暗算

暗算は、鉛筆や紙などの道具や電卓などの機器を使わずに、人間の脳だけを使って算術 計算を行うことです。計算ツールが利用できない場合、他の計算手段（従来の教育機関の方法など）よりも速い場合、または競争的な状況でも、暗算が使用されることがあります。暗算では、特定の種類の問題のために考案された特定の手法が使用されることがよくあります。暗算を実行する能力が異常に高い人は、暗算者または電光計算機と呼ばれます。

これらのテクニックの多くは、 10 進数システムを利用または依存しています。

2 つのオペランドに算術演算を適用して結果を取得した後、次の手順を使用して結果の正確さに対する信頼性を高めることができます。

1. 最初のオペランドの数字を合計します。9 (または 9 になる数字のセット) はすべて 0 としてカウントされます。
2. 合計結果に 2 桁以上の数字が含まれる場合は、手順 1 と同様にそれらの数字を合計します。合計結果が 1 桁になるまでこの手順を繰り返します。
3. 2 番目のオペランドで手順 1 と 2 を繰り返します。この時点で、1 桁の数字が 2 つあり、最初の数字は最初のオペランドから導出され、2 番目の数字は 2 番目のオペランドから導出されます。^[a]
4. 元々指定された演算を 2 つの凝縮されたオペランドに適用し、演算の結果に桁の合計手順を適用します。
5. 元の計算で最初に得られた結果の数字を合計します。
6. ステップ 4 の結果がステップ 5 の結果と一致しない場合、元の回答は間違っています。2 つの結果が一致する場合、元の回答が正しい可能性がありますが、必ずしも正しいとは限りません。

例

• 6,338 × 79 の計算を手動で実行した結果、500,702 という結果が得られたと仮定します。

1. 6,338 の数字を合計します: (6 + 3 = 9 なので、0 として数えます) + 3 + 8 = 11
2. 必要に応じて繰り返します: 1 + 1 = 2
3. 79の数字を合計します: 7 + (9は0として数えます) = 7
4. 圧縮されたオペランドに対して元の演算を実行し、数字を合計します: 2 × 7 = 14; 1 + 4 = 5
5. 500702の数字を合計します: 5 + 0 + 0 + (7 + 0 + 2 = 9、0として数える) = 5
6. 5 = 5 なので、6,338 × 79 は 500,702 になるという予測が正しい可能性が高くなります。

同じ手順を複数の操作に使用して、各操作ごとに手順 1 と 2 を繰り返すことができます。

掛け算をするときに覚えておくと便利なのは、被乗数の因数がまだ残っているということです。たとえば、14 × 15 が 201 だというのは無理があります。15 は 5 の倍数なので、積も 5 の倍数でなければなりません。同様に、14 は 2 の倍数なので、積は偶数でなければなりません。さらに、5 と 2 の両方の倍数である数は必ず 10 の倍数であり、10 進法では 0 で終わります。正解は 210 です。これは 10、7 (14 のもう 1 つの素因数)、3 (15 のもう 1 つの素因数) の倍数です。

bの数字がすべてaの対応する数字より小さい場合、計算は数字ごとに行うことができます。たとえば、872 − 41 を計算するには、一の位の 2 から 1 を減算し、十の位の 7 から 4 を減算するだけです：831。

上記の状況が当てはまらない場合は、間接計算と呼ばれる別の方法があります。

この方法は、左から右に数字を減算するために使用でき、結果を声に出して読み上げるだけであれば、任意のサイズの数字を減算する場合でもユーザーの記憶をほとんど必要としません。

一度に 1 つの場所が左から右に処理されます。

例：

          4075
        − 1844
        ------

千の位: 4 − 1 = 3、右を見て、075 < 844、借りる必要があります。
           3 − 1 = 2 なので、「2000」と言います。
           1つは4-1ではなく3-1を実行しているため、右側の列は
           千の位から借りるつもりです。

百の位: 0 − 8 = 負の数はここでは許可されません。
          1つは、借りた数字1を使ってこの場所を増やすことです
          列を左に移動します。したがって、
          10 − 8 = 2。千の位から借りたので、0ではなく10です。
          75 > 44なので借りる必要はありません。
          「200」と言う

