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足し算は、通常プラス記号「+」で表され、算術の4つの基本演算の1つです。他の3つは、引き算、掛け算、割り算です。2つの整数を足すと、それらの値の合計または和が得られます。たとえば、隣の画像は、3個のリンゴが並んだ列と2個のリンゴが並んだ列の2つを示しており、合計で5個のリンゴになります。この観察結果は「3 + 2 = 5」と表され、「3 足す 2 は 5 に等しい」と読みます。
加算は、項目を数えるだけでなく、具体的な対象を参照することなく、整数、実数、複素数といった数と呼ばれる抽象概念を用いて定義および実行することもできます。加算は算術という数学の一分野に属します。数学のもう一つの分野である代数学では、ベクトル、行列、加法群の要素といった抽象的な対象に対しても加算を行うことができます。
加算にはいくつかの重要な性質があります。加算は交換法則を満たします。つまり、加算する数の順序は関係ありません。したがって、3 + 2 = 2 + 3 となります。また、加算は結合法則を満たします。つまり、3 つ以上の数を加算する場合、加算を行う順序は関係ありません。1 を繰り返し加算することは、数えることと同じです (後継関数を参照)。0 を加算しても、数は変わりません。加算は、減算や乗算などの関連する演算に関する規則にも従います。
足し算は、最も簡単な計算作業の一つです。非常に小さな数の足し算は幼児でもできます。最も基本的な1 + 1は、生後5ヶ月の乳児でもでき、他の動物種の一部でも可能です。小学校では、生徒は1桁の数字から始めて、徐々に難しい問題に取り組むことで、 10進法での足し算を学びます。機械的な補助手段は、古代のそろばんから現代のコンピュータまで多岐にわたり、足し算の最も効率的な実装に関する研究は今日まで続けられています。
足し算は、項の間にプラス記号「+」を付けて表し、結果は等号で表します。例えば、「1 + 2 は 3 に等しい」と読みます。[ 2 ]ただし、記号が表示されていなくても加算が理解される状況もあります。整数の直後に分数が続く場合は、その 2 つの合計を示し、これを帯分数と呼びます。例は次のとおりです。[ 3 ]この表記法は混乱を招く可能性がある。なぜなら、他のほとんどの文脈では、並置は乗算を意味するからである。[ 4 ]
一般的に加算される数または対象は、まとめて項、 [ 5 ]加数または被加数。 [ 2 ]この用語は、複数の項の和にも適用されます。これは、乗算される因数と。一部の著者は、最初の加数を加数と呼びます。[ 6 ]実際、ルネサンス交換法則により、「加数」はほとんど使用されず、両方の用語は一般的に加数と呼ばれます。 [ 7 ]
上記の用語はすべてラテン語に由来します。「Addition」と「add」は、ラテン語の動詞addereに由来する英語です。addere は、 ad「to」とdare「to give」の複合語で、インド・ヨーロッパ祖語の語根* deh₃-「to give」に由来します。したがって、 addは「to give to」となります。[ 7 ]動名詞接尾辞-ndを使用すると、「addend」、「追加されるもの」となります。[ a ]同様に、 augere 「to increase」から「augend」、「増加されるもの」が得られます。[ 8 ]
「sum」と「summand」は、ラテン語の名詞summa「最高」または「最上部」に由来し、中世ラテン語の句summa linea（「最上部」）で、数値の列の合計を意味し、古代ギリシャとローマの慣習に従って列の一番上に合計を置くことに由来する。[ 10 ] Addereとsummare は、少なくともボエティウスまで遡り、ウィトルウィウスやフロンティヌスなどの初期のローマの著述家にまで遡る可能性がある。ボエティウスは加算演算に他のいくつかの用語も使用した。後の中英語の用語「adden」と「adding」はチョーサーによって普及した。[ 11 ]
