空のセット

数学において、空集合（きょうぞう、英: empty set）は、要素を持たない唯一の集合である。その大きさまたは濃度（集合内の要素の数）は0である。^[1]公理的集合論の中には、空集合の公理を含めることで空集合が存在することを保証するものもあれば、空集合の存在を演繹できるものもある。集合の多くの可能な特性は、空集合に対して空虚に真である。

空集合以外の集合は空でない集合と呼ばれます。

一部の教科書や普及書では、空集合は「ヌル集合」と呼ばれています。^[1] しかし、ヌル集合は測度論の文脈では独特の概念であり、測度がゼロの集合（必ずしも空ではない）を表します。

空集合を表す一般的な表記法には、「{}」、「」、「∅」などがあります。最後の2つの記号は、 1939年にブルバキ・グループ（特にアンドレ・ヴェイユ）によって、デンマーク語とノルウェー語のアルファベットの文字Ø（U+00D8 Øラテン大文字のOとストローク）に触発されて導入されました。 ^[2]過去には、「0」（数字のゼロ）が空集合の記号として時々使用されていましたが、これは現在では表記法の不適切な使用であると考えられています。^[3]${\displaystyle \emptyset}$

記号∅は、UnicodeポイントU+2205 ∅ EMPTY SETで使用できます。^[4] HTMLではやまたはとしてコード化できます。LaTeXではとしてコード化できます。記号はLaTeXでは としてコード化されます。 ∅∅∅\varnothing${\displaystyle \emptyset}$\emptyset

デンマーク語やノルウェー語などの言語では、空集合文字がアルファベットのØと混同される可能性があるため（言語学で記号を使用する場合など）、代わりにUnicode文字U+29B0 REVERSED EMPTY SET ⦰が使用されることがあります。^[5]

標準的な公理的集合論では、外延性の原理により、2 つの集合が同じ要素を持つ場合 (つまり、どちらにも他方にない要素がない場合)、それらの集合は等しいとされます。結果として、要素のない集合は 1 つしか存在できず、そのため「空集合」ではなく「空集合」が使用されます。

空集合の唯一の部分集合は空集合そのものです。つまり、空集合のべき集合は空集合だけを含む集合です。空集合の要素数（つまり、その濃度）は 0 です。空集合は、これらのいずれかの特性を持つ唯一の集合です。

任意の集合Aについて:

• 空集合はAの部分集合である
• Aと空集合の和集合はAである。
• Aと空集合の共通部分は空集合である。
• Aと空集合の直積は空集合である。

任意のプロパティ Pについて:

• のすべての要素に対して、性質Pが成り立ちます (空虚な真理)。${\displaystyle \varnothing }$
• 特性Pが成り立つの要素は存在しません。${\displaystyle \varnothing }$

逆に、ある特性Pとある集合Vに対して、次の 2 つのステートメントが成り立つ場合:

• Vのあらゆる要素に対して、性質Pが成り立つ。
• Vの要素で性質Pが成り立つものは存在しない

それから${\displaystyle V=\varnothing .}$

部分集合の定義により、空集合は任意の集合Aの部分集合です。つまり、のすべての要素xはAに属します。実際、 のすべての要素がAにあることが真でなければ、 Aに存在しない の要素が少なくとも 1 つあることになります。の要素はまったく存在しないため、 Aに存在しないの要素はありません。「 のすべての要素について」で始まるステートメントは、実質的な主張をしていないことになります。これは空虚な真実です。これはしばしば「空集合の要素についてはすべてが真である」と言い換えられます。 ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$

自然数の通常の集合論的定義では、ゼロは空集合によってモデル化されます。

有限集合の要素の和について語るとき、空集合の要素の和（空和）はゼロであるという慣例に必然的に導かれる。その理由は、ゼロが加算の単位元だからである。同様に、空集合の要素の積（空積）は、1が乗算の単位元なので、 1とみなされるべきである。^[6]

混沌とは、固定点のない集合の順列です。空集合は、順列 ( ) が 1 つしかなく、元の位置を保持する要素 (空集合の) が見つからないことは空虚に真であるため、空集合自体の混沌と見なすことができます。 ${\displaystyle 0!=1}$

空集合は任意の順序付き集合の部分集合として考えた場合、その要素を持たないため、その集合のすべての要素は空集合の上限と下限になります。たとえば、実数直線 で表される通常の順序を持​​つ実数の部分集合として考えた場合、すべての実数は空集合の上限と下限の両方になります。^[7]実数に 2 つの「数」または「点」 (つまり、他のすべての拡張実数よりも小さいと定義される と表される負の無限大と、他のすべての拡張実数よりも大きいと定義される と表される正の無限大) を追加して形成される拡張実数の部分集合として考えた場合、次のようになります 。 ${\displaystyle -\infty \!\,,}$${\displaystyle +\infty \!\,,}$$${\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,}$$$${\displaystyle \inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .}$$

つまり、空集合の最小の上限 (sup またはsupremum ) は負の無限大であり、最大の下限 (inf またはinfimum ) は正の無限大です。上記と同様に、拡張された実数の定義域では、負の無限大は最大値および上限演算子の単位元であり、正の無限大は最小値および下限演算子の単位元です。

任意の位相空間 Xでは、空集合は定義により開集合であり、 Xも同様です。開集合の補集合は閉集合であり、空集合とX は互いに補集合であるため、空集合も閉集合であり、閉開集合となります。さらに、すべての有限集合がコンパクトであるという事実により、空集合はコンパクトです。