10の倍数: 7 − 4 = 3, 5 > 4 なので、5 - 4 = 1

したがって、結果は 2231 になります。

チェプラソフ^[1]の乗算法は、任意のn桁の数字を他の任意のn桁の数字で乗算する場合に適用できます。このアルゴリズムの主な独自性は、次の機能にあります。

1. 正の数だけを掛け合わせる場合でも、負の数を利用して正しい正の数の結果を得ます。

2. 過剰な加算を避けるために、数字を互いに接続またはリンクします。

3. n 桁の掛け算問題がさらに大きな数字に増えるにつれ、同じ答えに到達するために使用できる可能な組み合わせの数も増えます。つまり、ユーザーは、その時点の特定のニーズに応じて、各掛け算問題の答えに到達する最も簡単で最速のルートを選択できます。たとえば、チェプラソフ アルゴリズムを使用すると、3 桁 • 4 桁の掛け算問題では、まったく同じアルゴリズムを使用しながらも異なる順列を使用して、合計 6 つの異なる組み合わせで正しい答えに到達できます。

2 • 2 の乗算問題で最もよく例証される基本的なアルゴリズムは次のとおりです (ここで、t は 10 の位の数字、u は 1 の位の数字、T は 10 の位の数字にそれぞれの累乗を掛けたものを表します)。

ステップ1 = (t ₁ - u ₁ ) • u ₂ = A

ステップ2 = u ₁ • t ₂ = B

ステップ3 = (u ₁ • u ₂ ) + t _{(u 1 • u 2 )} = C

ステップ 3 では、まず両方の 1 の位を掛け合わせて初期答え((u 1 • u 2)) を算出します。その初期答えの10 の位 (t _{(u 1 • u 2 ) ) がステップ 3 の}初期答えに加算されます。

次に、A+B+C を加算して合計 (D) を得ます。

ステップ 4 では、ステップ 3 の最初の答え(u ₁ • u ₂ )の 1 桁目を、ステップ 1 ～ 3 の合計の末尾に付加します (記号: @)。

ステップ 4 = D @ u _{(u 1 • u 2 )} = E

最後にこの数値を取得し、次の数値を追加します。

ステップ5 = E + (T ₁ • T ₂ ) = 最終回答

たとえば、次の問題: 79 • 26 では、79 に下付き文字 1 を割り当て、26 に下付き文字 2 を割り当てると、答えは次のようになります。

ステップ1 = (7 - 9) • 6 = -12

ステップ 2 = 9 • 2 = 18

ステップ3 = (9 • 6) = 54 + 5 = 59

ステップ 1 ～ 3 を合計すると 65 になります。

ステップ 4 = 65@4 = 654

ステップ5 = 70 • 20 = 1400 + 654 = 2054

逆に、26 に下付き文字 1 を割り当て、79 に下付き文字 2 を割り当てると、中間ステップごとに異なる結果が出て、同じ答えが得られます。

2桁×2桁の掛け算問題では、両方の数字が5で終わる場合、次のアルゴリズムを使用してそれらを素早く掛け合わせることができます。^[1]

${\displaystyle \mathrm {Ex} :35\times 75}$

準備段階として、小さい方の数字を切り捨て、大きい方の数字を 10 の倍数に切り上げます。この場合、

${\displaystyle 35-5=30=X}$

${\displaystyle 75+5=80=Y}$

アルゴリズムは次のようになります。

${\displaystyle (X\times Y)+50(t_{1}-t_{2})+25}$

ここで、t _{1 は}元の大きい数 (75) の 10 の位の単位であり、t ₂は元の小さい数 (35) の 10 の位の単位です。

${\displaystyle =30\times 80+50(7-3)+25=2625}$

これらの方法の多くは分配法則のおかげで機能します。

任意の 2 桁の数字を簡単に掛け合わせるための簡単なアルゴリズムは次のとおりです (ここで、a は最初の数字の 10 の位、b は最初の数字の一の位、c は 2 番目の数字の 10 の位、d は 2 番目の数字の一の位です)。