加算は算術の4つの基本演算の1つであり、他の3つは減算、乗算、除算です。この演算は2つ以上の項を足し合わせることによって行われます。[ 12 ]任意の数の加算演算は総和と呼ばれます。[ 13 ]無限の総和は級数として知られる繊細な手順であり、[ 14 ]大文字のシグマ記号で表すことができます。これは、与えられたインデックスに基づいて加算演算の反復を簡潔に表す。 [ 15 ]例えば、
加算は、多くの物理現象をモデル化するために用いられます。自然数の加算という単純な場合でさえ、多くの解釈が可能であり、さらに多くの視覚的な表現方法が存在します。
おそらく加算の最も基本的な解釈は、集合を組み合わせることにあります。つまり、次のようになります。[ 2 ]
互いに素な2つ以上のコレクションを1つのコレクションに結合すると、その1つのコレクションに含まれるオブジェクトの数は、元のコレクションに含まれるオブジェクトの数の合計になります。
この解釈は視覚的に理解しやすく、曖昧さの危険性もほとんどありません。また、高等数学でも有用です（この解釈が促す厳密な定義については、下記の§ 自然数を参照）。しかし、この解釈を分数や負の数に拡張する方法は明らかではありません。[ 16 ]
一つの可能性として、パイや、さらに良い例としては分割された棒など、簡単に分割できる物体の集合を考えることが挙げられます。単にセグメントの集合を組み合わせるのではなく、棒を端と端で接続することもできます。これは、棒そのものではなく、棒の長さを足し合わせるという、別の加算の概念を示しています。[ 17 ]
加算の2つ目の解釈は、初期の長さを与えられた長さだけ延長することから来ています。[ 18 ]
元の長さを一定量だけ延長した場合、最終的な長さは元の長さと延長された長さの合計になります。
合計は、そして代数的に、またはそれは加算として解釈できます。より多くのユニット後者の解釈では、合計の部分は非対称的な役割を担い、作戦単項演算を適用していると見なされるに[ 19 ]両方を呼び出す代わりにそして加数については、この場合の「augend」は、受動的な役割を果たす。[ 20 ]単項ビューは減算を議論する際にも有用である。なぜなら、各単項加算演算には逆の単項減算演算があり、その逆もまた同様だからである。[ 21 ]
加法は交換法則を満たす。つまり、和の項の順序を変えても、同じ結果が得られる。記号的に表すと、そして任意の 2 つの数である場合、次のようになります。[ 22 ] 加算が交換法則を満たすという事実は、「加算の交換法則」[ 23 ]または「加算の交換性」[ 24 ]として知られています。乗算[ 25 ]のように他の二項演算も交換法則を満たしますが、減算や除算[ 26 ]のように満たさないものもあります。
加算は結合法則を満たす。つまり、3つ以上の数を足し合わせる場合、演算の順序を変えても結果は変わらない。任意の3つの数について、、 そして確かに、次のことは事実である。[ 27 ] 例えば、。
加算を他の演算と併用する場合、演算の順序が重要になります。標準的な演算順序では、加算は指数、n乗根、乗算、除算よりも優先順位が低く、減算と同じ優先順位が与えられます。[ 28 ]
どんな数にゼロを加えても、その数は変わりません。言い換えれば、ゼロは加算の単位元であり、加法単位元とも呼ばれます。記号で表すと、すべての数に対して、ゼロは加算の単位元です。、1つは[ 27 ] この法則は、西暦628年にブラフマグプタの『ブラフマスプタシッダーンタ 』で初めて確認されたが、彼はそれを3つの別々の法則として記述しており、ゼロは負、正、またはゼロそのものであると定義し、代数記号ではなく言葉を用いた。後に、他のインドの数学者たちがこの概念を洗練させた。830年頃、マハーヴィーラは「ゼロはそれに加えられたものと同じになる」と記し、これは単項命題に対応する。12 世紀、バースカラは「数字の加算または減算において、正負の量は変わらない」と記した。これは単項命題に対応する。[ 29 ]
整数の文脈では、1の加算も特別な役割を果たします。任意の整数に対して、整数より大きい最小の整数はの後継者としても知られている例えば、3は2の次の数であり、7は6の次の数です。この連続性により、また、-の の 後継者これにより、加算は反復的な連続となる。例えば、6 + 2は 8 である。なぜなら、8 は 7 の後継数であり、7 は 6 の後継数であるため、8 は 6 の 2 番目の後継数となるからである。[ 30 ]