空集合の閉包は空です。これは「ヌル集合の保存」として知られてい ます。

が集合である場合、 から空関数への関数は正確に 1 つ存在します。結果として、空集合は、集合と関数の カテゴリの唯一の初期オブジェクトです。${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle A,}$

空集合は、空空間と呼ばれる位相空間に変換できる唯一の方法、つまり空集合を開集合として定義することによってのみ変換できます。この空の位相空間は、連続写像を持つ位相空間のカテゴリにおける唯一の初期オブジェクトです。実際、これは厳密な初期オブジェクトであり、空集合のみが空集合に対する関数を持ちます。

順序数 のフォン・ノイマン構成では、0 は空集合として定義され、順序数の次の集合は として定義されます。したがって、、 、 などが成り立ちます。フォン・ノイマン構成は、少なくとも 1 つの無限集合の存在を保証する無限公理とともに、算術のペアノ公理が満たされるような自然数の集合 を構成するために使用できます。 ${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$${\displaystyle 0=\varnothing }$${\displaystyle 1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}}$${\displaystyle 2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}}$${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$

実数の集合の文脈では、カントルは「単一の点を含まない」と表記した。この表記は定義で使用された。たとえば、カントルは、2 つの集合の交差に点がない場合、それらの集合は互いに素であると定義した。しかし、カントルがそれ自体を存在する集合と見なしたのか、それとも単に空虚述語として使用したのかは議論の余地がある。ツェルメロはそれ自体を集合として受け入れたが、それを「不適切な集合」とみなした。^[8]${\displaystyle P\equiv O}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \equiv O}$${\displaystyle O}$${\displaystyle \equiv O}$${\displaystyle O}$

ツェルメロ集合論では、空集合の存在は空集合の公理によって保証され、その一意性は外延性の公理から導かれる。しかし、空集合の公理は少なくとも 2 つの方法で冗長であることが示される。

• 標準的な一階述語論理は、単に論理公理から、何かが存在することを意味し、集合論の言語では、そのものは集合でなければならない。さて、空集合の存在は分離公理から容易に導かれる。
• 自由論理（何かが存在することを論理的に意味するものではない）を使用しても、少なくとも 1 つの集合の存在を意味する公理、つまり無限公理がすでに存在します。

空集合は標準的で広く受け入れられている数学的概念ですが、その意味と有用性は哲学者や論理学者によって議論されており、存在論的な好奇心が残っています。

空集合は何もないことと同じではありません。むしろ、空集合は中に何も入っていない集合であり、集合は常に何かです。この問題は、集合を袋として見ることで克服できます。空の袋は間違いなく存在します。ダーリング (2004) は、空集合は何もないことではなく、「4 辺を持つすべての三角形の集合、9 より大きく 8 より小さいすべての数の集合、およびキングを含むチェスのオープニング ムーブの集合」であると説明しています。^[9]

一般的な三段論法

永遠の幸福に勝るものはない。ハムサンドイッチは何も無いよりはましだ。したがって、ハムサンドイッチは永遠の幸福よりもましだ

は、無の概念と空集合の哲学的関係を示すためによく使用される。ダーリングは、「永遠の幸福よりも良いものは何もない」と「ハムサンドイッチは何もないよりは良い」という文を数学的な口調で書き直すことで、その対比を見ることができると書いている。ダーリングによると、前者は「永遠の幸福よりも良いものすべての集合は」に相当し、後者は「集合{ハムサンドイッチ}は集合よりも良い」に相当する。前者は集合の要素を比較し、後者は集合自体を比較している。^[9]${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle \varnothing }$

ジョナサン・ロウは、空集合は

は間違いなく数学の歴史において重要な画期的な出来事であったが、計算におけるその有用性はそれが実際に何らかの物体を表すかどうかに依存していると想定すべきではない。

また、次のようなことも当てはまります。

「空集合について私たちが知っていることは、それが (1) 集合であること、(2) 要素がないこと、(3) 集合の中で要素がないことだけである。しかし、集合論的な意味で「要素がない」もの、つまり集合でないものは、非常に多く存在する。これらのものに要素がない理由は、集合ではないため、完全に明らかである。不明なのは、集合の中で要素がない集合がなぜ存在できるのかということである。私たちは、単なる規定によって、そのような実体を存在させることはできない。」^[10]

ジョージ・ブーロスは、これまで集合論によって得られてきたものの多くは、集合を他の実体をメンバーとして持つ単一の実体として具体化することなく、個体に対する複数の量化によって簡単に得られると主張した。^[11]

• 0  – 数字スペースなしで短い説明を表示するページ
• 居住集合 – 構成的数学で使用される集合の性質
• 無 – 何も存在しないこと。すべての反対
• べき集合 – 集合のすべての部分集合の数学的集合

• ポール・ハルモス『素朴集合論』 。プリンストン、ニュージャージー州：D. ヴァン・ノストランド社、1960年。Springer - Verlag社、ニューヨーク、1974年に再版。ISBN 0-387-90092-6（Springer-Verlag版）。Martino Fine Books社、2011年に再版。ISBN 978-1-61427-131-4 （ペーパーバック版）。  
• ジェック、トーマス(2002)。集合論。Springer Monographs in Mathematics (3千年紀版)。Springer。ISBN 3-540-44085-2。
• グレアム、マルコム (1975)。現代初等数学(第 2 版)。ハーコート ブレイス ジョバノビッチ。ISBN 0155610392。

• Weisstein、Eric W.「空集合」。MathWorld。