${\displaystyle (10a+b)\cdot (10c+d)}$

${\displaystyle =100(a\cdot c)+10(b\cdot c)+10(a\cdot d)+b\cdot d}$

例えば、

${\displaystyle 23\cdot 47=100(2\cdot 4)+10(3\cdot 4)+10(2\cdot 7)+3\cdot 7}$

  800
 +120
 +140
 + 21
-----
 1081

これは、従来の部分積の合計と同じで、簡潔に言い直しただけであることに注意してください。記憶に保持される要素の数を最小限に抑えるには、最初に「クロス」乗算積の合計を実行し、次に他の 2 つの要素を追加すると便利です。

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10}$

${\displaystyle {}+b\cdot d}$[そのうち、10の位の数字だけが最初の項に干渉します]

${\displaystyle {}+a\cdot c\cdot 100}$

つまり、この例では

(12 + 14) = 26、26 × 10 = 260、

これに21:281と800:1081を加えるのは簡単です

これを覚える簡単な記憶法はFOILです。F は最初、O は外側、I は内側、L は最後を意味します。例:

${\displaystyle 75\cdot 23}$

そして

${\displaystyle ab\cdot cd}$

ここで 7 はa、 5 はb、 2 はc、 3 はdです。

考慮する

${\displaystyle a\cdot c\cdot 100+(a\cdot d+b\cdot c)\cdot 10+b\cdot d}$

この表現は、100 の位、10 の位、1 の位を持つ 10 進数の任意の数に類似しています。FOIL は、F が 100 の位、OI が 10 の位、L が 1 の位である数として見ることもできます。

${\displaystyle a\cdot c}$2 つの数値の最初の桁の積です。F。

${\displaystyle (a\cdot d+b\cdot c)}$外側の数字と内側の数字の積の加算です。OI。

${\displaystyle b\cdot d}$2 つの数値の最後の桁の積 L です。

9 = 10 − 1 なので、ある数を 9 倍にするには、その数を 10 倍し、その結果から元の数を引きます。たとえば、9 × 27 = 270 − 27 = 243 です。

この方法は、減算する数を 2 倍にすることで、9 ではなく 8 を掛けるように調整できます。8 × 27 = 270 − (2×27) = 270 − 54 = 216。

同様に、減算の代わりに加算することで、同じ方法を使用してそれぞれ 11 と 12 を掛けることができます (ただし、11 を掛けるより簡単な方法も存在します)。

1 桁の数字の場合は、その数字を 10 の位に複製するだけです。たとえば、1 × 11 = 11、2 × 11 = 22、最大 9 × 11 = 99 となります。

任意の大きな非ゼロ整数の積は、各桁を右から左へ 2 つずつ加算することで求めることができます。

まず 1 の位の桁を取り、それを一時的な結果にコピーします。次に、乗数の 1 の位の桁から始めて、各桁をその左の桁に加算します。各合計は、結果の左側、他のすべての桁の前に加算されます。数値の合計が 10 以上になる場合は、10 の位の桁 (常に 1) を取り、次の加算に繰り上げます。最後に、乗数の最も左 (最も高い値) の桁を結果の前にコピーし、必要に応じて繰り上げられた 1 を加算して、最終的な積を取得します。

負の 11 の場合、乗数、またはその両方で、2 つの数値の通常の乗算​​と同様に最終積に符号が適用されます。

759 × 11 のステップバイステップの例:

1. 乗数の 1 の桁である 9 が一時結果にコピーされます。
   • 結果: 9
2. 5 + 9 = 14 を加算し、結果の左側に 4 を配置して、1 を繰り上げます。
   • 結果: 49
3. 同様に 7 + 5 = 12 を加算し、繰り上がりの 1 を加算して 13 を得ます。結果に 3 を加算し、1 を繰り上がります。
   • 結果: 349
4. 繰り上がりの 1 を乗数の最高値の桁に追加し、7 + 1 = 8 となり、その結果にコピーして終了します。
   • 759 × 11の最終積: 8349

その他の例:

• −54 × −11 = 5 5+4(9) 4 = 594
• 999 × 11 = 9+1(10) 9+9+1(9) 9+9(8) 9 = 10989
  • 9+1 を最高値の数字として扱うことに注意してください。
• −3478 × 11 = 3 3+4+1(8) 4+7+1(2) 7+8(5) 8 = −38258
• 62473 × 11 = 6 6+2(8) 2+4+1(7) 4+7+1(2) 7+3(0) 3 = 687203

別の方法としては、単純に数値を 10 倍し、その結果に元の数値を加算する方法があります。

例えば：

17 × 11

     17 × 10 = 170

170 + 17 = 187

17 × 11 = 187

最後にもう一つ簡単な方法:

2 桁の数字がある場合は、その 2 つの数字を足し合わせてその合計を中央に置くと答えが得られます。

たとえば、24 x 11 = 264 です。これは、2 + 4 = 6 であり、6 が 2 と 4 の間にあるためです。

2 番目の例: 87 x 11 = 957 です。8 + 7 = 15 なので、5 は 8 と 7 の間に入り、1 は 8 に繰り上がります。したがって、基本的には 857 + 100 = 957 です。

または、43 x 11 が最初の 4+3=7 (十の位) に等しい場合、4 は百の位、3 は十の位です。答えは 473 です。

この手法により、100に近い数や100未満の数の乗算が簡単に行えます。(90-99) ^[2]変数は乗算する2つの数になります。

90 から 99 までの範囲の 2 つの変数を積むと、4 桁の数字になります。最初のステップは、1 の位と 10 の位を見つけることです。

両方の変数を 100 から減算すると、2 つの 1 桁の数字が得られます。2 つの 1 桁の数字の積が、最終的な積の最後の 2 桁になります。

次に、2 つの変数のうちの 1 つを 100 から減算します。次に、もう 1 つの変数からその差を減算します。その差が最終的な積の最初の 2 桁となり、結果として得られる 4 桁の数字が最終的な積となります。

例：

          95
        × 97
        ----

最後の2桁: 100-95=5 (最初の数字を100から引く)
                 100-97=3 (100から2番目の数字を引く)
                 5*3=15（2つの差を掛ける）
                 最終製品 - yx15

最初の2桁: 100-95=5 (式の最初の数字を100から引きます)
                  97-5=92 (その答えを方程式の2番目の数字から引きます)
                  さて、違いは最初の2桁になります
                  最終製品-9215

最初の2桁の代替
                  5+3=8 (前の手順で「最後の2桁」を計算したときに得られた2つの1桁を加算します)
                  100-8=92 (その答えを100から引いてください)
                  さて、違いは最初の2桁になります
                  最終製品-9215

小さな数の積は、整数の平方を使って計算できます。たとえば、13 × 17 を計算するには、15 が 2 つの因数の平均であることに留意し、(15 − 2) × (15 + 2)、つまり15 ²  − 2 ²と考えます。15 ²は 225 で、2 ^{2 は}4 であることがわかっているので、単純な引き算で 225 − 4 = 221 となり、これが目的の積であることがわかります。

この方法では、一定数の正方形を暗記する必要があります。

2 つの連続する平方数の差は、それぞれの平方根の合計であることを知っておくと便利です。したがって、12 × 12 = 144 であることがわかっていて、13 × 13 を知りたい場合は、144 + 12 + 13 = 169 を計算します。

これは、( x  + 1) ²  −  x ² = x ²  + 2 x  + 1 −  x ² = x  + ( x  + 1) であるためです。

x ² = ( x  − 1) ² + (2 x  − 1)

与えられた数値に特定の値を加算または減算すると、乗算が簡単になります。例:

492 ²

492は500に近いので、掛け算は簡単です。8（500と492の差）を足して引くと、

492 -> 484、500

これらの数字を掛け合わせると 242,000 になります (484 を 2 = 242 で割って 1000 を掛けると効率的に計算できます)。最後に、差 (8) の 2 乗 (8 ² = 64) を結果に加えます。

492 ² = 242,064

証明は次のとおりです。

${\displaystyle n^{2}=n^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n^{2}-an+an-a^{2})+a^{2}}$