単位付きの物理量を数値的に加算するには、それらを共通の単位で表す必要があります。[ 31 ]例えば、50 ミリリットルに150 ミリリットルを加えると200 ミリリットルになります。しかし、5フィートの長さ を2インチ延長すると、 60インチは5フィートと同義なので、 合計は62インチになります。一方、3メートルと4平方メートルを加算しようとするのは通常意味がありません。これらの単位は比較できないからです。このような考察は次元解析の基本です。[ 32 ]
1980年代頃から始まった数学的発達に関する研究では、慣れという現象が利用されてきた。乳児は予期しない状況をより長く見つめる。[ 33 ] 1992年にカレン・ウィンが行った、スクリーン越しにミッキーマウスの人形を操作する画期的な実験では、生後5ヶ月の乳児は1 + 1が2になることを期待しており、物理的な状況が1 + 1が1または3であることを示唆しているように見える場合、比較的驚くことが示された。この発見はその後、さまざまな方法論を使用するさまざまな研究室によって確認されている。[ 34 ] 1992年の別の実験では、18ヶ月から35ヶ月の幼児を対象に、箱からピンポン玉を取り出させることで運動制御の発達を利用した。最年少の幼児は小さな数に対してはよく反応したが、年長の被験者は5までの合計を計算することができた。[ 35 ]
非ヒト動物の中にも、特に霊長類には、限られた範囲で加算能力を示すものがある。1995年に行われた、ウィンの1992年の結果を模倣した実験（ただし人形の代わりにナスを使用）では、アカゲザルとワタボウシタマリンは人間の乳児と同様の成績を示した。さらに劇的な例として、アラビア数字の0から4の意味を教えられたチンパンジー1頭は、それ以上の訓練なしに2つの数字の合計を計算することができた。[ 36 ]最近では、アジアゾウが基本的な算術を実行する能力を示した。[ 37 ]
通常、子どもはまず数えることを習得します。2つまたは3つのものを組み合わせる必要がある問題を与えられたとき、幼い子どもは、多くの場合指や絵などの物理的な物を使って状況をモデル化し、合計を数えます。経験を積むにつれて、「数え上げ」の戦略を学んだり発見したりします。2 + 3 を求めると、子どもは 2 の後に 3 を数え、「3、4、5」（通常は指を数えながら）と言い、 5に到達します。この戦略はほぼ普遍的であるようで、子どもは仲間や教師から簡単に学ぶことができます。[ 38 ]ほとんどの子どもはこれを自力で発見します。さらに経験を積むと、子どもは加算の交換法則を利用して、より大きな数から数え上げ、この場合は 3 から始めて「4、5」と数えることで、より速く加算することを学びます。最終的に、子どもは経験または丸暗記によって、特定の加算の事実（「数の結合」）を思い出し始めます。いくつかの事実が記憶に定着すると、子どもは既知の事実から未知の事実を導き出すようになります。例えば、6と7を足すように言われた子供は、6 + 6 = 12であることを知っていて、 6 + 7は1つ増えて13であると推論するかもしれません。 [ 39 ]このような推論事実は非常に素早く見つけることができ、ほとんどの小学生は最終的に、記憶した事実と推論事実を組み合わせて流暢に足し算をするようになります。[ 40 ]
国によって整数と算数を導入する年齢は異なり、多くの国では就学前に足し算を教えている。[ 41 ]しかし、世界中で足し算は小学校1年生の終わりまでに教えられる。[ 42 ]
1桁の数字（0から9までの数字）のペアを足し合わせる能力は、10進法で任意の数を足し合わせるための前提条件です。足し合わせる2桁の数字それぞれに10通りの選択肢があるため、1桁の「足し算の事実」は100通りあり、足し算表にまとめることができます。[ 43 ]
1桁の足し算を流暢かつ正確に計算することを学ぶことは、算数の初期段階の学習における主要な焦点です。生徒は足し算の表全体を丸暗記するように促されることもありますが、パターンに基づいた戦略の方が一般的に啓発的で、ほとんどの人にとってより効率的です。[ 44 ]
