月の算術

ルナ算術は、以前はディズマル算術と呼ばれていましたが、^{[1] [2] は}、数字の加算と乗算を最大と最小の演算として定義する算術の一種です。したがって、ルナ算術では、

${\displaystyle 2+7=\max\{2,7\}=7}$そして${\displaystyle 2\times 7=\min\{2,7\}=2.}$

非負の多桁数に対する月算術演算は、次の例に示すように、通常の算術と同様に実行されます。月算術の世界は、非負の整数の集合に制限されます。

976 +
 348
 ----
 978 (列ごとに数字を加算)

    976 ×
    348
   ----
   876（976の数字を8倍する）
  444（976の数字を4倍する）
 333（976の数字を3倍する）
 ------
 34876 (列ごとに数字を加算)

月算術の概念は、デイヴィッド・アップルゲート、マーク・ルブラン、ニール・スローンによって提唱されました。^[3]

月算術の一般的な定義では、任意の基数 で表現された数値を考慮し、選択された基数に対応する数字に対する最大および最小の演算として月算術演算を定義します。^{[3]ただし、簡単にするために、以下の説明では、数値は}10を基数として表されていると仮定します。 ${\displaystyle b}$

月面活動の基本的な性質のいくつかを以下に挙げる。^[3]

1. 月の加算と乗算の演算は、交換法則と結合法則を満たします。
2. 月の増減は月の加算に分配されます。
3. 数字 0 は、太陰暦の加法のもとでは恒等数です。非ゼロの数は、太陰暦の加法のもとでは逆数を持ちません。
4. 数字 9 は、太陰暦の乗算では恒等数です。9 と異なる数字には、太陰暦の乗算では逆数はありません。

太陰暦の算術では、および であることに留意してください。偶数はという形式の数です。太陰暦の算術における最初のいくつかの異なる偶数は、以下にリストされています。 ${\displaystyle n+n\neq 2\times n}$${\displaystyle n+n=n}$${\displaystyle 2\times n}$

${\displaystyle 0,1,2,10,11,12,20,21,22,100,101,102,120,121,122,\ldots }$

これらはすべての桁が 2 以下である数字です。

平方数はという形式の数です。したがって、太陰暦の算術では、最初のいくつかの平方は次のようになります。 ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,100,111,112,113,114,115,116,117,118,119,200,\ldots }$

三角数はという形式の数です。最初のいくつかの三角月数は次のとおりです。 ${\displaystyle 1+2+\cdots +n}$

${\displaystyle 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,19,29,29,29,29,29,\ldots }$

月の算術では、階乗 の最初のいくつかの値は次のとおりです。 ${\displaystyle n!=1\times 2\times \cdots \times n}$

${\displaystyle 1,1,1,1,1,1,1,1,1,10,110,1110,11110,111110,1111110,\ldots }$

通常の算術では、素数はのみ因数分解できる数として定義されます。同様に、太陰暦算術では、素数はのみ因数分解できる数として定義されます。ここで、9 は乗法単位元であり、通常の算術では 1 に相当します。したがって、太陰暦算術の最初のいくつかの素数は次のとおりです。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle 1\times p}$${\displaystyle m}$${\displaystyle 9\times n}$

${\displaystyle 19,29,39,49,59,69,79,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,109,209,219,}$

${\displaystyle 309,319,329,409,419,429,439,509,519,529,539,549,609,619,629,639,\dots }$

形式 （ は任意）のすべての数は、太陰算術では素数です。は任意なので、太陰算術では素数が無限に存在することがわかります。 ${\displaystyle 10\ldots (n{\text{ ゼロ}})\ldots 09}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

非負整数の部分集合の和集合を形成する演算と二進数の月乗法の間には興味深い関係がある。と を非負整数の集合の空でない部分集合とする。和集合は次のように定義される。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle N}$${\displaystyle A+B}$

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,\,b\in B\}.}$

集合には、次のように一意の2進数を関連付けることができます。 とします。 に対して定義します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \beta (A)}$${\displaystyle m=\max(A)}$${\displaystyle i=0,1,\ldots ,m}$

${\displaystyle b_{i}={\begin{cases}1&{\text{if }}i\in A\\0&{\text{if }}i\notin A\end{cases}}}$

そして定義する

${\displaystyle \beta (A)=b_{m}b_{m-1}\ldots b_{0}.}$

証明されているのは

${\displaystyle \beta (A+B)=\beta (A)\times \beta (B)}$ここで右側の「 」は2進数の月乗法を表す。 ^[4]${\displaystyle \times }$

魔方陣は、数の平方によって形成される魔方陣です。通常の整数の加算と乗算で 3 次魔方陣が存在するかどうかは不明です。しかし、月の算術演算を考慮すると、3 次魔方陣は無限に存在することが観察されています。次に例を示します。^[2]

${\displaystyle {\begin{matrix}44^{2}&38^{2}&45^{2}\\46^{2}&0^{2}&28^{2}\\18^{2}&47^{2}&8^{2}\end{matrix}}}$

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