${\displaystyle n^{2}=(n-a)(n+a)+a^{2}}$

この方法では、1 から 9 までの 1 桁の数字の平方を記憶する必要があります。

mnの2乗（mnは2桁の整数）は次のように計算できる。

10 × m ( mn + n ) + n ²

つまり、 mnの平方は、 n をmnに加えて、それにmを掛け、最後に 0 を加えて、最後にnの平方を加えることで求められます。

例えば、23 ² :

23 ²

= 10 × 2(23 + 3) + 3 ²

= 10 × 2(26) + 9

= 520 + 9

= 529

つまり、23 ² = 529 です。

1. 5の前の数字を取ります：abc5、ここでa、b、 cは数字です
2. この数をそれ自身に1を足したものを掛けます: abc ( abc + 1)
3. 上記の結果を取得し、最後に 25を添付します
   • 例: 85 × 85
     1. 8
     2. 8 × 9 = 72
     3. つまり、85 ² = 7,225
   • 例: 125 ²
     1. 12
     2. 12 × 13 = 156
     3. つまり、125 ² = 15,625
   • 数学的説明

50 に近い数n を二乗する必要があるとします。

この数はn  = 50 −  aと表されるので、その平方は (50− a ) ² = 50 ² − 100 a + a ²です。50 ^{2は 2500 であることはわかっています。したがって、2500 から 100} aを引き、次にa ²を足します。

たとえば、48 を二乗すると、50 − 2 になります。2500 から 200 を引いて 4 を加えると、n ² = 2304 になります。50 より大きい数 ( n  = 50 +  a ) の場合は、減算するのではなく 、100 × aを加算します。

この方法では、1 から 24 までの正方形を記憶する必要があります。

nの2乗（ nが26以上74以下の 場合に最も簡単に計算できます）は

（50 − n）² + 100（n − 25）

言い換えると、ある数の二乗は、その数の 50 との差の二乗に、その数と 25 との差の 100 倍を加えたものになります。たとえば、62 を二乗するには、次のようにします。

(−12) ² + [(62-25) × 100]

= 144 + 3,700

= 3,844

この方法では、1 からaまでの平方数を暗記する必要があります。ここで、a はnと 100の絶対差です。たとえば、1 から 24 までの平方数を暗記した生徒は、この方法を 76 から 124 までの任意の整数に適用できます。

nの2乗（つまり100± a）は

100(100 ± 2 a ) + a ²

言い換えると、ある数の二乗は、100 との差の二乗に、100 と 100 の差の積と、2 と 100 とその数の差の積を加えたものです。たとえば、93 を二乗するには、次のようにします。

100(100 − 2(7)) + 7 ²

= 100 × 86 + 49

= 8,600 + 49

= 8,649

別の見方をすると次のようになります。

93 ² = ? (100から-7)

93 − 7 = 86 (これで最初の2桁が得られます)

(−7) ² = 49 (これらは次の2桁です)

93 ² = 8649

別の例:

82 2 = ? (100から-18)
 82 − 18 = 64 (引き算。最初の数字)
 (−18) 2 = 324 (2番目の数字のペア。3を繰り上げる必要があります。)
 82 2 = 6724

この方法は、100 に近い整数を二乗する上記の説明をそのまま拡張したものです。

1012 2 = ? (1012は1000から+12です)
 (+12) 2 = 144 (末尾の数字n )
 1012 + 12 = 1024 (先頭の数字)
 1012 2 = 1024144

9997 2 = ? (9997 は 10000 から -3 です)
 (-3) 2 = 0009 (末尾の数字n )
 9997 - 3 = 9994 (先頭の数字)
 9997 2 = 99940009

^{この方法は、10 n}付近の整数について上記で説明した説明をそのまま拡張したものです。

407 2 = ? (407は400から+7)
 (+7) 2 = 49 (末尾の数字n )
 407 + 7 = 414
 414 × 4 = 1656 (先頭の数字。76 から 124 までの整数ではm = 1なので、このmによる乗算は不要であることに注意してください)
 407 2 = 165649