生徒は成長するにつれて、より多くの事実を記憶し、他の事実を迅速かつ流暢に導き出すことを学びます。多くの生徒はすべての事実を記憶することはありませんが、基本的な事実はすぐに見つけることができます。[ 40 ]
多桁の数を加算する標準的なアルゴリズムは、加数を縦に揃え、右端の1の位から始めて上記の加算表を使用して各桁を加算することです。ある桁の結果が9を超える場合、余分な桁は次の桁に「繰り上がり」ます。たとえば、次の図では、 59 + 27の加算の1の位は9 + 7 = 16 であり、桁の1が繰り上がりです。[ 46 ]別の戦略として、左端の最上位桁から加算を開始する方法があります。この方法では繰り上がりが少し面倒になりますが、合計のおおよその値を取得するのが速くなります。[ b ]
小数の加算は、上記の手順を少し変更することで行えます。2つの小数を同じ位置に小数点を合わせて上下に並べます。必要に応じて、短い小数に末尾のゼロを追加して、長い小数と同じ長さにします。最後に、上記と同じ加算手順を実行しますが、小数点の位置は、加算対象の小数点と同じ位置に答えに置きます。[ 48 ]例として、45.1 + 4.34 は次のように計算できます。
4 5 . 1 0 + 0 4 . 3 4 ———————————— 4 9 . 4 4
科学的記数法では、数値は次の形式で表記されます。、 どこは有効数字であり、は指数部分です。科学的記数法で数を加えるには、同じ指数で表す必要があります。そうすれば、2 つの仮数を単純に足し合わせることができます。[ 49 ]
例えば：
他の基数での加算は、10進数の加算と非常によく似ています。例として、2進数での加算を考えてみましょう。[ 50 ] 1桁の2進数の2つの加算は、繰り上がりの形式を用いることで比較的簡単に行えます。 2つの「1」を足すと「0」になりますが、次の桁には1を足さなければなりません。これは、1桁の数字を足し合わせたときに10進数で起こることと似ています。結果が基数（10）以上の場合、左の桁が1つ増えます。
これは繰り上がりとして知られています。[ 51 ]加算の結果が桁の値を超える場合、超過分を基数で割った値（つまり、10/10）を左に「繰り上げ」、次の桁の値に加える手順です。次の桁の重みは基数と同じ係数だけ大きいため、これは正しいです。繰り上がりは2進数でも同じように機能します。
アナログコンピュータは物理量を直接扱うため、加算機構は加数の形式に依存します。機械式加算器では、2 つの加数をスライドブロックの位置として表現することができ、その場合は平均化レバーで加算できます。加数が 2 つのシャフトの回転速度である場合は、差動で加算できます。油圧式加算器は、ニュートンの第 2 法則を利用してピストンアセンブリにかかる力を釣り合わせることで、 2 つのチャンバー内の圧力を加算できます。汎用アナログコンピュータで最も一般的な状況は、2 つの電圧(接地基準) を加算することです。これは抵抗ネットワークで大まかに実現できますが、より優れた設計では演算増幅器を利用します。[ 52 ]
加算はデジタルコンピュータの動作においても基本であり、加算の効率、特にキャリー機構は全体的なパフォーマンスの重要な制約となる。[ 53 ]
そろばん（計算枠とも呼ばれる）は、現代の数字体系が採用される何世紀も前から使われていた計算ツールであり、現在でもアジア、アフリカ、その他の地域の商人、貿易商、事務員によって広く使われています。その起源は少なくとも紀元前2700～2300年にシュメール で使われていた時代に遡ります。[ 54 ]
ブレーズ・パスカルは1642年に機械式計算機を発明しました。[ 55 ]これは最初の実用的な加算機でした。パスカルの計算機は、重力補助キャリー機構によって制限されており、加算を行うには歯車が一方向にしか回転できませんでした。減算を行うには、オペレーターはパスカルの計算機の補数を使用する必要があり、加算と同じ数のステップが必要でした。[ 56 ]ゴットフリート・ライプニッツは、別の機械式計算機であるステップ式計算機を1694年に完成させ、ジョヴァンニ・ポレーニは1709年に木製の計算時計でその設計を改良し、4つの算術演算すべてを実行できるようにしました。これらの初期の試みは商業的には成功しませんでしたが、19世紀の後の機械式計算機に影響を与えました。[ 57 ]
