → D は、Cone( F ) から Cone( GF )への写像を誘導します。すなわち、 Ψ がNからFへの錐であるならば、 GΨはGNからGFへの錐です。関手Gは、( L , φ ) がFの極限であるとき、 ( GL , Gφ ) がGFの極限であるとき、 Fの極限を保存すると言います。（ Fの極限が存在しない場合、G は自明にFの極限を保存します。）

関数Gは、形状Jのすべての極限を保存するとは、すべての図式F  : J → Cの極限を保存することを意味します。例えば、G は積、等化子、引き戻しなどを保存すると言えます。連続関数とは、すべての小さな極限を保存する関数のことです。

余極限についても同様の定義をすることができる。例えば、関手G がFの余極限を保存するとは、 ( L , φ ) がFの余極限であるとき、 G ( L , φ )もGFの余極限であることを意味する。余連続関手とは、すべての小さな余極限を保存する関手のことである。

Cが完備圏である場合、上記の極限に関する存在定理により、関手G  : C → Dは、(小さな)積と等化子を保存する場合に限り連続である。双対的に、 G は、 (小さな)余積と余等化子を保存する場合に限り余連続である。

随伴関手の重要な性質の一つは、すべての右随伴関手が連続であり、すべての左随伴関手が共連続であるということです。随伴関手は数多く存在するため、連続関手と共連続関手の例は数多く存在します。

与えられた図式F  : J → Cと関手G  : C → Dに対して、FとGF の両方に指定された極限がある場合、一意の標準射が存在する。

${\displaystyle \tau _{F}:G\lim F\to \lim GF}$

これは対応する極限錐を尊重します。関手G がFの極限を保存するのは、この写像が同型である場合に限ります。カテゴリCとDのすべての極限が形状Jである場合、lim は関手であり、射 τ _{F は}自然変換の成分を形成します。

${\displaystyle \tau :G\lim \to \lim G^{J}.}$

関手G が形状Jのすべての極限を保存するのは、τ が自然同型である場合に限る。この意味で、関手G は極限と可換であると言える（標準的な自然同型を除いて）。

極限と余極限の保存は、共変関数にのみ適用される概念です。反変関数の場合、対応する概念は、余極限を極限に変換する関数、または極限を余極限に変換する関数となります。

関手G  : C → D は、図式F : J → Cの極限を持ち上げると言います。これは、( L , φ ) がGFの極限であるとき、G ( L ′ , φ ′ ) = ( L , φ )となるようなFの極限 ( L ′ , φ ′ ) が存在する場合です。関手Gは、形状Jのすべての図式の極限を持ち上げる場合、形状Jの極限を持ち上げると言います。したがって、持ち上げ積、等化子、引き戻しなどについて話すことができます。最後に、G がすべての極限を持ち上げる場合、 G は極限を持ち上げると言います。余極限の持ち上げには双対定義があります。 

関手G が図式Fに対して一意に極限を持ち上げる条件は、一意の逆像錐 ( L ′ , φ ′ ) が存在し、( L ′ , φ ′ ) がFの極限であり、かつG ( L ′ , φ ′ ) = ( L , φ )であることです。G が一意に極限を持ち上げる条件は、 G が極限を持ち上げて記憶保持的である場合のみであることを示すことができます。

極限の引き上げは、極限の保持と明らかに関連している。図式Fに対してGが極限を引き上げ、 GFが極限を持つならば、Fも極限を持ち、GはFの極限を保持する。したがって、次のことが成り立つ。

• Gが形状Jのすべての極限を持ち上げ、Dが形状Jのすべての極限を持つ場合、Cも形状Jのすべての極限を持ち、Gはこれらの極限を保持する。
• Gがすべての小さな極限を持ち上げ、Dが完備であるならば、Cも完備であり、Gは連続である。

余極限に関する双対的な記述も同様に妥当である。

図式をF  : J → Cとする。ファンクターG  : C → Dは、

• Fの極限を作成する。 ( L , φ ) がGFの極限である場合、G ( L ′ , φ ′ ) = ( L , φ )となるようなFへの一意の錐( L ′ , φ ′ ) が存在し、さらにこの錐がFの極限である場合。
• Fの極限を反映する。ただし、 Gによる像がGFの極限であるようなFへの各錐は、すでにFの極限である。

同様に、余極限の生成と反射を定義することもできる。

以下の記述は、容易に同等であることが分かる。

• ファンクターGは制限を作り出す。
• ファンクターGは、唯一の方法で限界を持ち上げ、限界を反映します。

限界を一意に持ち上げるが、限界を生成も反映もしないファンクターの例が存在する。

• 表現可能なファンクターC → Set はすべて極限を保存します (ただし、必ずしも余極限を保存するとは限りません)。特に、Cの任意の対象Aに対して、共変Hom ファンクターHom( A , – ) : C → Setではこれが成り立ちます。 
• 忘却関手 U :  Grp → Setは、すべての小極限とフィルター付き余極限を生成（および保持）しますが、余積は保持しません。この状況は、代数的忘却関手によく見られるものです。
• 自由関手F  : Set → Grp (任意の集合SにS上の自由群を割り当てる) は忘却関手Uの左随伴であるため、共連続である。このことから、 2 つの自由群GとHの自由積が、 GとHの生成元の非交和によって生成される自由群となる理由が説明できる。
• 包含関手Ab → Grpは極限を生成しますが、余積 (2 つのアーベル群の余積は直和) は保存しません。
• 忘却関数Top → Set は、制限と余制限を一意に持ち上げますが、どちらも生成しません。
• Met _{c を}射に対する連続関数を持つ距離空間の圏とする。忘却関手Met _c → Set は有限極限を持ち上げるが、一意に持ち上げるわけではない。