言葉による算数

言語算術は、アルファメティックス、 暗号算術、暗号算数、または単語加算とも呼ばれ、数字がアルファベットの文字で表された未知の数字の数式で構成される数学ゲームの一種です。目標は、各文字の値を識別することです。この名前は、文字の代わりにアルファベット以外の記号を使用するパズルにも適用されます。

方程式は、通常、加算、乗算、除算などの算術の基本演算です。1924年7月発行のStrand MagazineでHenry Dudeneyによって発表された古典的な例^[1]は次のとおりです。

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}}$

このパズルの解は、O = 0、M = 1、Y = 2、E = 5、N = 6、D = 7、R = 8、S = 9 です。

伝統的に、各文字は異なる数字を表す必要があり、（通常の算術表記法として）複数桁の数字の先頭の桁はゼロであってはなりません。優れたパズルには 1 つの固有の解答があり、文字は（上記の例のように）フレーズを構成する必要があります。

言葉による算数は、初等代数の指導における動機付けや練習の源として役立ちます。

暗号算数パズルは非常に古く、発明者は不明である。1864年にThe American Agriculturist ^{[2]に掲載された例は、}サム・ロイドが発明したという通説を否定している。暗号算数という名前は、パズル作成者のミノス（サイモン・ヴァトリカンのペンネーム）が1931年5月号のベルギーの娯楽数学雑誌Sphinxで作ったもので、1942年にモーリス・クライチクが「暗号算数」と翻訳した^{。[3] 1955年にJAHハンターは、文字が意味のある}単語やフレーズ を形成するデュドニーの暗号算数などを指すために「アルファメティック」という単語を導入した。^[4]

暗号の種類には、英数字暗号、数字暗号、骨格暗号などがあります。

アルファベット順

一連の単語を長い加算の合計またはその他の数学の問題の形式で書き記す暗号の一種。目的は、アルファベットの文字を 10 進数に置き換えて有効な算術合計を作成することです。

デジメティック

数字を使用して他の数字を表す暗号。

骨格分割

ほとんどまたはすべての数字を記号 (通常はアスタリスク) に置き換えて暗号演算を作成する長い除算。

暗号を手作業で解くには、通常、推論と徹底的な可能性のテストの組み合わせが必要です。たとえば、次の推論のシーケンスは、上記の Dudeney の SEND+MORE = MONEY パズルを解きます (列は右から左に番号が付けられています)。

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{S}}&{\text{E}}&{\text{N}}&{\text{D}}\\+&&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{R}}&{\text{E}}\\\hline =&{\text{M}}&{\text{O}}&{\text{N}}&{\text{E}}&{\text{Y}}\\\end{matrix}}}$

1. 列 5 からは、列 4 の 2 つの 1 桁の数字の合計から繰り上がりが可能なのはこれが唯一であるため、 M = 1となります。
2. 5 列目に繰り上がりがあるため、O は M (4 列目) 以下である必要があります。しかし、O は M と等しくなることはできないため、O は M より小さくなります。したがって、O = 0です。
3. O は M より 1 少ないので、列 4 に繰り上がりがあるかどうかによって、S は 8 または 9 になります。ただし、列 4 に繰り上がりがある場合 (列 3 の加算によって生成)、N は O 以下になります。O = 0 なので、これは不可能です。したがって、列 4 には繰り上がりがなく、S = 9になります。
4. 3 列目に繰り上がりがない場合は E = N となりますが、これは不可能です。したがって、繰り上がりがあり、N = E + 1 となります。
5. 2 列目に繰り上がりがなかった場合、 ( N + R ) mod 10 = E であり、 N = E + 1 なので、 ( E + 1 + R ) mod 10 = E となり、これは ( 1 + R ) mod 10 = 0 を意味し、 R = 9 となります。 しかし、 S = 9 なので、2 列目に繰り上がりがあるはずなので、R = 8となります。
6. 列 2 で繰り上がりを生成するには、D + E = 10 + Y である必要があります。
7. Y は少なくとも 2 なので、D + E は少なくとも 12 です。
8. 合計が 12 以上になる数字のペアは (5,7) と (6,7) の 2 つだけなので、E = 7 または D = 7 になります。
9. N = E + 1 なので、 E は 7 にはなりません。その場合、 N = 8 = R となり、D = 7となります。
10. E は 6 にはなれません。その場合、 N = 7 = D となり、E = 5、N = 6となります。
11. D + E = 12なので、Y = 2です。