加算器は電子デジタルコンピュータで整数加算を実行します。通常はバイナリ演算を使用します。最も単純なアーキテクチャはリップルキャリー加算器で、標準的な多桁アルゴリズムに従います。わずかな改良として、キャリースキップ設計があり、これも人間の直感に従います。999 + 1 を計算する際にすべてのキャリーを実行するのではなく、9 のグループをスキップして答えにスキップします。[ 58 ]
実際には、計算上の加算は、ビットシフト演算と組み合わせたビット単位の論理演算であるXORおよびANDによって実現できます。XOR ゲートと AND ゲートはどちらもデジタル論理で簡単に実現できるため、全加算器回路を実現でき、さらにそれらを組み合わせてより複雑な論理演算にすることができます。現代のデジタルコンピュータでは、整数加算は通常最も高速な算術命令ですが、すべての浮動小数点演算や、メモリアクセス時のアドレス生成、分岐時の命令フェッチなどの基本的なタスクの基礎となるため、パフォーマンスに最も大きな影響を与えます。速度を向上させるために、現代の設計では桁を並列に計算します。これらの方式は、キャリー選択、キャリー先読み、Ling擬似キャリーなどと呼ばれます。実際、多くの実装は、これら 3 つの設計のハイブリッドです。[ 59 ]
1950年代後半から1960年代前半にかけての10進数コンピュータの中には、加算器の代わりに加算テーブルを使用するものもあった。例えば、RCA 301 [ 60 ] 、 IBM 1620 [ 61 ]などである。
コンピュータ上で実装される算術演算は、さまざまな点で数学的な理想から逸脱する可能性があります。たとえば、加算の結果がコンピュータに格納するには大きすぎる場合、算術オーバーフローが発生し、エラー メッセージや誤った答えが発生します。予期しない算術オーバーフローは、プログラム エラーのかなり一般的な原因です。このようなオーバーフロー バグは、検証テストで使用される可能性が低い非常に大きな入力データセットでのみ顕在化する場合があるため、発見および診断が困難な場合があります。[ 62 ] 2000 年問題は、年を 2 桁の形式で使用したことが原因でオーバーフロー エラーが発生した一連のバグでした。[ 63 ]
コンピュータには、浮動小数点演算と呼ばれる別の数値表現方法があり、これは上述の科学的記数法に似ており、オーバーフローの問題を軽減します。各浮動小数点数は、指数部と仮数部の 2 つの部分から構成されます。2 つの浮動小数点数を加算するには、指数部を一致させる必要があり、これは通常、小さい方の数値の仮数部をシフトすることを意味します。大きい数値と小さい数値の差が大きすぎると、精度が失われる可能性があります。多数の小さい数値を大きな数値に加算する場合は、小さい数値を 1 つずつ大きな数値に加算するのではなく、まず小さい数値をまとめて加算し、その合計を大きな数値に加算するのが最善です。このため、浮動小数点加算は一般的に非結合的です。[ 64 ]
加法の通常の性質を証明するには、まず問題となっている文脈における加法を定義する必要があります。加法はまず自然数上で定義されます。集合論では、加法は自然数を含むより大きな集合、すなわち整数、有理数、実数へと段階的に拡張されます。[ 65 ]数学教育では、[ c ]負の数を考慮する前に正の分数が加算されます。これは歴史的な流れでもあります。[ 67 ]
2つの自然数の和を定義する一般的な方法は2つあります。そして自然数を有限集合の濃度（集合の濃度とは集合内の要素の数）と定義する場合、それらの和を次のように定義するのが適切である。[ 68 ]
させて集合の濃度とする互いに素な2つの集合を取ります。そして、 とそして。 それからは次のように定義される。、 どこ結合を意味するそして…
もう一つの一般的な定義は再帰的である：[ 69 ]
させての後継者となるつまり、次の数字です自然数では、、。 定義する一般和を再帰的に定義するしたがって。
