肯定演算子

数学（特に線型代数、作用素論、関数解析）および物理学において、内積空間に作用する線型作用素は 、任意の、およびに対して、 がの定義域である場合、半正定値（または非負）であると呼ばれます。半正定値作用素は と表記されます。 作用素は正定値であると言われ、すべての に対してである場合、と表記されます。^[1]${\displaystyle A}$${\displaystyle x\in \operatorname {Dom} (A)}$${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \langle Ax,x\rangle \geq 0}$${\displaystyle \operatorname {ドム} (A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\geq 0}$${\displaystyle A>0}$${\displaystyle \langle Ax,x\rangle >0,}$${\displaystyle x\in \mathop {\mathrm {Dom} } (A)\setminus \{0\}}$

多くの著者は、正演算子を 自己随伴（または少なくとも対称）非負演算子として定義しています。複素ヒルベルト空間の場合、自己随伴性は非負性から自動的に得られることを以下で示します。実ヒルベルト空間の場合、非負性は自己随伴性を意味しません。 ${\displaystyle A}$

物理学（特に量子力学）では、このような演算子は密度行列形式を介して量子状態を表します。

内積が最初の引数では反線型、2番目の引数では線型であるとし、 が正で対称であると仮定する。後者は を意味する 。すると、 の非負性は ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle A(\lambda x+\mu y),\lambda x+\mu y\rangle =|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}\langle Ay,x\rangle +|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \\[1mm]=|\lambda |^{2}\langle Ax,x\rangle +\lambda ^{*}\mu \langle Ax,y\rangle +\lambda \mu ^{*}(\langle Ax,y\rangle )^{*}+|\mu |^{2}\langle Ay,y\rangle \end{aligned}}}$

すべての複素数 に対して、${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \left|\langle Ax,y\rangle \right|^{2}\leq \langle Ax,x\rangle \langle Ay,y\rangle .}$

がどこでも定義されている場合、${\displaystyle \mathop {\text{Im}} A\perp \mathop {\text{Ker}} A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =0,}$${\displaystyle Ax=0.}$

二極化のアイデンティティについて${\displaystyle x,y\in \operatorname {Dom} A,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle Ax,y\rangle ={\frac {1}{4}}({}&\langle A(x+y),x+y\rangle -\langle A(x-y),x-y\rangle \\[1mm]&{}-i\langle A(x+iy),x+iy\rangle +i\langle A(x-iy),x-iy\rangle )\end{aligned}}}$

そして、正の演算子に対しては対称であることを示します。 ${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\langle x,Ax\rangle ,}$${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle ,}$${\displaystyle A}$

複素数の場合とは対照的に、実ヒルベルト空間上の半正定値演算子は対称ではない場合があります。反例として、鋭角による回転演算子を と定義します。この場合、は対称ではありません。 ${\displaystyle H_{\mathbb {R} }}$${\displaystyle A:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \varphi \in (-\pi /2,\pi /2).}$${\displaystyle \langle Ax,x\rangle =\|Ax\|\|x\|\cos \varphi >0,}$${\displaystyle A^{*}=A^{-1}\neq A,}$${\displaystyle A}$

の対称性は、かつ であることを意味します。が自己随伴であるためには、 であることが必要です。この場合、 が自己随伴であるため、領域の等式が成立します。が有界であるという事実は、ヘリンガー・テプリッツの定理から導かれます。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*}}$${\displaystyle A=A^{*}|_{\operatorname {Dom} (A)}.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \operatorname {Dom} A=\operatorname {Dom} A^{*}.}$${\displaystyle H_{\mathbb {C} }=\operatorname {Dom} A\subseteq \operatorname {Dom} A^{*},}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

このプロパティは保持されません${\displaystyle H_{\mathbb {R} }.}$

自己随伴演算子の自然な半順序は、正の演算子の定義から生じます。以下が成り立つかどうかを定義します。 ${\displaystyle B\geq A}$

1. ${\displaystyle A}$そして自己随伴である${\displaystyle B}$
2. ${\displaystyle B-A\geq 0}$

単調収束定理と同様の結果が、ヒルベルト空間上の単調増加、有界、自己随伴作用素に対しても成り立つことがわかる。 ^[2]

量子系の定義には、複素可分ヒルベルト空間 と、に対する正のトレースクラス演算子の集合が含まれます。 集合は状態の集合です。すべての は状態または密度演算子と呼ばれます。 に対して、のスパンへの射影の演算子は純粋状態と呼ばれます。(各純粋状態は単位ベクトルと同一視できるため、一部の情報源では純粋状態を からの単位要素と定義しています。純粋でない状態は混合と呼ばれます。 ${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle {\cal {S}}}$ ${\displaystyle \rho }$${\displaystyle H_{\mathbb {C} }}$${\displaystyle \mathop {\text{Trace}} \rho =1.}$ ${\displaystyle {\cal {S}}}$${\displaystyle \rho \in {\cal {S}}}$${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$${\displaystyle \|\psi \|=1,}$${\displaystyle P_{\psi }}$${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi \in H_{\mathbb {C} },}$${\displaystyle H_{\mathbb {C} }).}$

• コンウェイ、ジョン・B.（1990）、関数解析入門、シュプリンガー・フェアラグ、ISBN 0-387-97245-5
• ローマン、スティーブン（2008）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、Springer、ISBN 978-0-387-72828-5