最小公分母

数学において、最小公分母または最小公分母（略称LCD）は、分数の集合における分母の最小公倍数です。これにより、分数の加算、減算、比較が簡単になります。

分数の最小公倍数は、すべての分母の倍数のうち最も小さい数、つまり最小公倍数です。分母の積は常に共通分母になります。例:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}\;=\;{\frac {3}{6}}+{\frac {4}{6}} \;=\;{\frac {7}{6}}}$

しかし、それは常に最低共通分母であるとは限りません。

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}\;=\;{\frac {15}{36}}+{\frac {22}{36}} \;=\;{\frac {37}{36}}}$

ここで、36 は 12 と 18 の最小公倍数です。それらの積である 216 も共通分母ですが、その分母で計算すると、より大きな数値が関係します。

${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}={\frac {90}{216}}+{\frac {132}{216}}={\frac {222}{216}}。}$

数値ではなく変数の場合も、同じ原則が適用されます。^[1]

${\displaystyle {\frac {a}{bc}}+{\frac {c}{b^{2}d}}\;=\;{\frac {abd}{b^{2}cd}}+{\frac {c^{2}}{b^{2}cd}}\;=\;{\frac {abd+c^{2}}{b^{2}cd}}}$

LCD を計算するいくつかの方法は、少なくとも公倍数 § 計算です。

同じ分数をさまざまな形式で表すことができます。分子と分母の比率が同じであれば、分数は同じ数を表します。例:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {6}{9}}={\frac {12}{18}}={\frac {144}{216}}={\frac {200,000}{300,000}}}$

これらはすべて 1 を掛けた分数として表記されるからです。

${\displaystyle {\frac {2}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {3}{3}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {6}{6}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {72}{72}}={\frac {2}{3}}\times {\frac {100,000}{100,000}}.}$

通常、分数の加算、減算、比較は、それぞれが同じ分母（「共通分母」と呼ばれる）で表現されている場合に最も簡単です。たとえば、共通分母を持つ分数の分子は、 と のように単純に加算できます。これは、各分数の共通分母が 12 であるためです。共通分母を計算しないと、 が に等しいかどうか、またはが より大きいか小さいかは明らかではありません。共通分母はどれでもかまいませんが、通常は最小の共通分母が望ましいです。そうすることで、残りの計算が可能な限り簡単になります。^[2]${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {6}{12}}={\frac {11}{12}}}$${\displaystyle {\frac {5}{12}}<{\frac {11}{12}}}$${\displaystyle {\frac {5}{12}}+{\frac {11}{18}}}$${\displaystyle {\frac {5}{12}}}$${\displaystyle {\frac {11}{18}}}$

LCD には、レンガ積み、タイル張り、テッセレーションなど、同じ場所で始まり同じ場所で終わる 1 列に並べるために必要な 2 つの異なる長さのオブジェクトの数を決定するなど、多くの実用的な用途があります。また、従業員がx日 ごとにy日休むような勤務スケジュールを計画する場合にも役立ちます。

音楽のリズムでは、LCDはクロスリズムやポリメーターで使用され、 2つ以上のメトリック区分で時間を数えるのに必要な最小の音符を決定します。たとえば、多くのアフリカ音楽は西洋の記譜法で記録されています。¹²
₈各小節は 4 と 3 で分割され、LCD は 12 になるからです。

「最小公分母」という表現は、できるだけ多くの人にアピールするために意図的に単純化された規則、提案、意見、またはメディアを（通常は非難する形で）説明するために使用されます。^[3]

• 異常なキャンセル
• 最大公約数
• 部分分数分解は、分数を共通でない分母に加算するプロセスを逆にする。