繰り返しになるが、文献にはこの定義に若干のバリエーションが存在する。文字通りに解釈すれば、上記の定義は半順序集合に対する再帰定理の適用である。[ 70 ]一方、自然数の集合にのみ適用される制限付き再帰定理を使用することを好む資料もある。次に、一時的に「修正」するために、再帰を適用します関数を定義する」、そしてこれらの単項演算をすべてのこれらを組み合わせることで完全な二項演算が成立する。[ 71 ]
この再帰的な加法定式化は、1854年にはすでにデデキントによって開発されており、彼はその後数十年にわたってそれを拡張していった。彼は数学的帰納法によって、結合法則や交換法則などの性質を証明した。[ 72 ]
整数の最も単純な概念は、絶対値（自然数）と符号（一般に正または負）から構成されるというものです。整数ゼロは、正でも負でもない特別な第3のケースです。対応する加算の定義は、場合分けして行う必要があります。[ 73 ]
整数の場合、 させてをその絶対値とする。そして整数である。またはがゼロの場合は、それを恒等式として扱います。そして両方とも正であり、定義する。 もしそして両方とも負であり、定義する。 もしそして異なる記号を持ち、定義する違いとなるそして絶対値が大きい方の項の符号を用いる。
例えば、−6 + 4 = −2となります。−6 と 4 は符号が異なるため、絶対値が引き算されます。負の項の絶対値の方が大きいため、答えは負になります。
この定義は具体的な問題には役立つかもしれないが、考慮すべきケースの数が証明を不必要に複雑にする。そのため、整数を定義するには次の方法が一般的に用いられる。これは、すべての整数は2つの自然整数の差であり、そのような2つの差は、そして等しいのは、したがって、整数は同値関係の下での自然数の順序対の同値類として形式的に定義できる。かつその場合に限り[ 74 ]同値類含まれるもし、 またはそうでない場合。が自然数である場合、次のように表すことができる。同値類、そして同値類これにより自然数を特定できます。同値類と共に。
順序対の加算は成分ごとに行われます: [ 75 ] 簡単な計算により、結果の同値類は加数の同値類のみに依存することが示され、したがってこれは同値類、すなわち整数の加算を定義する。[ 76 ]別の簡単な計算により、この加算は上記のケース定義と同じであることが示される。
有理数の加算には分数が含まれます。最小公倍数を用いて計算することもできますが、概念的に単純な定義としては、整数の加算と乗算のみを用いる方法があります。 例えば、合計[ 77 ]
分数の足し算は、分母が同じ場合、はるかに簡単になります。この場合、分母はそのままにして分子だけを足せばよいのです。 それで[ 77 ]
有理数の加算の交換法則と結合法則は、整数の算術法則から容易に導かれる結果である。[ 78 ]
実数の集合の一般的な構成は、有理数の集合のデデキント完備化です。実数は、有理数のデデキントカットとして定義されます。つまり、下に閉じられ、最大元を持たない空でない有理数の集合です。実数aとbの和は、要素ごとに次のように定義されます。[ 79 ]この定義は、 1872 年にリヒャルト・デデキント によって若干修正された形で初めて発表されました。[ 80 ] 実数の加法の可換性と結合性はすぐにわかります。実数 0 を負の有理数の集合として定義すると、加法単位元であることが容易にわかります。おそらく、加法に関するこの構成の中で最も難しい部分は、加法逆元の定義です。[ 81 ]
残念ながら、デデキントカットの乗算を扱うのは、符号付き整数の加算と同様に、ケースバイケースで時間のかかるプロセスです。[ 82 ]別のアプローチは、有理数の計量完備化です。実数は、本質的に有理数のコーシー列の極限として定義されます。加算は項ごとに定義されます: [ 83 ] この定義は、ゲオルク・カントールによって1872年に初めて発表されましたが、彼の形式は若干異なっていました。[ 84 ] この演算がコーシー列を扱う上で適切に定義されていることを証明する必要があります。この作業が完了すると、実数の加算のすべての性質は、有理数の性質から直ちに導かれます。さらに、乗算を含む他の算術演算も、同様の定義が容易に得られます。[ 85 ]
複素数は、被加数の実部と虚部を足し合わせることによって加算されます。[ 86 ] [ 87 ]つまり、次のようになります。