79991 2 = ? (79991 は 80000 から -9 です)
 (-9) 2 = 0081 (末尾の数字n )
 79991 - 9
 79982 × 8 = 639856 (先頭の数字)
 79991 2 = 6398560081

数値の 平方根を近似する簡単な方法は、次の式を使用することです。

${\displaystyle {\text{root }}\simeq {\text{ known square root}}-{\frac {{\text{known square}}-{\text{unknown square}}}{2\times {\text{known square root}}}}\,}$

既知の平方数が未知の平方数に近いほど、近似値は正確になります。たとえば、15 の平方根を推定するには、最も近い完全な平方数が 16 (4 ² ) であるという知識から始めることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{root}}&\simeq 4-{\frac {16-15}{2\times 4}}\\&\simeq 4-0.125\\&\simeq 3.875\\\end{aligned}}\,\!}$

したがって、15 の推定平方根は 3.875 です。実際の 15 の平方根は 3.872983... です。注意すべき点は、元の推測が何であったとしても、算術平均と幾何平均の不等式により、推定答えは常に実際の答えよりも大きくなるということです。したがって、推定答えを切り捨てるようにする必要があります。

n ^{2 が}目的の平方xに最も近い完全な平方であり、d = x - n ²がそれらの差である場合、この近似値を として帯分数の形式で表す方が便利であることに注意してください。したがって、前の例では、15 の平方根は です。別の例として、41 の平方根は ですが、実際の値は 6.4031 です... ${\displaystyle n{\tfrac {d}{2n}}}$${\displaystyle 4{\tfrac {-1}{8}}.}$${\displaystyle 6{\tfrac {5}{12}}=6.416}$

この方法は、既知の平方と未知の平方の平均を既知の平方根で割ることと同等であることに気づけば、暗算が簡単になるかもしれません。

${\displaystyle {\text{root }}\simeq {\frac {{\text{mean}}({\text{known square}},{\text{unknown square}})}{\text{known square root}}}\,}$

定義によれば、rがxの平方根であれば、

${\displaystyle \mathrm {r} ^{2}=x\,\!}$

次にルートを再定義する

${\displaystyle \mathrm {r} =a-b\,\!}$

ここで、a は既知の根 (上記の例では 4) であり、b は既知の根と求める答えの差です。

${\displaystyle (a-b)^{2}=x\,\!}$

収益の拡大

${\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}=x\,\!}$

「a」が目標値に近い場合、「b」は方程式の要素を無視できるほど小さい数値になります。したがって、方程式を次のように変形する ことができます。${\displaystyle {}+b^{2}\,}$${\displaystyle {}+b^{2}\,}$

${\displaystyle b\simeq {\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

そしてそれゆえ

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq a-{\frac {a^{2}-x}{2a}}\,\!}$

それは次のように減じられる

${\displaystyle \mathrm {root} \simeq {\frac {a^{2}+x}{2a}}\,\!}$

あるいは、平方根近似へのこのアプローチは、ニュートン法の単一のステップとして見ることができます。

完全累乗の根を求めることはよく行われます。この作業の難しさは、完全累乗の桁数ではなく、精度、つまり根の桁数によって決まります。さらに、根の順序にも左右されます。根の順序が10 と互いに素である完全累乗の根を求めるのは、次のセクションのように、数字が一貫した方法で並べ替えられているため、いくぶん簡単です。

初心者にとって簡単な作業は、2 桁の数字の立方根を求めることです。たとえば、74088 の場合、その数字を 1 回自身で乗算し、さらにその数字で再度乗算すると 74088 になる 2 桁の数字を特定します。この方法を知っている人なら、42 ³ = 74088 なので、答えが 42 であることがすぐにわかります。

手順を学ぶ前に、演者は 1 から 10 までの数字の立方体を記憶する必要があります。

右端の数字にパターンがあることに注目してください。1 または 3 を足したり引いたりします。ゼロから始まります。

• 0 ³ = 0
• 1 ³ = 1アップ 1
• 2 ³ = 8ダウン 3
• 3 ³ = 2 7ダウン 1
• 4 ³ = 6 4ダウン 3
• 5 ³ = 12 5アップ 1
• 6 ³ = 21 6アップ 1
• 7 ³ = 34 3ダウン 3
• 8 ³ = 51 2ダウン1
• 9 ³ = 72 9ダウン 3
• 10 ³ = 100 0アップ 1