TO+GO=OUT の別の例 (出典は不明):

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\text{T}}&{\text{O}}\\+&&{\text{G}}&{\text{O}}\\\hline =&{\text{O}}&{\text{U}}&{\text{T}}\\\end{matrix}}}$

1. 2 つの最大の 2 桁の数字の合計は 99+99=198 です。したがって、O=1となり、列 3 に繰り上がりがあります。
2. 列 1 は他のすべての列の右側にあるため、繰り上がりは発生しません。したがって、1+1=T、T=2です。
3. 列 1 は最後のステップで計算されているので、列 2 には繰り上がりがないことがわかります。しかし、最初のステップで列 3 に繰り上がりがあることもわかっています。したがって、2+G≥10 です。G が 9 に等しい場合、U は 1 になりますが、O も 1 に等しいため、これは不可能です。したがって、G=8のみが可能であり、2+8=10+U で、U=0となります。

モジュラー演算を使用すると、多くの場合役立ちます。たとえば、mod-10 演算を使用すると、加算問題の列を連立方程式として扱うことができ、mod-2 演算を使用すると、変数の 偶奇性に基づいた推論が可能になります。

コンピュータサイエンスでは、暗号算法は、ブルートフォース法や、n 個の可能性からm個の選択肢のすべての順列を生成するアルゴリズムを示す良い例です。たとえば、上記の Dudeney パズルは、0 から 9 までの数字の 8 つの値を S、E、N、D、M、O、R、Y の 8 つの文字にすべて割り当てることで解くことができ、1,814,400 通りの可能性が得られます。また、アルゴリズム設計 のバックトラッキングパラダイムの良い例でもあります。

任意の基数に一般化すると、暗号が解を持つかどうかを判断する問題はNP完全である。^[6]（10進数では数字を文字に割り当てる方法は10!通りしかなく、これをパズルに対して線形時間でチェックできるため、困難性の結果には一般化が必要である。）

Alphametics は、数独やカックロなどの他の数字パズルと組み合わせて、難解な数独やカックロを作成することができます。

アントン・パヴリスは 1983 年に 41 個の加数を持つアルファメティックを構築しました。

非常に多くの男性がそう言っているようだ

彼らはすぐに家に留まろうとするかもしれない

同じものを見たり聞いたりするのと同じように

男はチームに会うために努力する

月は他の10人と同じように

=テスト

（答えはMANYOTHERS=2764195083です。）^[7]

• ディオファントス方程式
• 数学パズル
• 順列
• パズル
• ウェイサイドスクールの横向き算数- パズルを中心に展開する本
• 暗号文

• マーティン・ガードナー『数学、魔法、そして謎』ドーバー（1956年）
• 『Journal of Recreational Mathematics』には、定期的なアルファメティックスコラムが掲載されていました。
• ジャック・ファン・デル・エルセン、アルファメティクス。マーストリヒト (1998)
• Kahan S., 「Have some sums tosolve: The complete alphametics book」、Baywo​​od Publishing、(1978)
• ブルック・M. 暗号算術における150のパズル。ニューヨーク：ドーバー、（1963年）
• Hitesh Tikamchand Jain、「ABC of Cryptarithmetic/Alphametics」インド(2017)

• Matlabコードとチュートリアルを使用したソリューション
• カット・ザ・ノットの暗号
• Weisstein、Eric W.「Alphametic」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「Cryptarithmetic」。MathWorld。
• アルファベットと暗号

• アルファベット順ソルバー！
• アルファベットパズルソルバー
• 暗号算数の問題を解くAndroidアプリ
• Python で書かれたアルファベット順ソルバー
• アルファベットと暗号を作成して解くオンラインツール
• アルファベットの解法、作成、保存、検索を行うオンラインツール - 4000以上の英語のアルファベットの解法が利用可能