複素平面における複素数の視覚化を用いると、加算には次のような幾何学的解釈ができます。複素平面上の点として解釈される2つの複素数AとBの和は、 3つの頂点がO、A、Bである平行四辺形を構築することによって得られる点Xです。[ 88 ]
多くの二項演算は、実数における加算演算の一般化とみなすことができる。代数学は、このような一般化された演算を主要な研究対象としており、集合論や圏論にもこれらの演算が登場する。
群論において、群とは任意の2つの要素を合成できる代数構造である。順序が関係ない特殊な場合、合成演算子は加算と呼ばれることもある。このような群はアーベル群または可換群と呼ばれ、合成演算子はしばしば「+」と表記される。[ 89 ]
線形代数において、ベクトル空間とは、任意の2つのベクトルの加算とベクトルのスケーリングを可能にする代数構造である。よく知られたベクトル空間は、実数のすべての順序対の集合である。は、ユークリッド平面上の原点から点へのベクトルとして解釈される。平面上において、2つのベクトルの和は、それぞれの座標を足し合わせることによって得られます。 この加算演算は、速度、加速度、力がすべてベクトルで表される古典力学の中心となるものである。 [ 90 ]
行列の加算は、同じ次元の 2 つの行列に対して定義されます。2 つのm × n (「m by n」と発音) 行列AとBの和は、A + Bと表記され、対応する要素を加算することによって計算されるm × n行列になります。 [ 91 ] [ 92 ]
例えば：
モジュラー算術では、使用可能な数値の集合は整数の有限部分集合に制限され、加算はモジュラスと呼ばれる特定の値に達すると「一周」します。[ 93 ]例えば、モジュロ12の整数の集合は12個の要素を持ち、音楽集合論の中心となる整数からの加算演算を継承します。[ 94 ]モジュロ2の整数の集合は 2個の要素しか持ちません。継承する加算演算は、ブール論理では「排他的論理和」関数として知られています。[ 95 ]同様の「一周」演算は幾何学にも現れ、 2つの角度の測定値の和は、しばしば2πを法とする実数としてのそれらの和として扱われます。これは円上 の加算演算に相当し、さらに高次元リー群の演算に一般化されます。[ 96 ]
抽象代数学の一般理論では、「加算」演算は集合上の任意の結合法則と可換法則を満たす演算とすることができる。このような加算演算を持つ基本的な代数構造には、可換モノイドやアーベル群などがある。[ 97 ]
線形結合は乗算と加算を組み合わせたもので、各項に乗数（通常は実数または複素数）が付いた和です。線形結合は、ゲーム理論における戦略の混合や量子力学における状態の重ね合わせなど、単純な加算では正規化規則に違反するような状況で特に役立ちます。[ 98 ]
自然数の加算の広範な一般化として、集合論における順序数と基数の加算があります。これらは、超限への自然数の加算の 2 つの異なる一般化を与えます。ほとんどの加算演算とは異なり、順序数の加算は可換ではありません。[ 99 ]しかし、基数の加算は、互いに素な和集合演算と密接に関連する可換演算です。[ 100 ]
圏論では、非交和は余積演算の特殊なケースと見なされており、[ 101 ]一般的な余積はおそらく加算の一般化の中で最も抽象的なものです。直和などの余積は、加算との関連性を想起させるように名付けられています。[ 102 ]
減法は一種の加算、つまり加法逆数の加算と考えることができる。減法自体も加算の逆であり、加算は減法である。そして引き算は逆関数である。[ 103 ]加算演算を持つ集合が与えられた場合、その集合に対応する減算演算を常に定義できるとは限らない。自然数の集合は簡単な例である。一方、減算演算は加算演算、加法逆演算、加法単位元を一意に決定する。このため、加法群は減算に関して閉じている集合として記述できる。[ 104 ]
乗算は繰り返し加算と考えることができます。回、合計は、およびx 。ただし、これは自然数にのみ有効です。[ 105 ]一般的に定義すると、乗算とは、乗数と被乗数と呼ばれる 2 つの数の間の演算であり、これらを組み合わせて積と呼ばれる 1 つの数にします。[ 106 ]