2 桁の数字の立方根から立方根を抽出するには、2 つの手順があります。たとえば、29791 の立方根を抽出するには、2 桁の数字の 1 の位 (単位) を決定します。上記のように、立方根は 1 で終わるので、1 である必要があります。

• 完全立方数が 0 で終わる場合、その立方根も 0 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 1 で終わる場合、その立方根も 1 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 2 で終わる場合、その立方根は 8 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 3 で終わる場合、その立方根は 7 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 4 で終わる場合、その立方根も 4 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 5 で終わる場合、その立方根も 5 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 6 で終わる場合、その立方根も 6 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 7 で終わる場合、その立方根は 3 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 8 で終わる場合、その立方根は 2 で終わる必要があります。
• 完全立方数が 9 で終わる場合、その立方根も 9 で終わる必要があります。

2、3、7、8 を除くすべての数字は、対応する数字を得るために 10 から減算されるだけであることに注意してください。

2 番目のステップは、与えられた立方根の大きさを見て、2 桁の立方根の最初の桁を決定することです。これを行うには、与えられた立方根の最後の 3 桁 (29791 → 29) を削除し、それより大きい最大の立方根を見つけます (ここでは、1 から 10 までの数字の立方根を知る必要があります)。ここで、29 は 1 の 3 乗よりも大きく、2 の 3 乗よりも大きく、3 の 3 乗よりも大きいですが、4 の 3 乗よりも大きくはありません。それより大きい最大の立方根は 3 なので、2 桁の立方根の最初の桁は 3 でなければなりません。

したがって、29791 の 3 乗根は 31 です。

別の例:

• 456533 の 3 乗根を求めます。
• 立方根は 7 で終わります。
• 最後の 3 桁を取り除くと、456 が残ります。
• 456 は 7 の 3 乗までのすべての立方数よりも大きいです。
• 立方根の最初の数字は 7 です。
• 456533 の 3 乗根は 77 です。

このプロセスは、11を法とする算術演算を使用して、3桁の立方根を求めるように拡張できます。^[3]

こうしたタイプのトリックは、根の位数が 10 と互いに素である任意の根に使用できます。したがって、2 の累乗は 10 で割り切れるため、平方根では機能しません。3 は 10 で割り切れないため、立方根は機能します。

常用対数を（少なくとも小数点 1 桁の精度で）近似するには、いくつかの対数規則といくつかの対数の記憶が必要です。次のことを知っておく必要があります。

• log(a × b) = log(a) + log(b)
• log(a / b) = log(a) - log(b)
• log(0)は存在しない
• 対数(1) = 0
• 対数(2) ~ .30
• 対数(3) ~ .48
• 対数(7) ~ .85

この情報から、1 から 9 までの任意の数値の対数を求めることができます。

• 対数(1) = 0
• 対数(2) ~ .30
• 対数(3) ~ .48
• log(4) = log(2 × 2) = log(2) + log(2) ~ .60
• log(5) = log(10 / 2) = log(10) − log(2) ~ .70
• log(6) = log(2 × 3) = log(2) + log(3) ~ .78
• 対数(7) ~ .85
• log(8) = log(2 × 2 × 2) = log(2) + log(2) + log(2) ~ .90
• log(9) = log(3 × 3) = log(3) + log(3) ~ .96
• ログ(10) = 1 + ログ(1) = 1

常用対数を近似する最初のステップは、与えられた数値を科学的記数法で表すことです。たとえば、数値 45 は科学的記数法では 4.5 × 10 ^{1ですが、これを a × 10 b}と呼びます。次に、1 から 10 までの範囲にある a の対数を求めます。まず 4 の対数を求めます。これは .60 です。次に 5 の対数を求めます。これは 4.5 がこれら 2 つの数値の間にあるため .70 です。次に、練習すればできるスキルですが、5 を .6 と .7 の間の対数スケールに置き、.653 あたりにします (注: 追加の桁の実際の値は、通常のスケールに置いた場合よりも常に大きくなります。つまり、中間なので .650 になると予想されますが、実際には少し大きくなり、この場合は .653 になります)。a の対数が得られたら、それに b を加算して常用対数の近似値を取得します。この場合は、a + b = 0.653 + 1 = 1.653 です。log(45) の実際の値は ~ 1.65321 です。

