掛け算と繰り返し加算

数学教育では、掛け算を繰り返し加算の一形態として教えるべきかどうかという問題について議論がありました。議論の参加者は、算数の公理、教育学、学習と指導の設計、数学の歴史、数学の哲学、コンピューターベースの数学など、さまざまな視点を提示しました。

1990年代初頭、レスリー・ステッフェは、子供たちが掛け算を数学の知識に取り入れるために使用するカウントスキームを提案しました。ジェレ・コンフリーは、カウントスキームと分割予想を対比しました。コンフリーは、カウントと分割は2つの独立した認知プリミティブであると示唆しました。これは、会議のプレゼンテーション、記事、本の章の形で学術的な議論を引き起こしました。^[1]

この議論は、数学の課題の拡大縮小、ズーム、折りたたみ、測定を重視するカリキュラムが幼少期に広く普及したことに端を発しています。このような課題は、数え上げや繰り返し加算に基づかない乗算モデルを必要とし、またサポートします。「乗算は本当に繰り返し加算なのか?」という疑問をめぐる議論は、1990 年代半ばに保護者と教師のディスカッション フォーラムで取り上げられました。^[要出典]

キース・デブリンは、以前の記事でこの話題について簡単に触れた後、教師たちとの電子メールのやり取りをフォローアップして、アメリカ数学協会に「繰り返し加算ではない」というコラムを書いた。 ^[2]このコラムは、学術的な議論と実務家の議論を結び付けた。それは、研究、実務家のブログ、フォーラムで複数の議論を引き起こした。キース・デブリンはこの話題について執筆を続けている。^{[3] [4] [5]}

Common Core State Standards Initiativeなどの典型的な数学のカリキュラムと基準では、実数の積の意味は、一般的に繰り返し加算から始まり、最終的にはスケーリングに至る一連の概念を段階的に説明します。

自然数（または整数）が定義され、数えるための手段として理解されると、子供は加算、減算、乗算、除算の順序で算数の基本操作を学びます。これらの操作は、子供の数学教育の非常に早い段階で導入されますが、高度な数値能力として生徒の数感覚の発達に永続的な影響を及ぼします。

これらのカリキュラムでは、繰り返し加算に関連する質問が出された直後に乗算が導入されます。たとえば、「リンゴが 8 個ずつ入った袋が 3 つあります。リンゴは全部で何個ありますか?」などです。生徒は次のことができます。

${\displaystyle 8+8+8=24,}$

または代替案を選択する

${\displaystyle 3\times 8=24.}$

このアプローチは、数年にわたる教育と学習で支持されており、掛け算は単に^{[引用が必要]}より効率的な加算方法であるという認識を確立しています。0が導入されると、大きな変化は起こりません。

${\displaystyle 3\times 0=0+0+0,}$

これは0であり、交換法則により次のように定義される。

${\displaystyle 0\times 3=0.}$

したがって、繰り返し加算は整数（0、1、2、3、4、...）にまで拡張されます。掛け算は繰り返し加算であるという信念に対する最初の挑戦は、生徒が分数を扱い始めるときに現れます。数学的な観点から見ると、繰り返し加算としての掛け算は分数にまで拡張できます。たとえば、

${\displaystyle 7/4\times 5/6}$

は文字通り「6分の5の4分の1と3」を求めている。これは後で重要になる。なぜなら、文章題では「の」という単語は通常、掛け算を表すと生徒に教えられるからである。しかし、この拡張は多くの生徒にとって問題であり、分数が導入されると数学に苦戦し始める。^{[要出典]さらに、}無理数が関係してくる と、反復加算モデルを大幅に修正する必要がある。

これらの問題に関して、数学教育者は、分数や無理数を学ぶ前に長い間、掛け算を繰り返し加算するものと見なすことで、分数や無理数に関する生徒の困難が悪化するかどうか、また、それに関連して、小学校教育のために厳密な数学を大幅に変更し、後で誤りであることが判明する発言を子供たちに信じ込ませることが許容されるかどうかについて議論してきました。

掛け算の学習に関する理論の 1 つは、両世界大戦間のソビエト連邦で活動していたヴィゴツキーサークルのロシアの数学教育者たちの研究に由来しています。彼らの貢献は分割予想として知られています。

掛け算の学習に関するもう一つの理論は、掛け算の根底にあるメタファーを調べた 具体化された認知を研究する人々から派生したものです。

これらの調査は、幼児向けの「本質的に掛け算的な」課題を含むカリキュラムのインスピレーションとなりました。^[要出典]これらの課題の例には、弾性ストレッチ、ズーム、折りたたみ、影の投影、または影の落下などがあります。これらの課題は、数えることに依存せず、繰り返し加算という観点で簡単に概念化することはできません。

これらのカリキュラムに関連する議論の課題には以下のものがあります。

乗算は自然数に対して定義されることが多く、その後、整数、分数、無理数に拡張されます。ただし、抽象代数では、乗算は数値である場合もそうでない場合もあるいくつかのオブジェクトに対する二項演算として、より一般的に定義されます。特に、複素数、ベクトル、行列、四元数を乗算できます。一部の教育者[要出典]は^{、初等教育}中に乗算を繰り返しの加算としてのみ見ることは、後で乗算のこれらの側面を理解するのを妨げる可能性があると考えています。

数学教育の文脈では、モデルとは抽象的な数学的概念を具体的に表現したもので、その概念の本質的な性質の一部またはすべてを反映したものです。モデルは多くの場合、物理的または仮想的な教具や、それに付随するカリキュラム教材として開発されます。

乗算と反復加算に関する議論の一部は、異なるモデルとそのカリキュラム教材の比較です。異なるモデルは、異なるタイプの数の乗算をサポートする場合とサポートしない場合があります。たとえば、^{数値がオブジェクトの集合として表され、乗算がそれぞれに同じ数のオブジェクトを含む複数の集合の和集合として表される}集合モデル[6]は、分数や実数の乗算には拡張できません。

異なるモデルは、算数の特定の応用にも関連する場合があります。たとえば、組み合わせモデルは確率と生物学で使用されます。