ゾーン球面調和関数

回転対称性の数学的研究において、ゾーン球面調和関数は、特定の固定軸を回転しても不変である特殊な球面調和関数です。ゾーン球面関数は、ゾーン球面調和関数の概念を広範に拡張したもので、より一般的な対称群を可能にします。

2次元球面上で、北極を固定した回転に対して不変な ℓ 次数の唯一のゾーン球面調和関数は、球面座標で次のよう に表されます。 ここで、 P _ℓはℓ次数の正規化されたルジャンドル多項式です。一般的な ℓ 次数ゾーン球面調和関数は で表されます。ここで、xは固定軸を表す球面上の点、y は関数の変数です。これは、基本ゾーン調和関数を回転することで得られます。$${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}P_{\ell }(\cos \theta )}$$${\displaystyle P_{\ell}(1)=1}$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )}$${\displaystyle Z^{(\ell )}(\theta ,\phi ).}$

n次元ユークリッド空間では、ゾーン球面調和関数は次のように定義されます。 x を( n −1) 球面上の点とします。を、全質量を持つ球面上のハール測度に関する、次数 ℓ の球面調和関数の 有限次元ヒルベルト空間H _ℓにおける線型関数の 双対表現として定義します(単位球面を参照)。 言い換えると、次の再生特性が成り立ちます。 すべてのY ∈ H _ℓ に対して、 は上からのハール測度です。 ${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}}$$${\displaystyle P\mapsto P(\mathbf {x} )}$$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$${\displaystyle A_{n-1}}$$${\displaystyle Y(\mathbf {x} )=\int _{S^{n-1}}Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )Y(\mathbf {y} )\,d\オメガ (y)}$$${\displaystyle \オメガ}$

ゾーン調和関数は、R ⁿの単位球に対するポアソン核の係数として自然に現れます。xとy の単位ベクトルに対して、 は(n - 1) 次元球の表面積です。これらは、ニュートン核を介して次のように関連しています。 ここで、x 、y ∈ R ⁿであり 、定数c _{n、k は}次のように与えられます。 $${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {1-r^{2}}{|\mathbf {x} -r\mathbf {y} |^{n }}}=\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}Z_{\mathbf {x} }^{(k)}(\mathbf {y} ),}$$${\displaystyle \omega _{n-1}}$$${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }c_{n,k }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{n+k-2}}}Z_{\mathbf {x} /|\mathbf {x} |}^{(k)}(\mathbf {y} /|\mathbf {y} |)}$$$${\displaystyle c_{n,k}={\frac {1}{\omega _{n-1}}}{\frac {2k+n-2}{(n-2)}}.}$$

ニュートン核のテイラー級数の係数（適切な正規化）は、まさに超球面多項式です。したがって、ゾーン球面調和関数は次のように表すことができます。α = ( n −2)/2の場合、 ここでc _{n、ℓ は}上記の定数であり、は ℓ 次超球面多項式です。 $${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )={\frac {n+2\ell -2}{n-2}}C_{\ell }^ {(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$$${\displaystyle C_{\ell}^{(\alpha )}}$

• ゾーン球面調和関数は回転不変であり、すべての直交変換Rに対して回転不変です。逆に、各固定 x に対してyの球面調和関数であり、この不変性を満たすS ^{n −1} × S ^{n −1}上の任意の関数 f ( x , y )は、次数ℓ のゾーン調和関数の定数倍です。$${\displaystyle Z_{R\mathbf {x} }^{(\ell )}(R\mathbf {y} )=Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} ) }$$
• Y ₁ , ..., Y _dがH _ℓの正規直交基底である場合、$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {y} )=\sum _{k=1}^{d}Y_{k}(\mathbf {x} ){ \overline {Y_{k}(\mathbf {y} )}}.}$$
• x = yで評価すると、$${\displaystyle Z_{\mathbf {x} }^{(\ell )}(\mathbf {x} )=\omega _{n-1}^{-1}\dim \mathbf {H} _{\ell }.}$$

• スタイン、エリアス、ワイス、グイド（1971）、ユークリッド空間のフーリエ解析入門、プリンストン、ニュージャージー：プリンストン大学出版、ISBN 978-0-691-08078-9。