0 から 1 までの数字にも同じプロセスが適用されます。たとえば、0.045 は 4.5 × 10 ⁻²と書きます。唯一の違いは、b が負であるため、1 を加算すると実際には減算されることです。この結果、0.653 − 2 = −1.347 になります。

適切なレベルの身体運動は、その後に行われる暗算などの知的作業のパフォーマンスの向上につながる可能性があります。 ^[4]高レベルの身体活動中は、知的作業のパフォーマンスに悪影響があることがわかっています。^[5]これは、過度の身体的運動が暗算の精度と出力を低下させる可能性があることを意味します。生理学的測定、特にEEG は、精神的作業負荷を示すのに有用であることが示されています。^[6]さまざまなレベルの身体活動後の精神的作業負荷の測定値として EEG を使用すると、精神的パフォーマンスに最も有益な身体的運動レベルを決定するのに役立ちます。ミシガン工科大学のRanjana Mehta による以前の研究には、参加者が精神的および身体的タスクを同時に行う最近の研究が含まれています。^[7]この研究では、さまざまなレベルの身体的運動における精神的要求が身体的パフォーマンスに与える影響を調査し、最終的に、精神的タスクが同時に完了すると身体的パフォーマンスが低下し、身体的作業負荷のレベルが高いほど影響が顕著になることを発見しました。 Brown–Peterson 手順は、暗算を使用する広く知られているタスクです。主に認知実験で使用されるこの手順は、維持リハーサルが短期記憶の持続期間に与える影響をテストする際に、メンタルサブトラクションが有用であることを示唆しています。

第1回暗算世界選手権は1998年に開催されました。この大会は毎年開催されており、現在はオンラインで開催されています。この大会は、加算、減算、乗算、除算、無理数と正確な平方根、立方根と深根、因数分解、分数、暦の日付など、さまざまな課題で構成されています。^[8]

第1回暗算ワールドカップ（暗算ワールドカップ）^[9]は2004年に開催されました。これはドイツで2年ごとに開催される対面式の競技です。この競技は、10桁の数字10個の加算、8桁の数字2個の乗算、平方根の計算、および指定された日付の曜日の計算という4つの異なる標準タスクと、さまざまな「サプライズ」タスクで構成されています。^[10]

第1回国際メモリアードは2008年にトルコのイスタンブールで開催されました。第2回メモリアードは2012年11月24日～25日にトルコのアンタルヤで開催されました。20か国から89名の競技者が参加しました。合計10部門で賞と賞金が授与され、そのうち5部門は暗算に関するものでした（暗算加算、暗算乗算、暗算平方根（非整数）、暗算暦日計算、フラッシュ暗算）。第3回メモリアードは2016年11月8日から10日まで米国ラスベガスで開催されました。

• 曜日を計算する終末ルール
• メンタルそろばん
• 暗算計算機
• そろばん

• 暗算ワールドカップ
• メモリアド - 世界メンタルオリンピック
• ツォリオ＝マゾワイエ、ナタリー。ペセンティ、マウロ。ザーゴ、ローレ。クリベッロ、ファブリス。メレット、エマニュエル。サムソン、ダナ。デュルー、ブルーノ。セロン、ザビエル。マゾワイエ、バーナード (2001)。 「神童の暗算は右前頭前野と内側側頭野によって支えられている」。自然神経科学。4 (1): 103-7。土井：10.1038/82831。PMID  11135652。S2CID 23829063  。
• Rivera, SM; Reiss, AL; Eckert, MA ; Menon, V (2005)。「暗算能力の発達的変化: 左下頭頂皮質の機能的特殊化の証拠」。 大脳皮質。15 ( 11 ): 1779–90。doi : 10.1093/cercor/bhi055。PMID 15716474。