実数と複素数では、指数関数によって加算と乗算を相互に置き換えることができます。[ 107 ]この恒等式により、対数表を参照し、手計算で加算を行うこと で乗算を実行できます。また、計算尺を使った乗算も可能です。この式は、リー群の広い文脈では依然として優れた一次近似であり、無限小群要素の乗算と関連するリー代数のベクトルの加算を関連付けます。[ 108 ]
乗法には加算よりもさらに多くの一般化が存在する。[ 109 ]一般に、乗法演算は常に加算に対して分配法則を満たす。この要件は環の定義において形式化されている。場合によっては、整数、加算に対する分配法則、および乗法単位元の存在だけで乗法演算を一意に決定できる。分配法則は加算演算に関する情報も提供する。積を展開することでどちらの方法でも、加算は可換でなければならないという結論に至る。このため、環の加算は一般に可換である。[ 110 ]
除算は、足し算と間接的に関連のある算術演算です。除算は加法に対して正しい分配法則である。[ 111 ]しかし、除算は加算に対して左分配法則を満たさない。は、[ 112 ]
最大動作は加算に似た二項演算です。実際、2 つの非負の数の場合そしては異なる桁数を持つが、それらの和はおおよそそれらの最大値に等しい。この近似は、例えばテイラー級数の打ち切りなど、数学の応用において非常に有用である。しかし、「max」は逆関数を持たないため、数値解析において常に困難を伴う。よりはるかに大きいすると、単純な計算で許容できない丸め誤差が蓄積され、場合によってはゼロを返す可能性があります。重要度の喪失も参照してください。[ 64 ]
近似は一種の無限極限で正確になる。またはは無限基数であり、それらの基数和は2つのうち大きい方と正確に等しい。[ d ]したがって、無限基数には減算演算は存在しない。[ 114 ]
最大化は、加算と同様に交換法則と結合法則を満たします。さらに、加算は実数の順序を保持するため、乗算が加算に対して分配法則を満たすのと同様に、加算も「max」に対して分配法則を満たします。 これらの理由から、トロピカル幾何学では乗算を加算に、加算を最大化に置き換えます。この文脈では、加算は「トロピカル乗算」、最大化は「トロピカル加算」と呼ばれ、トロピカル「加法単位元」は負の無限大です。[ 115 ]一部の著者は加算を最小化に置き換えることを好み、その場合、加法単位元は正の無限大になります。[ 116 ]
これらの観察結果をまとめると、熱帯加算は対数を通して通常の加算とほぼ関連している。 対数の底が大きくなるにつれて精度は向上する。[ 117 ]定数を抽出することで近似を厳密にすることができる。量子力学のプランク定数になぞらえて名付けられ、[ 118 ]「古典的極限」を次のように定義する。ゼロに近づく： この意味で、最大演算は加算の非量子化バージョンである。[ 119 ]
畳み込みは、分布関数によって定義される2 つの独立した確率変数を加算するために使用されます。その通常の定義は、積分、減算、および乗算を組み合わせたものです。[ 120 ]
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\[8mu]&={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb036aa8422068315b882ad5a5b7d02f40f057d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3\\1&0\\1&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\\7&5\\2&1\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}1+0&3+0\\1+7&0+5\\1+2&2+1\end{bmatrix}}\\[8mu]&={\begin{bmatrix}1&3\\8&5\\3&3\end{bmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddc9dbb423d947a48a13619bf1c0d8cf527fe5c)
